В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(2.6. 200) Отметим, что значение р (Х, т) для Х ~ Г, определяется в процессе решения, Достаточно полно качество синхронизации характеризуют также моменты распределения времени до срыва синхронизации г„(хю х,)=еа уз (хю хз) =) т" ' р (хю хз! т) г(т. (2.6,20!) о Из (199), (201) следует, что моменты распределения времени до срыва синхронизации могут быть найдены из решения второго уравнения Понтрягина, которое в данном случае имеет вид 1 У хз д — — гз (хю х,)+ — ' — г„(хю х,)+ / Ае + — — х,— з!п пхг — з„(хю х,) = — пзз ! (хю х,), хз л=!, 2..., а, (хю хе) =1. (2.6.
202) Уравнение (202) следует решать с граничным условием. а„(хг,хз) О, (хт,хз) ~ Г, и 1,2,„. (2 6.203) Аналогично (17, 66. 67) для решения краевых задач (199), (200) и (202), (203) могут быть использованы разностные методы. На рис. 2.39, 2,40 показаны зависимости вероятности поддержания режима синхронизации в течение ч 2 от пачальныи значений ююрдинат системы, полученные численным решением краевой задачи (199), (200) при Ле/Ь 0 (риа. 2,39), Ьз/Ь 0,76 (рие. 2.40), р = 0>26 и р 1, Видно, что наличие средней расстройки по частоте приводит каи и уменьшению вероятности поддержания синхронизации в течение ааданно- 233 го интервала времени т, так и к существенному изменению характера зависимости от начальных координат, На рис.
2.41 представлены зависимости вероятности подхержания синхронизации р (О, О, т) из точки хт = х = 0 от времени т прв постоянных значениях параметров р = 5, () = 0,25 я разных значениях Ь,И, Анализ результатов вычисления р (хд, х, т) прн различных аааченнях Рис. 2.39. Вероятность сохранения режима синхронизации при т=2 Ье/Ь=О р=1, 5=0,25 параметров системы показывает, что начиная с некоторого момента времени зависимость вероятности поддержания синхравизации от времени мохсет быть аппроксимирована а заданной точностью функциями вида Р (хт, ка( ч) = а (хт, хе) екР ( — Ь (хт, ка)т).
С помощью численного решения краевой задачи (202), (203) поясно получить зависимость среднего времени да срыва синхронизации ат (хп х ) от параметров системы и отношения сигнал-шум. На рис. 2.42 показана аавйсимость ат (О, 0) от отношения сникал-шум р при отсутствии средней расстройки частот генераторов Ье = О для различных значений отношенья постоянной времени фильтра к полосе удержании системы (т, Здесь же штриховымн линиями представлены 234 приближенные зависимости среднего времени до срыва синхронизации от отношения сигнал-шум, вычисленные при тех же значениях параметров по формуле г, =25 1/йзр 1, (2рр) ехр (25р), полученной методом вычисления среднего числа пересечений фззовым рассогласованием уровней ~п в стационарном состоянии (17). Зависимость среднего времени до срыва синхронизации от отношения сигнал-шум в системе ФАП второго порядка носит явно выраженный пороговый карактер.
Для отношений сигнал-шум ббльших порогового (р яе 5 для рассмот- Рнс. 2.40. Вероятность сохранения режима синхронизации прн 'г=2 До/5=075 р=1, )3=0,25 ренного на рис. 2.42 случая) она может быть зппроксимирована простым выражением вида зг (О, 0) а ехр (Ьр), Зависимость коэффициентов а и Ь от параметра О при йз = 0 показана на рис. 2.43, Это обстоятельство позволяет аатабулировать значения коэффициентов а и Ь для системы (195) и ие проводить численных расчетов иа ЦВМ для отдельных конкретных случаев, Наличие средней расстройни частот подетраиваемых генераторов приводит, кзк уже отмечалось, к значительному ухудшению качества синкроннззции.
Зтот факт наглядно иллюстрируется также кодом кривых, приведенных на ис, 2.44, где показана зависимость зг (О, 0) от отношения сигнал-шум при = 0,25 для различных значений относительной вредней рааетройки бзтй. Пример 2.6.6, распределение максимумов марковского процесса. Решив задачу о первом достижении границ заданной области, можно получить распре. 255 деление величины максимума М (хе, () марковского процесса х (т) на интерва. ле ((з, ()! М (хз !) = зпр (х (ч)!е х (го) =хз (2.6.
204) г„<т<г Действительно, на основании определения функции распределения Рм (Н, Г! хз, гз) случайной величины М (хз, !) через вероятность соответствующего события можно написать Ры (Н, ! )хз, (з)=Р(М (хз, С) ц Н)=1 — Рн (((хз, Ге), (2.6,205) тл'д,д, г! Рис. 2,41. Влияние средней расстройзи по частоте ва вероятность сохранения режима синхрони- зации где Рн ((! хз, (з) — вероятность того, что траектория процесса х (!), начинающаяся иа точки хз, ни разу не достигнет уровня Н в течение интервала (зз, Г). Плотности вероятности случайной величины М (хз, !) и случайного времени т~ первого достижения процессом х (Г) уровня Н по определению равны д шы(Н~ Р!хо~ (ю) = — Р.м (Н (!хз го), дН (2.6.206) д ш (Г!»з, (~)= — РН((!»ю !), дг' (2.6.
207) Если плотности вероятности (206), (207) существуют, то может быть найдена совместная плотность вероятности в (з; Н, Г ! хз, гз) случайной величины ты, ы м (хз, г) и случайного времени ти первого достижения процессом х (т) своего максимального значения на интервале (Г„Г). Для втого заметим, что совместная плотность вероятности случайных ведичин М (»„0 и тз на основании теоремы Байеса может быть записана в виде. шт ы (з'Н Ф!хо ° то) =мы(Н,()тз=з) ют (з)хо (а) (2 6.208) где шы (и, ( ! чз=з) — плотность вероятности случайной величины м (х, г) при условии, чтв в мемент времени з случайный процесс х (т) впервые достиг векоторого значения с. Очевидно, что введенная условная плотность вероятности связана с (206) соотношением шы (Н, ( )та=а)=ю (Н, Г)з, з), (2.6. 209) которое выражает тот Факт, что при указаяных условияк максимальное аначе.
ние процесса достигается на интервале (з. Г) из состояния с, 236 б(74) фу гг 'ку,бб удав и уб ба бб вб бйз а(в) 24 уг б)» 47 а К ур 7У р Ы бб бР Вб 7В Подставляя (209) в (208) и учитывая, что совместная плотность вероятности ч, н М (ха, Г) совпадает с (208) при с = Н, имеем д Г ш. М(5; Хг, 1! хз,(а)=шт (з)ха, (о) — — ) Фт (т! Н,а) лт 5 ец ы (2.6.210) где плотности вероятности времени первого достижения заданного уровня определяются соотношением (207), Получим плотность распределения времени первого достижения максимального значения при Г Е ( — ао, оо) марковским процессом, поведение которого описывается стохастическим дифференциальным уравнением* (2.6. 211) ох = -а айп (г)о(+ (Ыо, к (О) = О, где о ()) — стандартный винеровский процесс( сс '=ь О. " Результаты этого примера принадлежат В.
С, Ефименко. 237 Рис. 2.42. Зависимость среднего времени до срыва синхронизации от отношения сигнал-шум при Ьз/Л=О Рис. 2.43. Зависимость параметров аппроксимации от отношения полосы удержания к постоянной времени фильтра Всякузо траекторию процесса (211) можно представить состоящей из двух еветвей» хт (О: 1 т ( — со, О) и хе (Г): 1~ !О, о»). Обозначим через Мм тап и Ма, тиз значения максимумов и времени первого достижения этих'максимумов пропессами хт (т) и л, (т). Очевидно, что для процесса (2!1) имеют место равенства < тм1, если Мт > Мз; чм тжт, если М» ( М» М щах (Мт, Мз).
гг 0(6 Лет Рис. 2.44. Влияние средней расстройка по частоте на среднее время до срыва синхронизации (6 0,26) Отсюда следует, что искомая у Ю 2 4 б В р плотность вероятности может быть найдена по формуле ю (з) =~ <ю (з, Н) р (Н)-(-и (з, Н) рмг (Н)] г(Н, (2.6.212) ГдЕ, ИМЕЯ В Ввду ПЕрЕХОд К Г-» со И УСЛОВИЕ а (О) = О, В ОбОЗНаЧЕНИяХ ОПуШЕНа зависимость от 1, Гз и л,.
Для процесса, ваданного стохастическим дифференциальным уравнением "»~ = — с»б(+ ()г(о кз ((о) = ле, плотность вероятности времени первого достижения уровня Н имеет внд )68) 2 6 213 (з)хо» (о)=,— згв схр < 20» ° 1) Н Уйп Р(з — (з) » При (з = 0 и иа = 0 нв (213) и (210) следует Н Г (Н+.)) ютм,лгз (з! Н»1) — — — зтг е р) 26» 2~ у 1 1 2 Г я»Н з) 1~ —.(- — 0) — )/( — з 1+ — ехР 1 — — 1, (! ) () и (( — з) 26» (2.6.214) 1 з 1 (з'» где 6» (х) == ( ехр ~ — — ~ П вЂ” интеграл вероятности.
)/2п " ~ 2~ Отметим, что в процессе вывода формулы (214) при вычислении сомножителя в квадратных скобках (210) нельзя сразу помеиядь порядок интегрирования и диффереицировання. Переходя в (214) к пределу при г- со, имеем аН Г '(Н-)-аз)з! Аналогично для Риз (Н) при ! оо получим выражение 2аН д Риз (Н) = 1 — ехр ( — ) рз )' (2.6.216) Можно показать, что процесс хд (т) имеет такие же характеристики: в формуле (215) нужно только заменить з на ) з ). С учетом этого замечания, подставив (2!Б) и (216) в (212) и выполнив интегрирование по и, получим искомую плотность вероятности га (з)=2 — (Ф ( — )/Я) — 1+3 [ехр ( )1 К Х [1 — Ф ( 1/!а! ф.
(2 6 217) Из (217), в частности, может быть найдена дисперсия случайного времени достижения процессом (211) максимального значения од = В( т„) =(1373) (!)!а)д, (2.6.2!8) Марковские последовательности р(Х„...,Х„)=р(Х,) П ид(Х!)Х! !). (2.б.219) По аналогии со сложной цепью Маркова можно ввести сложную лдарковск(гю последовательность порядка т ) 1, определяемую сле- 239 По приведенной классификации марковской последовательностью называется последовательность и-мерных случайных величин Х, = = Х (1;), которые в некоторые дискретные моменты времени 1а С уд( < ...< (д( ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
