В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(2.7.22) Подставив этот результат в (20) при й = 1, получим р, (1) = И е =и', 1 ) О, (2,7.23) Проделав последующие вычисления, придем к окончательной формуле, получившей название закона Пуассона (2.7.24) Из формулы (22) аледует, что вероятновть отеутатвия точки на малом интервале времени Ы (удовлетворяющем уаловию ХА(ж 1) приближенно равна Ро (А() = 1 — "АА1+ — )'(АУ)' — -" 2 что согласуется ао авойвтвом закона Пуассона (15).
Аналогично из (23) получаем р (АГ) )„А( ти(и()и 1 ~ 1.„и (А()з 1„А( ~~ 1 Этот результат совпадает а (13), Кроме этого, отаюда следует, что Х = В ш р (Ю) 151, (2.7.25) ю-о Для краткости запишем закон Пуассона в следующем виде: эн (ч) е — и ч=Ы, й=О, 1,2, ... (2.7.26) 44 Графики закона Пуассона для нескольких значений безразмерного параметра т приведены на рис. 2.50.
Если ч ( 1, то рн (н) имеет наибольшее значение при й = О. При ч ) 1, но не равном целому числу, рь (т) имеет наибольшее значение при Й =Я; Рис 2.50. Закон Пуассона 2СЦ если же ч есть целое число, то наибольшее значение будет при й = т н й = ч — 1.
Известно, что при ч -~ ьь закон Пуассона стремится к нормальной плотности вероятности. Нетрудно проверить, что для закона Пуассона справедливы следующие функциональные соотношения: ярд(у) = ярд (у), л(рд(у) = ч рд (у). Начальные моменты закона Пуассона па;= ~ч', Й' рд(ч) (2.7.27) д-о равны т, = ч, т = ч + ча, та = т + Зча + ча, та = ч + 7ча + б,а (,„4 (2.7,28) Другие моменты более высокого порядка можно вычислить, пользуясь одной из двух рекуррентных формул: (2.7.29) пад+1 = тпа + ч „1аа "М,10 ! Центральные моменты ра=,'))7 (Й вЂ” ~а)"рд( ) равны ра = О = ча )да = т (аа = ч + 3чя (2.7.30) Высшие центральные моменты закона Пуассона могут быть подсчитаны по рекуррентной формуле р +1= п(а -1+ у — Фп а аа Все кумулянты закона Пуаасона равны ч.
Из (28) и (30) следует, что для закона Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны друг другу: т,=й =ч=ЛЛ (2.7.32) Поскольку математичевкое ожидание т, определяет вреднее число точек, выпавших в полуинтервале (О, 1), то параметр Л =т,ф (2.7.33) можно трактовать как ареднее число точек, приходящихся на единичный интервал времени. Позтому параметр пуассоновского процесса часто называют интенсивностью потока. Изучим теперь статистические характеристики временнйх интервалов между различными точками. Сначала найдем функцию распределения времени появления А-й точки тд Р,д (1) = Р (1» ( 1), (2.7.34) 252 Если ввести. функцию распределения закона Пуассона Р„(п)= ~ (") е-", м «-о (2.7.36) то предыдущее равенство примет вид ~„(() =1 —.Рм (й — 1), й =1,2,3...
Наоборот, (2.7.37) Рм (() = 1 — Ри+1 (1), 1 = 0,1,2„,. (2.7.38) Отметим, что формулы (37) и (38) справедливы для любого целочисленного процесса (У((), 0 < 1< +со) а единичными скачками в точках (ю воли принято У(0) ооо О. Применительно к закону Пуаесона формула (37) дает о 1 Р„(()=1 — в-~ ~ — '"", г)0. (2.7.39) о=о Отсюда, беря производную по времени (, получаем плотность вероятности времени (о появления Й-й точки: ро (О= — — е -хс (ЛО' и) ~ г-о = — — ( е ~ ~1+Л1+ — (Л()о+ ...+ (Л()» 'Д = Ле-и [1 1 Л( ( 1 ( (Л()о г ( ) (Л() (о — 2)! (а — О! — 1 — Л) вЂ...— - (ЛОо=' (Л1) ~ =Ле (Ф вЂ” 2)! (а-))~ * Таким образом, плотность вероятности времени появления л-й точки определяется формулой Р,о (г)=Ле х' (Л()~ '/(а — 1)1, )о=1,2,3„„; () О.
(2,7,40» Эта плотность вероятнооти известна как гамма-распределение (о параметрами й и Л) и как закон Эрланга. Воспользовавшись формулой 253 Рассмотрим типовую реализацию рассматриваемого целочисленного процесса У (() (рио. 2.48). Из рассмотрения рисунка можно прийти к заключению, что существует однозначное соответствие между значениями целочисленного процесса У (() и моментами появления точек. В частности, события (Го < Г) и (У (() ) А — Ц являются статистически эквивалентными (имеют равные вероятности), так как одно из них осуществляется тогда и только тогда, когда происходит другое. Поэтому можем написать Р (( < () = Р (У (г) ~ й — Ц = 1 — )о (У (() < й — Ц. (2.7.35) (40), нетрудно найти среднее значение и дисперсию времени („появ-.
ления Ьго события: М (4ь) = йуй, Р((ь) = ЫУ. (2.7.41) Покажем, что последовательность временных интервалов между соседними точками пуассоновского процесса есть независимые и одинаково распределенные случайные величины с экспоненциальной плотностью вероятности. Обозначим интервалы между точками через тт = (г — 0> ть = (ь — („ь й = 2, 3, 4, ... (2.7.42) Согласно третьему определяющему свойству пуассоновского процесса (независимость значений на неперекрывающихся интервалах) появление событий после любого момента времени Г„, п = 1, 2, 3, ..., не зависит от того, сколько и как появлялись события до и при г„.
Поэтому последовательность случайных величин (тю й = 1, 2, 3, ...) является независимой. Лля произвольного т) 0 события (т„) т) и (У (1„, + т)— — У (1„ г) = 0) статистически эквивалентны, так как осуществление одного из них достоверно влечет осуществление другого. Поэтому Р (т„) т)=Р (М (Е, ~+т) — У (Е 1)=0)=Р (У(т)=0)=е- '. На основании этого равенства находим функцию распределения интервалов Р(т) = Р (т„( т) =1 — е-~', т ) О.
(2.7.43) Следовательно, плотность вероятности временных интервалов между соседними точками является экспоненциальной: р (т) = — Р(т)=Х е ~', т) О, (2.7.44) ст Среднее значение и дисперсия интервалов между точками равны М(ть) = 1А, Р (ть)=1/У, А = 1,2,3..., (2.7.45) Из сравнения выражений (41) и (45) следует, что М (Я = й М (ть), Р ((ь) = йР (ть). Такой результат является закономерным, так как 1ь = И~с 4ть где т4— независимые и одинаково распределенные случайные величины.
Локажем теперь обратное утверждение. Пусть имеется последовательность независимых случайных величин г» г„..., гю ..., имеющих одну и ту же экспоненциальную плотность вероятности р (г) = р (г) = Хе-ь*, г) О. (2.7.46) Организуем случайный точечный процесс следующим образом. Стартуя от произвольной начальной точки 1 = О, расставим точки в моменты времени (,=г„(,=г,+г„...,гь=г,+г,+...+г„,... Можно утверждать„что полученные точки распределены по закону Пуассона с параметром 1. Чтобы доказать наше утверждение, необходимо показать, что вероятность рь (1) иметь й точек в полуинтервале (О, () дается законом Пуас- 254 сона (24). Предварительно приведем несложные математические сведения. Используя известный интеграл е!э е-'" дх=,Л - О, (2.7.47) л — !э ' о убеждаемся, что плотности вероятности (46) соответствует характеристическая функция Ф(16)=~е~~ р(г) пг=Л~ ехр ()дг — Лг) дг = —.
(2.7.48) л — )о а о Дифференцируя й — 1 раз обе части равенства (47) по Л, убеждаемся, что характеристической функции Ф ()д) = (Л7(Л вЂ” 16))а (2.7.49) соответствует плотность вероятности р (!) = Л (Л!) е — ~', ()О. (2.7.60) (ь — ц! Все рассматриваемые случайные величины гь независимы и имеют одинаковую плотность вероятности (46). Поэтому характеристическая функпия их суммы гь равна произведению характеристических функций (49) и соответственно плотность вероятности случайной величины (ь дается выражением (50). Учтем, что случайные величины 1ь и г~+, также независимы, так как г„г„..., гь не зависят от гь.ьм На этом ооновании совместная плотность вероятности (ь и гь+, дается произведением их плотностей вероятностей: р (т) р (г) = Л гь-! е-"' Ле-ь', ()О, г)0.
(~ — Ц! Чтобы в полуинтервале (О, т) было ровно А точек, должны совместно выполняться два неравенства: (ь (т и (~+~ — — (д + г~+,) т, Поэтому искомая вероятность должна определяться следующими условиями: Рьй=Р Ра(т, ть+гь~,)т) Р ((ь ч, гь-ь!)т — (ь)= Ф (~-~ е-х!Ле — ~~ с(г=( е — ~ (~-~! Л 1~~ с ыЩ— ! (ь — ц! д (А — Ц! (Хт) уз й! Таким образом, утверждение доказано. С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что количеатво точек в неперекрывающихея интервалах независимо. Следовательно, два термина: 1) точечный процесс является пуассоновским и 2) интервалы между соседними точками процесса — независимые случайные величины с одинаковой экспоненциальной плотностью вероятности (44) по существу являются эквивалентными.
)(ля полного статистического описания пуассоновского точечного процесса вычислим плотности вероятности прямого т+ и обратного т- 255 времен возвращения (рис. 2.49). Возьмем произвольный момент времени ('. Пусть в результате такого опыта оказалось, что момент времени (" накрывает интервал т„= („— Г„м т. е. г„есть случайная ° координата первой точки рассматриваемого потока справа от г' и Г„, — координата последней точки слева от Тогда т+ = („— г', т = Г' — Г„м Покажем, что плотности вероятности этих случайных величин одинаковы и экспоненциальны, т. е, определяются соответственно формулами р+ (в) = Хе- "', р- (т) = Хе-", т)0.
(2.7.51). Действительно, пусть т~ О. Два события (т+ ( т) и (М (г' + т)— — )Ч(8') )~ 1) = (У(т) > 1) = 1 — (У(т) = О) статистически идентичны, и вероятности их равны: Р+ (т) = Р (т+(т) = 1 — ро (т) = 1 — е™, т)0. Продифференцировав это выражение по т, придем к первой формуле (51). Аналогично доказывается и вторая формула. Плотности вероятности (51) совпадают о (44), т. е, вероятностные характеристики прямого и обратного времени возвращения такие же, как и для интервалов между соседними точками пуассоновского процесса. Иначе говоря, ничего не изменится, если на рис. 2.49 считать, что в 1' находится точка пуассоновского процесса. Рассмотрим случайную величину т = г~ + т- = („ — („ ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
