В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Первый интеграл в правой части (130) может быть определен аналогично (129), если сходимость понимать в среднем квадратическом. Напомним, что последовательность случайнгях величин в„сходится к случайной величине $ в среднем квадратическом, т. е. 1. !. ш. л если выполняется условие 1!ш М ( (з„— $) (ь„— $)') = О. 6 Интеграл от пуассоновской составляющей в соответствии с формулой (126) можно записать Здесь и далее атохастические интегралы и дифференциалы, понимаемые в смысле Ито, обозначаются звездочкой при дифференциале Н~ч (т), белом шуме И~ (г) и т. д. Интегральная сумма в (131) строится следующим образом. Отрезок интегрирования (г„Л разбивается на )У элементарных подынтервалов, и значение функции 6 (Х, 1) берется на левом конце каждого подынтервала. Если функция 6 (Х, 1) интегрируема с квадратом, то предел в (131) существует и определение является корректным. Можно показать (131, что для стохастического интеграла Ито имеют место равенства м(3*(г)1х,) =о, ти иэ'э~~х >=м(1а(х, )а ~х, )~ !х~, дифференциальное уравнение, для которого соответствующий ин- теграл понимается в смысле Иго, называется стохастическим ураа- нзиигж Ито.
Запишем его в виде ЙХ(Г) =А(Х, 1)й+ 6(Х, Г)д~ч(1) + ду(Г), (2.б.132) Х(Г)=Л(Х, Г)+6(Х, 1)й1*(1)+г(Г). (2.6.133) Если п-мерный марковский процеса Х (1) удовлетворяет уравнению (132), то процесс Х (1) = Ф (Х, 1), где Ф (Х, Г) — некоторая 1-мер- ная детерминированная вектор-функция, удовлетворяет уравнению и(~)=( —,' Ф(Х,()+~ —,' Ф(Х,()~А(Х,()+ +-,'~~:~:~,","" .,(.) (,4 1+ ~а=~а=~у=~ <' .и-й 1 +( ~ Ф(Х, г)~6(Х, г) ч(()+ +) (Ф(Х+С(Х, У, т), г) — Ф(Х, Г)1 т(Л, пг), (2.3.134) где Ф~ (Х, 1), 1 = 1, 1, — компоненты вектора Ф (Х, 1), а 0„~ (Х, 8)„ в = 1, и, 1' = 1, К вЂ” компоненты матрицы 6 (Х, 1). Формула (134) называется формулой Ито. Ее также называют фор.
мулой замены переменных в стохастическом интеграле Ито (атохас- тические дифференциалы по определению — сокращенное выражение некоторых интегральных соотношений). Формулу Ито можно перепи- сать в виде аХ (1) = — Й + — с(Х (Г) + д~ дх 220 +~~Ф(Х+С(Х, У, Г), () — Ф(Х, Г) — — С(Х, 7, Г)~т(г(У, Щ (2.6.135) Отсюда следует, что если марковский процесс Х (1) непрерывный (С (Х, т', 1) — О), то при фиксированном Х (1)' дифференциал процесса Х (г) с точностью до неслучайного слагаемого пропорционален дифференциалу процесса Х (1). Заметим, что и в этом случае для «обычных» функций Х (г) третье слагаемое в (135) отсутствует.
Поэтому интегралы Ито нельзя при замене переменных преобразовывать по обычным правилам математического анализа, просто интегрировать но частям и т. д. Если же процесс Х (г) содержит скачкообразную составляющую, то дифференциал Ю (() пропорционален дифференциалу дХ (1) еще и с точностью до случайного слагаемого, зависящего от пуассоновскои меры т (А, Ж).
Тогда неслучайная связь между этимидифференциалами может быть отражена только в виде ЙХ (1) = Ф (Х (г) + + дХ (1), 1) — Ф (Х (1), 1) 1511, Стохастический интеграл Ито, определенный для прямого времени, не совпадает с таким же интегралом, определенным для обратного времени (если в (!31) значение функции 6 (Х, 1) брать на другом конце элементарного подынтервала). Р. Л. Стратоновичем было обосновано определение стохастического интеграла в симмегризованной форме 1481, которое характеризуется определенной симметрией по отношению к прошлому и будущему Стохастическим интегралом о смысле Стратоновича называется предел сходящихся в среднем квадратичном интегральных сумм вида 3Д=- 1О(Х, т)г(ч(т) =13.ш У С( ('+'1+ ('), 1,)[ч((,+Д вЂ” ч(1;)).
(2.6.136) м лм 2 ~=о В отличие от определения Иго (131) здесь при формировании интегральных сумм значения функции б (Х, 1) берутся в середине элементарных подыитервалов. Отметим, что определения стохастических интегралов Иго и Стратоновича можно обобщить, если при формировании соответствующих интегральных сумм использовать произвольную точку элементарного подынтервала. Свойства этих интегралов и их использование в некоторых случаях замены реальных процессов марковскими рассматриваются, например, в 1171. Одним из важнейших свойств стохастических интегралов Стратоновича является то, что с ними можно обращаться по обычным правилам математического анализа (имеются в виду правила замены переменных, интегрирования по частям и т.
п.). Поэтому для симметризованных стохастических интегралов и дифференциалов будем использовать обычные обозначения. Соответствующие дифференциаль- 221 ные уравнения (126), (127) называются стохастическими дифферен!(иальными уравнен нми в смысле Стратоновича пли стохастическими уравнениями в симметриоованной у!орме. В 1481 показано, что симметризованный интеграл отличается от соответствующего интеграла Иго на величину а о о(о — я'(е)-- — ! ~ д '! ' о,(х, )~ а, (26.137! 2д, дх а=! !'=! 1=!, и т. е. за исключением случая, когда б (Х, !) не зависит от Х, эти интегралы отличаются друг от друга. Поэтому при записи стохастических дифференциальных уравнений, в правую часть которых входят дифференциал (производная) винеровского процесса и матрица б (Х, 1), обязательно нужно доопределять, в какой форме следует понимать эти уравнения.
Из (137) следует, что уравнения (126), (127) в смысле Стратоновича и уравнения (132), (133) в смысле Ито описывают один и тот же марковский процесс, если Ао(Х,() =Ро(Х,()+ — ~ ~ ы ' 6а!(Х, 1), (2.6.138) а=!!=! а где А! (Х, г) и Р! (Х, 1), ! = 1, и, — компоненты соответатвующих вектор-функций. Стохастические дифференциальные уравнения в смысле Стратоновича можно интерпретировать как предельную форму уравнений, записанных для немарковских (но близких к марковским) процессов 1481. В технических задачах коэффициенты уравнения (126) обычно определяются физическим существом рассматриваемой динамической системы, а входные воздействия й( (!) представляют собой достаточно гладкие (дифференцируемые) широкополосные случайные процессы, При описании динамики системы марковскими процессами воздействие !1(1) приближенно заменяется белым шумом.
Зто означает, что стохастические дифференциальные уравнения, описывающие поведение подобных систем, должны пониматься в симметризованном смысле, так как они должны быть устойчивы к такому предельному переходу. При необходимости использования уравнений в смысле Иго переход к ним легко может быть осуществлен по формулам (138). Зля непрерывнозначиых марковских процессов можно ввести плотность вероятности перехода и (Х, 11Х„1о) и безусловную плотность вероятности р (Х, 1), которая связана с плотностью вероятности перехода соотношением р(Х, ~)= ~п(Х,11Хо, (о) р(Хо, 1о)«Хо, (2.6.138) Ж' Очевидно, что введенные плотности вероятности неотрицательны и удовлетворяют условишм нормировки ) Р(Х !) аХ = 1 ~ п(Х (! Хо (о)йХ = 1. (2.6.!46) Я' Ж' 222 Кроме этого, для непрерывнозначных марковских процессов справедливо уравнение Колмогорова — Чгпмена п(Х» (!Хо (о)= п(Х» (!Хь 1!)го(Хь (г!Хо Го) дХ!» (26.141) где Я вЂ” область значений процесса Х (1), 1) г! ) (о.
Можно показать (511, что если все элементы вектора А (Х, 1) диффереицируемы, а все элементы б (Х, 1) дважды дифференцируемы по Х, то плотность веРоЯтности пеРехода и (Х, »!Хо, Го) как фУнкциЯ Х и 1 удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова — Феллера о! (Х ~ ! Хо ~о) = ~е»» (и (Х»» ! Хо»»о)) д! (2.6.142) (2»6.144) (2.6.147) Ж,; ( ° ) = Ъс ", (*)+.го», И, (2.6. 149) О »» о 2»", (в(Х)) =~~)„' Ао(Х, 1) — + — ~ ~~~~ Вы(Х, 1) —, (2.6.150) 223 с начальным условием Я (Х» (о !Хо» (о) 6 (Х Хо). (2.6. 143) Здесь оператор а»'! „( ° ), который называется прямым производящим оператором, определяется выражениями и.
(*) =Ап. ( )+и. ( ° ), л! (в(Х)) = — ~Р— [Ао(Х, 1) в(Х))+ дл! !=! + ~~~ ~~~ (В!г(Х 1) в(Х)! (2 6 145) /=»»=1 гг, (в(Х))=) ) в(в)(6(Х вЂ” $ — С($, !', 1))— — 6 (Х вЂ” а)) и (У !1, $) дУЩ, (2.6.146) где А! (Х, 1), ! = 1, и, называются когффиииентами сноса и определяются формулой (138), а Вох (Х, 1) — элементы неотрицательно определенной матрицы и м и, которая равна В (Х, 1) = б (Х, ()6' (Х, 1) и называется матриией диффузии.
Как функция Х, и (о плотность вероятности перехода удовлетворяет абра ному уравнению Колмогорова — Феллера п(Х 1! Хо (о) =З7, ю (п(Х» 1! Хо (о)) (2 6 148) дго с начальным условием (143). Здесь оператор Л'!',„( ° ), который называется обратным производящим оператором, определяется выражениями .44~",(ш(Х)) = ~[в(Х+С (Х, 7, !)) — ш(Х)) п(у)1, Х) Л', ф6.151) С помощью непосредственной проверки можно показать, что прямые и обратные операторы сопряжены между собой, т. е. для произвольной области Р, в которой элементы функции А (Х, г) дифференцируемы, а элементы В (Х, г) дважды дифференцируемы по Х, справедливо равенство и(Х)Лп„(ш(Х))3Х=) ш(Х)дГ~" „,(и(Х)) йХ, (2 6.152) где и (Х) и ш (Х) — произвольные скалярные функции, из которых хотя бы одна вместе со своими первыми производными равна нулю на границе области Й.
Лля безусловной плотности вероятности из (!39) и (142) получим уравнение (2.6. 153) — р(Х, !)=%,„(р(Х, гИ, д! которое следует решать с начальным условием р (К, г,) = р (Х,). (2.6. 154) Если область значений процесса К (Г) совпадает с неограниченным пространством, то для выполнения условия нормировки (140) необходимо, чтобы решение уравнения (153) для любого ! = 1, и удовлетворяло граничным условиям Ит р(Х, !) =1!гп — р(Х, !) =О. (2.6.155) д дх, Условия (155) в случае неограниченной области значений должны выполняться и для л (Х, г)ХО, гв). Если интересоваться первым попаданием траектории процесса Х (!) в некоторую область У пространства Я (или, что то же самое, первым выходом траектории процесса за границы области () = Ю— — Р), то вместо плотности и (Х, (!Х„г„) следует использовать условную функцию перехода и (Х, !!Х„(,), которую можно опре- делить как плотность распределения координат- вектора Х (г) в момент времени ! при условии, что Х (1,) = Х„Г, ( 1, и в течение интервала времеви (!м !) траектория процесса Х (!) ни разу не попа- дала в область Р (не покидала области 14).
Обозначим через Г границу этой области и предположим, что траектория процесса может попасть в область ~/ через любую часть этой границы (см. ниже). Можно показать !511, что условная функция перехода и (Х, г(Х„1,) как функция Х, и (, удовлетворяет обратному уравнению — — л(Х. !! Хм !о) =Ж~;, к,(п)+-Ф,",~,(л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
