В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 49
Текст из файла (страница 49)
тервалу, из (239) н (240) имеем Рь.~ (и~, и [и,)= )г К(и! и, з) Рь (з, и! [щг[а. (2.6.241) Для целых значений г функция К [ит, и, з) имеет наиболее простой вид 1 К (паь и„з) = ~ ехр ( — [и,— 2ит+2пй+ '[/2поз +г — юдг Ар а!и (з — газ)[з/(2оз)). (2.6. 242) 243 -ба-да-ра (г 7!7 2,а ср -3,П-2,0-777 () уб у,а 3,0 с Рис. 2.47.
Стационарная плотность вероятности ошибки по фззе в колебательном режиме Рис. 2.46. Стационарная плот. ность вероятности ошибки по фазе Ствционзрнзя плотность вероятности, кик его следует из (241), может быть найдена ив решения интегрального уравнения Р (ик, и,)= )' К (иг, и„г) Р (г, иг) бг.
Плотность вероятности ошибки по фазе может быть нзйденз по известным рд (иг, из! Ое) и Рд (иы из ! Ое) с помощью правил преобразования плотностей вероятностей (см. 43.2), Например, Рд (ф ! фе) определяется выражением Рд (ф ! ф,) = — ~ Рд (и„— ~ фю О) бит. Нз рвс, 2,46, 2,47 поквзены стзциоивриые плотности вероятности Р(ф) ошибки по фазе, полученные в (69) с помощью решения интегрального уравнения (243) методом последовательных приближений. Кривые нз рис.
2.46 соответствуют знзченяю ыбгАз = 0,6 и отношению сигнзл-шум р = Аегуам = 20. Отметим, что значение г = 2 обеспечивает наименьшие ошибки по фззе в отсутствие шумов при достаточно большик й. Нз рис. 2А7 приведена плотность вероятности Р (ф) в стзционзрном колебательном режиме, полученная при ыЛдАе = 1,8 и р = 60. Кзк покззывзет знелиз лннезризовзнной модели (236), такой колебзтельный режим возникает при ыбгАе ) 4! (г -(- !) (69), 2.7. ПУАССОНОВСКИИ ПРОЦЕСС И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ Общие сведения о случайных точечных процессах Во многих областях естественных наук (радиотехника, физика, оптика, биология, медицина, экономика, теория надежноати и массового обслуживания и др.), в технике и экономике часто возникают задачи, требующие вероятностного описания последовательности событий, возникающих в отдельных точках проптранства или в отдель« ные моменты времени, В простейшем одномерном случае последова- 244 тельность случайных событий, происходящих во времени, можно характеризовать случайными моментами времени их появления й, г„ 1а,...
на оси т. Такую посладовательноать событий часто называют случайным потоком (или просто потоком). Геометрически случайный поток можно изобразить в виде случайно следующих друг за другом точек на оси времени (рис. 2.48). Случайный поток можно также назвать случайным точечным процессом, так как реализации такого процесса представляют собой случайную последовательность точек. Укажем несколько конкретных примеров. 1.
Пусть имеется дифференцируемый случайный процесс $ ((), и иас интересуют пересечения этого процесса снизу вверх с горизонтальной прямой на уровне Н. Последовательность таких точек пересечения на оси времени будет представлять собой случайный точечный процесс. 2. Известно, что прн работе электронных ламп электроны вылетают из нагретого катода в случайные моменты времени, что является одной из определяющих причин наличия дробового шума анодного тока.
Последовательность моментов вылета различных электронов из катода есть случайный точечный процесс. В качестве другого примера можно указать на случайные моменты появления атмосферных и индустриальных помех на входе радиоприемного устройства. 3. Будем фиксировать моменты отказов разных элементов какого-либо сложного устройства (например, ЭВМ), содержащего много элементов.
В результате получим поток отказов, являющийся случайным точечным процессом. 4. Последовательность заявок (посетителей, телефонных вызовов из данного района, неисправных приборов и т. д.), поступающих на обслуживание, есть также случайный точечный процесс. Выше приведены простейшие примеры точечных процессов, когда каждое событие определялось указанием лишь одной координаты— момента времени появления. Конечно, в конкретных задачах обычно встречаются более сложные ситуации. Например, для полного описания дробового шума, помимо указания моментов вылета электронов, важно знать форму импульса тока, наводимого вылетевшим электроном на аноде, которая зависит от случайной начальной скорости алек= трона.
При анализе случайного потока в виде прямоугольных импульсов, помимо начала появления, нужно также знать длительность и высоту импульсов. При изучении потока грозовых разрядов или землетрясений, кроме указания момента начала грозового разряда или землетрясения, важно знать продолжительность и пространственные координаты источника (высоту, широту и долготу). В этом направлении возможны различные обобщения случайных точечных процессов.
Рассмотрим одномерный случайный поток в виде неразличимых точек на оси времени (рис. 2.48). Обозначим через )ч' (1) случайное число событий (точек), появляющихся в полуинтервале (О, Л. Значения )у (1) изменяются иа целое число только в моменты времени 1м 1 = 1, 2, 3, ... Очевидно, что реализациями случайного процеваа являются неотрицательные, целочисленные и неубывающие ступенчатые функции вида, приведенного на рис. 2А8. 245 агФ)1 порядка малости, чем И: п~- . тл-т а зл Ф тл ггы Гг тала Рнс.
2.48. Случайный точечный н соответствующий целочнс. ленный процесс Рнс. 2лз. К определении прямого т+ н обратного т- времени возвращения Р (Л1 (Г+ Ы) — Лг (1) ~ 1) = о (Л(). (2.7.2) Иначе говоря, ординарный поток есть поток относительно редких событий; в нем практически исключается тесная группировка или совпадение событий (наложение точек). Можно указать два тесно связанных между собой метода описания случайных точечных процессов 141, 71, 72). Первый базируется на рассмотрении целочисленного процесса Л'(г), а второй — на анализе случайной последовательности точек иа оси времени (рис. 2.48).
Для описания случайного потока введем вероятности совместного выпадения т точек на полуинтервалах а; ( 1( Ьг т (а„бг) = Л' (Ь,) — )ч' (а;), Ьг ) а;, (2.7.3) определив их следующим образом: рл (т„а„Ь;, т„ая, Ь;, ...; тт аы Ьа) = = Р (т (аг, Ьг) = тг, Е = 1, й). (2.7.4) Вероятноети рл (та, а„ Ь;, ...;тл, ал, Ьд) совместного выпадения т„..., тд точек в полуинтервалах (ам Ь,),, (аы Ьа] позволяют определить два важных частных вида случайных точечных процессов: стационарных процессов и процессов и независимыми приращениями (значениями).
Стационарным точечным процессом называется елучайный поток точек, для которых вероятности рл с произвольным индексом А не из- 246 В последующем ограничимея изучением в основном целочисленных и ординарных точечных процессов. Случайный процесс Лг(1), определенный на полубескоиечном интервале 0 ( г ( оо, называется целочисленным, если гч'(1) может принимать только целочисленные неотрицательные аначения, причем примем по определению Л' (О) = О. (2.7.1) Случайный процеса Л7 (1) называетая ординарным, если вероятность наступления более одного события на любом малом интервале времени И есть величина более высокого меняются при сдвиге всех полуинтервалов (а!, Ь!), 1 = 1, й, по оси вре' мени ! на произвольную величину йм рд (т„а„Ь»; ...; т д, аю Ьд) = рд (т„а, + «», Ь„+ Л„...; тд, ад+ Л, Ьд + Л), ' (2.7.5) В частности, для стационарного точечного процесса должно выполняться равенство р, (т, а, Ь) = р! (т, а + с», Ь + Л).
Полагая здесь Л = — а и обозначая т = Ь вЂ” а, можно написать р, (т, а, Ь) = р (т, т). (2.7.6) Это выражение показывает, что в стационарном точечном процессе вероятность наступления некоторого числа событий в течение заданного отрезка времени т зависит только от величины этого отрезка и не зависит от его расположения на оси времени. Случайный точечный процесс, для которого при непересекающихся полуннтервалах времени (а!, Ь|), !' = 1, й. выполняется соотношение рд (т„а, Ь;, ...;тд аю Ьд)= П р»(т„аь Ь;), (2.7.7) !=! называется процессом с независимыми приращениями (значениями). Равенство (7) выражает тот факт, что вероятность наступления событий в полуинтервале (а;, Ь!1 не зависит от того, сколько раз и как появлялись события вне этого интервала. Поэтому условная вероятность появления т! событий на полуинтервале (а;, Ь!! при любом предположении о наступлении событий до а! совпадает с безусловной вероятностью. В связи с этим иногда вместо независимости приращений говорят об отсутствии последействия, отождествляя эти два термина.
Из изложенного следует, что полное вероятностное описание ординарного точечного процесса с независимыми приращениями достигается заданием вероятностей р; (ти а!, Ь;). Если в дополнение к этому процесс является и стационарным, то для вероятностного описания процесса достаточно указать вероятность р (т;, Ь; — а;). Случайный точечный процесс, удовлетворяющий трем условиям: ординарности, стацнонарностн и независимости приращений, называется просптейи«им или пуоссоновским процессом или потоком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
