В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 48
Текст из файла (страница 48)
принимают непрерывное многообразие возможных значений и для которых выполняются свойства (1) — (3). Под случайными величинами Х! можно, например, понимать временные отсчеты (выборки) непрерывнозначного процесса Х (1). По такому принципу, в частности, работаютвсеимпульсныесистемы пере. дачи информации. При помощи марковских последовательностей может быть также исследована статистическая динамика различных систем цифровой обработки случайных процессов и т. п. Из формулы (3) следует, что совместная плотность вероятности марковской последовательности может быть выражена через плотность вероятности начального состояния р (Хе) и одношаговые плотности вероятности перехода зт! (Х!)Х! д), 1 = 1, и! дующим образом.
п»(Х»!Х» - *Х )=п»(Х,!Х „...Х,,), где при Й ( л» следует Формально положить и = к — 1 (й ) 1). При и = 1 сложная марковская последовательность переходит в простую. Учитывая, что сложная марковская последовательность за счет увеличения размерности вектора состояния Х всегда может быть сведена к простой, далее ограничимся рассмотрением только простых марковских последовательностей.
Любая последовательность, взятая нз марковской последовательности, является также марковской, т. е. если при ааданном 1» рассматривать моменты времени 1», < 1», ~ ... < г» , то и (Х» ! Х»„..., Х» ~) = п»„,(Х» ! Х» ~). Условные плотности вероятности перехода марковской последовательности удовлетворяют уравнению Колмогорова — Чэпмана п(Хг!Х,)= и (Х~!Х») п(Х»!Х~) йХ», (2,6.220) где 1( й(1 и г' — область значений процесса Х (г). Обозначив р» (Х!Х,) условную плотность вероятности случайной величины Х» при Фиксированном Х» и и» (Х!Х) = и» (Х»!Х»»), нз (220) получим Р»+ ~ (Х ! Х») = и» (Х ! Х) Р» (Х ! Хо) '1 Х (2 6221) Таким образом, если известны одношаговые плотности вероятности перехода и» (Х!Х), то рекурреитное соотношение (221) позволяет вычислить все статистические характеристики марковкой последовательности.
Марковская последовательность называется однородной, если одношаговые плотности вероятности перехода и» (Х!Х) не зависят от й. Марковская последовательность называется слшционаряой, если она однородна и все состояния Х» имеют одну и ту же плотность вероятности рм (Х) = р (Х) = 1(ш р» (Х). Стационарная плотность вероятности, если она существует, удовлетворяет интегральному уравнению р(Х)=) п(Х !Х) р(Х) ЫХ, (2.6.222) Ю где и (Х !Х) = 1пп и» (Х !У).
»-» Аналогично (119), (120) довольно общее описание статистической динамики п-мерной марковкой последовательности Х» = Х (1») в дискретном времени дается разностным уравнением Х»+, =Ф„(Х,,%„), (2.6.223) где Ф» (Х», %») = Ф (Хы %», (») — и-мерная неслучайная вектор$ункция авоих аргументов; %» = % (1») — взаимонезавнсимые вы- 240 борки и-мерного случайного процесса е известными плотностями вероятности !)а (%) = д (%, (а). Прн фиксированных значениях Хь разностное уравнение (223) 'определяет связь случайных величин Хае! и Ха. Позтому входящие в (22[), (222) одношаговые вероятности перехода марковской последовательности могут быть найдены из (223) по известным правилам преобразования плотностей вероятности случайных величин [70] (см.
9 3.2). Для марковских последовательностей можно также задаваться различным характером поведения на границах некоторой области ь) с:- е:. Я (см., например, П7]). Б частности, если интересоваться первым выходом однородной марковской последовательности за границу Г области ьа, то вероятность Р (й, Х,) того, что марковская последовательность из начального состояния Хо 5 П впервые выйдет за границу Г на й-м шаге, может быть найдена из соотношения Р (й, Х,) = ~ ]ра ! (Х ] Х ) — р„(Х ] Х )] д Х, (2.6.224) где плотности вероятности Рд (Х ]Хо) удовлетворяют рекуррентно. му соотношению Ри (Х]Х,)=~и (Х]Х) рь — ! (Х]Хе) !(Х (2 6.225) Из (224) для среднего числа шагов до первого выхода за границу Г области И получим М (й ] Х ) = ~чР~ АР (й, Х,) = [ + (ч'„р (Х ] Х,) !( Х = [ + «=! и а-! + ~ (Х]Х) 3Х, (2.6.
226) где обозначено Р (Х]Х,) = .У', рь (Х]Х,). а=! Функция Р (Х]Х,), как зто следует из (225), может быть найдена из решения интегрального уравнения Р (Х ] Ха) = и (Х ] Ха)+ ~ я (Х ] Е) Р (Х ] Х ) !( Х. (2.6,227) Отметим, что решение уравнений (222), (227) может быть получе- но любым из известных методов решения однородных и неоднород- ных интегральных уравнений Фредгольма (57]. Пример 2.6.7. Цифровая система ФАП второго порядка. Рассмотрим цнф. ровую систему ФАП второго порядка [69], структурная схема которой приведена на рнс, 2,46. Предположим, что на вход системы действует аддитивиая смесь $ 63 полезного сигнала а (() = А, ь!и [!о,(+ В (()] и стационарного гауссовского шума ш (() с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о~э.
Предполага- . ется также, что энергетический спектр шума постоянен в полосе пропускания системы ФАП, а ширина аиергетического спектра шума достаточно велика, так что любые отсчеты процесса ш ((), отделенные конечным интервалом времени, можно считать втатистически независимыми, 24(, Принятое колебание поступает на вход аналого-цифрового преобразовате. ля (АЦП), в дискретизаторе (Д) которого в ьюмеяты времени Гь берутся отсчеты $ ((ь). Эти выборки смеси полезного сигнала и шума преобразуются в цифровую форму при помощи каантователя (К). Предполагается, что ошибки квантователя по уровням пренебрежимо малы за счет использования достаточно большого количества двоичных разрядов для представления чисел, т, е.
сигнал на выходе АЦП Х (я) = Х (Гя) = Аз ап (юе(ь -(- 0 (lг)) + э (й), где 0 (й) = 0 (Га), ш (Л) = ш (га). Выборки Х (а) подаются на вход цифрового фильтра (ЦФ) второго порядка, на выходе которого формируется сигнал У (й)=А,Х (й)+Аз ч~', Х (1), (2. 6. 223) (=о Рис. 2.45. Структурная схема цнфро- вой ФАП используемый для изменения периода колебания генератора с цифровым управлением (ГЦУ) Период Т (й) колебаний ГЦУ определяет моменты Гь взятия отсчетов принятого колебания, причем Т (й)=та а изменение периода колебаний ГЦУ связано с сигналом управления соотноше- нием Т(й) = где Т = 2пlыз — номивальный период Полагая без ограничения общности й-го отсчета имеем Т вЂ” У(й 1), колебаний ГЦУ, 1, = О, для момента взятия очередного а а Т (1) 4 йТ вЂ” ~~~' у (1)г ~=1 ! О и, следовательно, само значение отсчета имеет внд а — 1 Х(й) =Аз з(п 0 (й) — соо ~'~~ У (1) + ш (й) =Ла з1п на+в(А)ю (2.6.229) г=о где ошибна слежения за фазой полезного сигнала а-1 4р (й) = 0 (й) соо Е г (г) (2.6.
230) $ О Вычислив равность между приращениями фазовой ошибки Ф (я + 1) — Ф (я) и Ф (й) — ф (й — 1), для описания динамики цифровой системы ФАп второго) порядка из (216) и (213) получвм рааностное уравнение Ф (й + 1) 2Ф (й) + ф (й — 1) 0 (я + 1) 20 (и) + 0 (й — 1)— шз (Аг + Ьз)Х (ь) + меЬтХ (й 1) (2.6. 23!) Рассмотрим случай, когда изменение фазы полезного сигнала определяется отклонением частоты от номинального значения (например, аа счет аффекта Денвера), ж е. 0 (О = (ы — шз)1+ сопя(. (2,6.232) При етом из (231) с учетом (232) следует, что изменение фззозой ошибки будет описываться разностным уравнением ф (й + !) — 2ф (й) + ф (й — !) = юбчЛ (й — 1) — ю (Ьг + ЬДХ (й), (2.6,233) Разиостное уравнение второго порядка (233) аналогично обыкновенным дифференциальным ураиениям моигет быть сведено к двум ревностным уравнениям первого порядка.
В данном случае введем функции из (й) и и (й) так, чтобы ф (й) = иг (й) — г пз (й), г = 1+ (бз/Ь!)! (2.6.234) и, (й+ 1) - и, (й). (2,6.235) Подставив (234) з (233) и (229) с учетом (235), получим систему разностных уравнений и! (й + 1) = и (й), из (й + 1) = 2и (й) — и! (й) + вЬтАз а!и [и! (й) — гиз (й)) + вагш (й), (2.6.236) Так как выборки в (й) статистически независимы, система (236) определяет дву- мерную марковскую последовательность !1 (й) = [и! (!г), из (й)[з. Уравнение Колмогорова — Чзпмена (221) в данном случае имеет вид Ра+т (Ц [ ()о) =) пь ((1 1 а) Ра (а ! ([о) Аде (2.6.
237) где ()з = () (О) = [ф (О), О)'. Так как по предположению выборки стационарного шума ш (й) распреде- лены по нормальному закону, то плотность вероятности перехода в (237) не за- висит от й и определяется равенством 1 и (%! [ 2) =6 (ит — г,) ехр ( — [и,— 2гз+зг— [/2яоз — ад! Аз з[п (гг — гзз))з/(2оз)), (2.6,238) где оз = (юй,)зпм. Выполнив в (237) интегрирование по переменной г, имеем 1 Рь+т(иы из[Щ= ) ехр ( — [и,— 2и,+г— = У2.
— мЬг Ае з1п (з — гиг)) з( (2оз)) Рь (г, и! [ ()о) г(з. Ро(г, из[По)=6 (г — <р(0)) Ь(и,). (2.6,239) Получим плотность вероятности ошибки по фазе, приведенной к интервалу ( — и, и), Введем плотность вероятности Рь (иы пз [ цо) = ~ ~~Ь', ра (иг+2пп, пз+2пт [()о). (2.6. 240) /и= а Предполагая, что начальное значение ф (0) принадлежит рассматриваемому ин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
