В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В общем случае возможными типами поведения диффузионного марковского процесса (диффундирующей частицы) на границе области являются поглощение, отражение, скачкообразный уход с границ, диффузия по границе, остановка и их различные комбинации (54). Слово «комбинация» означает просто линейную комбинацию со- 229 обусловлено воздействием типа белого шума.
Поэтому, приближаяоь к границе Г„ траектории случайного процесса пересекают ее бесчисленное множество раз. К остальной части границы Г, отнесем ту часть границы Г, на которой условие (183) не выполняется, т. е, Вм (Х, 1) 1с (Х) 11 (Х) =О, Х с== Гм (2.6.184) с, Сап В свою очередь, границу Г, также можно разбить на две части Гх и Гр в зависимости от выполнения условий ответствующих граничных условий, но вероятностный смысл такого комбинирования совсем не прост. Каждому типу граничных условий соответствует определенный процесс, происходящий на границе.
Он определен на случайном множестве моментов времени, в которые частица находится на границе (вообще говоря, это множество не содержит никакого интервала). Изучение граничных процессов можно поэтому рассматривать как одну из задач еще не построенной общей теории многомерных марковских процессов со случайной областью определения. Учитывая это обстоятельство, ограничимся рассмотрением граничных условий для двух типов физических задач (их комбинация получается очевидным обобщением). К первому типу относятся задачи, в которых в любой момент времени диффундирующая частица находитая в области ь1.
Попадая на границу, частица либо отражается в той же точке, либо мгновенно переносится в другую точку границы и продолжает движение внутри области (для наглядности можно представить броуновское движение молекул газа в ограниченном объеме, работу систем автоматического поиска полезного сигнала и т. п.). Общая запись граничных условий для прямого уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова (182) в этих задачах имеет вид П~ (Х, () = — ~ пг(Х, (~ Х') П~ (Х', 1) д Х', Х Е= Г~.
(2.6.190) Влезь П,(Х, 1) = 1'(Х)П (Х, 1) = ~ч;1~ (Х)П,(Х, 1) — нормальная Г ! составляющая вектора потока на границе; пг(Х, 1) Х') — заданная плотноать вероятности перехода частицы из точки Х' 6 Г в точку Х 6 Г~. Эта плотность определяетая существом физической задачи и удовлетворяет условию нормировки ~лг(Х, 1! Х') Л Х =1. (2.6.191) Уаловие мгновенного отражения в той же точке, которое может задаватьзя только на границе Гм следует из (190) в частном случае, когда пг(Х, 4Х') = 6 (Х вЂ” Х') при Х'6 Г, и Х6 Г,.
Это условие запизываетзя в виде П~(Х, 1) = О, Х6 Гх. (2.6.192) Отметим, что граничное условие (190) не исключает поток вероятности вдоль границы облаати Я. Ко второму типу относятся задачи, евязанные о первым достижением границ многомерным диффузионным процессом. В этих задачах И представляет собой область, из которой частицы могут свободно выходить.
Однако после того, как частица впервые покидает область Й, она уже не должна возвращаться обратно или, как иногда говорят, исключается из дальнейшего рассмотрения (такие задачи возникают, например, прн анализе срыва слежения в динамических системах). Чтобы запретить возвращение частиц внутрь заданной области, пря- 230 мое уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова (158) для функции н (Х, 1[Хе, Е„) нужно решать а граничным условием й(Х, 1[Х„1,) = О, Х р Г*: (2.6.193) Условие (193) обеспечивает поглощение частиц на той части границы, через которую они в принципе могут войти в нее. Уравнение Понтрягина (161) в случае диффузионных процессов следует решать а граничным условием Ра(Г [ Хе (е) =О, Хо 6 Г, (2.6.194) которое выражает тот очевидный факт, что если начальное состояние Х,Е Г, то уже в следующий момент времени частица обязательно выйдет из области Й.
Отметим, что в задачах достижения границ области 11 можно также получить вероятностные характеристики первого выхода частицы через какую-то часп границы у с: Г. Для моментов условных раапределений (160), (164), если они аущеатвуют, справедливо второе уравнение Понтрягина, решение которого а соответствующими краевыми условиями позволяет найти среднее время пребывания частицы в заданной области, дисперсию этого времени и т. д, [17!.
Прямое и обратное уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова и уравнения Понтрягина в случае векторных диффузионных процеааов относятся к многомерным линейным дифференциальным уравнениям в частных производных (параболического, эллиптического или ультра- параболического типа). Общие методы решения подобных уравнений рассматриваются, например, в [55, 56!. Однако практичеаки даже фундаментальное решение задачи Коши для многомерного уравнения (182) удаетая получить лишь для ограниченного набора чаетных случаев [9, 17!. Еще более усложняется решение многомерных краевых задач. В настоящее время наиболее полно разработаны методы решения указанных уравнений с учетом различных граничных условий для скалярных диффузионных процессов.
По этому вопроау аущеатвует обширная библиография П7!. Для численного решения многомерных уравнений Понтрягина и Фоккера — Планка — Колмогорова можно использовать различные приближенные методы, например методы ритка и Бубнова — Галер- кина [57[, метод последовательных приближений [58[, разностные методы [59[, метод условных математических ожиданий [58, 60! и т.
д. Отметим, что при размерности вектора состояний марковского процесса п ) 3 весьма эффективным оказывается метод Монте — Карло [61[, который сводится к численному решению атохаатических дифференциальных уравнений (126), (127) [17, 62!. Особый интереа представляют приближенные методы, связанные а вычислением частных статистических характеристик процесаов [48, 51„ 63, 64!. Для этого соответствующие плотности вероятности, характериатические или кумулянтные функции выражаются через моменты, квазимоменты или кумулянты, для которых получаютая системы обык- 231 новенных дифферениальных уравнений. Эти системы достаточно про- сто решаются на современных ЦВМ.
Пример 2.6.6. Срыв синхронизации в аналоговой системе фазозой авто- подстройки. Рассмотрим ататистические характеристики срыва синхронизации в аналоговых системах фазовой азтоподстройкн (ФАП) второго порядка с синусоидальиой характеристикой фазового детектора н интегрирующим фильтром в цепи обратной связи. Определение зтих характеристик необходимо, в частности, для оценки работоспособности систем, в которых ФАП используется для измерения фазовой ошибки а точностью до одного периода опорных колебаний (например, в фазокогерентных радиолокаторах, в фазовых системах радионави. гации и т.
п.). Статистическая динамика системы ФАП второго порядка, у которой в качестве фильтра нижних частот используется интегрирующая цепочка /!С, описывается (см., например, (17)) нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка оз ф бф 2иа + и + иЛ зйл ф =иод+ и (!)ю (2,6, 196) б/з 8! — о где п (/) — гауссовский белый шум а М (и (/)) = 0 и М (и (/)л (/+ т)) = А/зб(т)/2! и 1//(С! ф(!) — равность фаз синхронизируемых генераторов! Ьз — средняя расстройка зтих генераторов по чаатоте! А — полоса удержания схемы ФАП, т, е, максямальная равность чаатот генераторов, которую может компенсировать цепь управления Аз — амплитуда входного сигнала. Обозначив через й (/) афlа! мгновенную расстройку частот синхронизируемых генераторов из (!96), получим афЛИ й, бй/б! = иЬз — ий — иб з!п ф + 2иб/А за (/).
(2,6;196) Система (!96) описывает двумерный диффузионный марковский процесс (ф (!), й (!))т, Аналогично (17) под ерывом синхронизации в системе ФАП второго порядка будем понимать первый выход траектории етого процесса за пределы облаоти Я, граница которой по координате ф определиется положением ближайшив неуатойчивыя состояний равновеаия (ф, = — и — агсз!п Лз/б, ф = и — агсюп Аз/А) (66), а по координате й — полосой удержания сйстемы ФАП (й — А, й А). В безразмерных переменных х! = ф/и, хз = й/Ь и т = и! система уравне ний (196) принимает вид пх,/дт= х,/пй, ахз/г(т=Л,/Л вЂ” х,— з1п Нхз+(1/Ь/р ) и, (г), (2.6.!97) гда р Аз / (2ид/з) — отношение аигнал-шум! () = и/Ь вЂ” отношение полосы пропуакания фильтра в цепи обратной связи к полосе удержания системы ФАП, пе (т) — белый гзуасовский шум а нулевым математическим ожиданием и еди.
пичной интенсивностью! Лз/А — втносительнаи средняя расстройка частот ге- нераторов. Система уравнений (197) определяет двумерный однородный марковский процесо Х (Г) = (хг (/), хз (/))т со следующими локальными характеристиками: А! (Х) хз/пй! Аз (Х) Ьз/Л вЂ” х — з!п мхт! Втт (Х) = В„, (Х) - О! В„(Х) - 1/р.
(2.6.198) Таким образом, исследование статистических характеристик срыва синхро. низации в системе (196) сводится к решению задачи о первом достижении проба! цессом х (!) границ области н: ц — 1 — — агс юп — /1 ~ х! ( !(! — — агс з!п — /1! ! хз ! ~ ~1/ при условие, что в начальный момент времени Х (/,) ~ Е, Из (!98) следует, что условие (183) в данном случае выполняется только при хз= ж1; т. е. 232 Гтг~( — 1 — — агсз!и — ' ~( хт < 1 — — агсз(п — '; ха=~ 11, А/' ' а условие (185) выполняется на части границы до до Г+ ~ ! хг = — 1 — — агсз!п —; х, ~ 0; хг =1 — —.
агсз1п — е, хе ~ 0~. Ь Позтому регулярная часть границы имеет вид / 1 Л,! Г~ х = — 1 — — агсгбп — ', х, ( 0; хз=-ь 1, !! — 1 — — агсз!и — ~-~ А/ /1о! ! . Ае ~( хг ((1 — — агсз!п — е/!! яд=1 — — агсз!п — е, х )О~. Вероятность сохранения режнмз синхронизации Р (Х, т) = Р (хг, х, т) в течение времени т при условии, что в начальный момент т = 0 система вако. дилась в состоянии (хг, х„) ~ В, удовлетворяет первому уравнению Понтрягина (161), которое в данйом случае имеет вид д 1 дз х д — р (Х, т)= — — Р (Х, т)+ — — Р (Х, г)+ дт ' 2р дх,' ' хф дхг + ! — — х — з!и и хг~ — Р (Х, т). (2,6.!99) '( А дхз Уравнение (199) следует решать с начальным условием Р (Х, 0) = 1, Х Е В вЂ” Г, и граничным условием Р (Х, т) = О, Х Е Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
