В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Он играет фундаментальную роль в теории случайных точечных процессов и является основополагающим для формирования других, более сложных точечных процессов. Рассмотрим второй, «временной» метод описания случайных точечных процессов, базирующийся на изучении различных случайных величин, характеризующих расположение точек на оси времени. Предварительно введем два определения. Прямым временем возвращения к+ называется величина отрезка времени от произвольно взятого момента времени 1' до момента появления первого события после г' (равстояние от 1' до первой точки справа — рио. 2.49). Применительно к теории надежности величину *+ можно назвать остаточным временем жизни, так как т+ является оставшимся сроком службы элемента, иопользуемого в момент времени 1'.
Обратным временем возвращения т 247 называется длительность временного интервала от момента появления последнего события, предшествующего 1', до 1' (расстояние от 1' до первой точки слева — рис. 2.49). Если до моментами' не было точек, то по определению время т принимается равным 1-'. В терминах теории надежности т является возрастом элемента, используемого в момент времени 1'. Пусть правее начала отсчета времени 1м принимаемого за нуль, выпали точки с координатами 1м 1м ..., Г„,... Введем интервалы между соседними точками т~=1; — 1, м 1=1,2,3,..., (2.7,8) являющиеся неотрицательными случайными величинами.
При произвольно выбранном начале отсчета времени интервал т, = 1, = т+ есть прямое время возвращения. Если с вероятностью единица число точек потока, выпавших иа конечном интервале, конечно, то поток можно считать заданным, если заданы й-мериые плотности вероятности ~р, (т„т„..., т„). При этом выражение Ф„(т„тт, ..., т„) Ж, ...дт с точностью до величин высшего порядка малости по с(т~ равно совместным вероятностям нахождения т, в интервалах (то т~+Ж), 1=1,п, и=1,2,3,... Вместо плотностей вероятности $„(т„..., т,) можно указывать плотности вероятности 'У„(1„1„..., 1„), и = 1, 2, 3, ..., характеризующие случайные координаты точек, выпавших правее начала координат. Между плотностями вероятности ~>„и Ч"„имеются очевидные соотношения: Тп (1м 1м " ~ (а) = Фн ((м (з — (м 1~ — 1п-~), (2 7 9) Фи(тмт,",тп)=Ч',(т,т +т,",т +тз+ "+та) (2710) Поскольку плотности вероятности ~р„и Ч'„связаны однозначной зависимостью, то в принципе безразлично, задавать ли ~р„или Ч"„.
Отметим, что выражения для плотностей вероятностей ~р„и Ч"„даже в случае стационарного точечного процесса, вообще говоря, будут различными, когда начало отсчета времени выбрано произвольно и за начало отсчета взята какая-либо из выпавших точек.
Выше указывалось, что оба метода описания случайных точечных процессов (е помощью целочисленного случайного процесса У (1) или последовательности случайных величин тм 1 = 1, 2, 3, ...) тесно связаны между собой. действительно, если Ж (1) есть число точек, выпавших в полуинтервале (О, 1), т. е. до 1 включительно„и 1, — координата 1-й из выпавших точек (1, ( 1, ( ... < 1, ( ...), то У (1) = 0 тогда и только тогда, когда тх = т+) 1 и Ф (1)( п тогда и только тогда, когда тт + т + ... + т„) й Поэтому Р (У (1) = О) = Р (т, ~ 1), (2.7.11) Р (Л' (1) «и) = Р (т, + т, + ...
+ т„) 1), п = 1, 2, 3, ... Следовательно, если известно распределение целочисленного влучайного процесса У (1), то теоретически можно найти одномерные и многомерные плотности вероятности случайных величин т„тм т„... или 1ь 1„ 1м ... и наоборот. В некоторых практических задачах полное описание случайного процесса о помощью совместных вероятностей (5) или многомерных плотностей вероятностей (9), (10) может быть заменено более грубым, но зато и более простым указанием одномерных вероятностей, а также отдельных параметров (числовых характеристик) процесса. Во многих случаях необходимость такого упрощенного описания диктуется также возможностями экспериментальных исследований и проверок.
Часто бывает очень сложно, а иногда практически невозможно получить экспериментальным путем многомерные вероятности, и поэтому ограничиваются определением лишь некоторых интересующих параметров. Имеются разнообразные возможности упрощенного описания случайных точечных процессов (71, 73]. Укажем те характеристики, которые будут рассматриваться в дальнейшем: 1) математическое ожидание числа событий М ( У (1)) в полуинтервале (О, Л и другие моменты У (1) (в частности, дисперсия); 2) плотность событий Х (1), определяемая формулой Х(1)=11ш(11М) Р (У(1+И) — У(1)); (2.7.12) ы10 3) время 1ю при котором произойдет й-е событие; 4) прямое т+ и обратное т- времена возвращения.
Рассмотрим сначала простейший пуассоновский точечный процесс, а затем некоторые его обобщения. Пуассоновский процесс Пуассоновский продгса определяетвя как случайный процесс о независимыми стационарными приращениями, раапределенными по закону Пуассона. Целочисленный пуассоновский точечный процеаа (У (1), 0 (1( < <ю) определяется тремя свойствами 1741. 1. Он ординарен, т. е. вероятность наступления более одного события иа любом интервале времени И имеет более высокий порядок малости, чем М.
Поэтому для него выполняются соотношения Р (У (1+ М) — У (1) 1) = Р (У (И) = 1) = Хй4+ о (М), (2.?.13) Р (У (1 + й() — У (1) ) 1) .= Р (У (й1) ) 1) = о (й1), (2.7.14) где Х вЂ” некоторая положительная величина, имеющая размерность обратную времени. Физичеокий смысл ее выясним позже. Следствием этих двух соотношений является равенство Р (У (Е + Л1) — У (1) = О) = Р (У (М) = 0) = 1— — Ллг+ о (й>). (2.7,15) 249 2. Процесс стациоиарен, т. е. его вероятностные характеристики не изменяются при сдвиге всех точек вдоль оси времени на произвольную, ио одну н ту же величину Л. 3.
Ои имеет независимые приращения (значения) на неперекрывающихся интервалах времени (отсутствне последействия). Отметим, что согласно определению (1) для целочисленного процесса У (1) принимается У(0) =О. (2.7.16) Выше указывалось, что полное вероятностное описание целочисленного процесса У (1), удовлетворяющего трем перечисленным свойствам, достигается заданием вероятностей р (Й, т) наличия й точек в интервале длительностью т. Введем для этой вероятности другое обозначение (2.7.17) Ри (т) = Р (й, т) и получим для нее аналитическое выражение.
Пусть У (1) есть случайное число точек (событий) в полуинтервале (О, 1). Тогда на основании теорем сложения и умножения вероятностей для Л() 0 можем написать Рь (1+ Л1) Р (У (г'+ Ы) = л) = Р (У (1) = й, У (М) = О) + +Р(УЯ=И вЂ” 1, У(М) =Ц + ~~~~ Р(УЯ=И вЂ” 1 У(Л1) =1)= 8м2 (())(()!())+(() = Й вЂ” 1) Р (У (М) = 1 ~ У (() = й — 1) + +'5' Р(У(()=й — 1) Р(УЩ=Е 3У(1)=й — Е) = !м2 = Р, (1) Р (У (Л() =О 1У (1)-й)+р,, (1) (У (Л1) =1 ~ У (1) = = л — 1)+ ~~~~ Ра-~ (г) Р (У (Лг) =1!У (1) = 4 — 1) (2?.18) кая Выражение (18) справедливо для любого точечного процесса.
Третье специальное свойство пуассоновского процесса (независимость приращений), характеризующее марковский характер процесса, позволяет в выражении (18) заменить условные вероятности иа безусловные: Р (У(М) =1~У(1) = й — 1) =Р(У(М) = 1), 1=0,й. Полагая в выражении (!8) интервал М достаточно малым и пользуясь свойствами рассматриваемого процесса (13) — (15), можно написать рь(1+Л1)=-рь(1)(1 — ЛМ)+Хрз г(1)Л1+о(Л().
(2.7.19) Переходя здесь к пределу при М вЂ” ~ О, для вероятностей Рь (1) получим дифференциальное уравнение — р„(Е)+Хрь (1)=Хрз к (1), Й=О, 1, 2, ... (2,7.20) В уравнении, соответствующем ус = О, нужно полагать р, (1) = О. Дифференциальные уравнения (20) должны решаться при физически очевидных начальных условиях ри(0)=1,ри(0)=О,ь 1,2 3 ... (2.7.21) Решения линейных дифференциальных уравнений первого поряд. ка с постоянными коэффициентами (20) можно получить неаколькими методами. Можно, например, находить решения последовательно, начав с и = О, а затем для й = 1, л = 2 и т. д. Так„полагая л = О, получаем р, (г) = е="', г ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
