В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 42
Текст из файла (страница 42)
й=( — 1; 0 для остальных 1, й > О. а ь (г) = (2.6.76) Так как размерности соответствующих матриц и векторов а рассматриваемом примере не ограничены, получить вероятностные характеристики яа основании (51), (56) не удается. Используя те же рассуждения, хоторые привели к уравнению (55), с учетом (74), (75) лля безусловных вероятностей состояний получим а — р, (() =х(, (г) р,, (() — р„(1)+ру р)) р, (г)+ +Р,~ьг (г) Р;+, (П, 1=1, 2, ... В рассматриваемом конкретном случае предполагается. что сосгоявне ' = 0 является поглощающим.
Понтону ори 1 = 0 в (76) нужно положить х (й = да (1) = рз (1) ы О, т: е. — р„(й-р, (1) р, ((). Если в начальный момент времени (Г = 0) значение процесса 0 (0) = й, то начальные условия для уравнений (76), (77) имеют вид Г 1, )=й, р! (0)=йхь=( '( о, )~й. (2.6.78) (2.7.77) Аналогично (76) для вероятностей перехода можно написать прямое уравнение Колмогорова 210 (см.
например, [171), а соответствующие характеристики могут быть получены методами теории точечных процессов. Приведенные выше формулы удобны для вычислений на ЦВМ для конечных значений К и при небольших значениях К позволяют также получить аналитические результаты. Если число состояний дискретного марковского процесса бесконечно (но счетно!), то в некоторых случаях статистические характеристики для такого процесса удается получить решением соответствующих дифференциальных уравнений. Применение этих методов рассмотрим на простых примерах. ' Н и пы (1)=л!-! (В пи1 (с) — [лг(1)+р! (1)) н11 (г)+р!+с(1) и 1+! (В (2.6.79» с начальным условием (2,6,82) которое согласно (78) н (82) следует решать с начальным условием Е (з, О) = еь, Общее решение уравнения (83) имеет вид г (з Г)=[( е гь "! ) ! — з где [ ( ) — произвольная функция, для которой согласно (84) имеет место ра- венство (2,6.84» (р — Лз ) В качестве такой функции можно взять, например, функцию ' =(".::)' Поэтому производящая функция вероятностей состояния прн ааданном начальном значении 0 (О) = 1 дается соотношением г" (з, 1)— а (1)+[1 — (Л+р) гй (Г)[ з )Ь Э (2.6.85) 1 — [) (!) з где обозначено ны (О) =606 (2.6.80» В общем случае при произвольных функциях Л) (Г) и р) (1) решение уравнений (76), (77), оказывается затруднительным.
Поэтому далее рассмотрим несколько частных случаев. Линейный процесс рождения и гибели. 1)ля такого процесса интенсивности рождения и гибели (положнтельного и отрицательного приращения) являюсся линейными функциями состояния Лг = [Л! р; = )р, Л ~ 0, р -. 0. (2.6.81) Введем проиаэодяи(ую функцию еероятностей состояния г (з, Г) = ~~~ рт (1) ь" . 1=0 Умнояснв обе части уравнения (76) на е, из (76) и (77) суммированием по всем 1 получим уравнейие в частных производных д д — г (з, Г) =[Лез — (Л+ р) я+р) — Р (л, !), дг дз (2.6.83) «(1) = рр(г), [1 (г) = Л р (г), [ехр (Л вЂ” р) Г) 1 т (г)= Л [ехр (Л вЂ” р) 1) — р Иа (82),'(85) следует, что вероятность поглощения, т: е.
ляцни, в данном случае равна р (г)-[и(Ф' =р [р (г))' ° (2.6.86) (2.6.87) (2.6.88) вырождения попу- (2.6.89) 211 Вероятность того, что популяция когда-нибудь выродится, получается из (89) предельным переходом при Г- ао, а именно; Нш р, (1) = » * (2.6.90) 1 ори Л~<(г, з ~ (р/Х)» при Х ) р. Из спойств производящей функции (40), (41) для математического ожидания н дисперсии случайного процесса О (1) имеем М (О (1) [ О (О) =») =я 1 — сс (1) ь= с =йе( =п1 (2.6,91) 1 — Р(ф (1 (О (1) [О (О) =а) =» — еР и> з [ е(Ь п1 з 1) (2.6.92) д+р Х вЂ” м.
Разложив (85) в ряд по степеням з [46), для вероятностей перехода п»1(0 получим », (ф = Ч ', С" Сф-,' „, (1))'=" [1 — (Г) — О,Г))" [6 (1))1-", [ >», »=о (2.6.93) И где С,", = Из (93), в частности, следует, что для начального состояния О (О) = 1 бе- зусловные вероятности состояний равны ру (С) = [1 — сс (Г)) [ 1 — Р (С)) [[3 (()) 1 ', 1 = 1, 2, ... , Ро (1)=ж (1). Отметим, что при р = 0 (такой процесс называется процессом чистого рож- дения мли раамноясвния) из (91) — (94) следуют соотношению р,(1)=е-~'(1 — е "')' ',)=1,2, ..., и, Н) ы 0; п»1 (1) = 1 С~1 ~~ е»ы(1 — е ь')1», 1 м», (2.6.96) О, )<»; М (О (С) [О (О)=»)=» е~', 11 (О (1) ) О (О) =»)» еы [ еьз — 1). (2.6.95) (2.6.97) (2.6.98) ( 1 о (1) — 1 1 ( ~ (» (г) ет(т1 Дт о 1 1 за > — '"и'~>.~[ м»'"ь) (2,6.99) (2.6.100) » .
у (1) = ~ [ (ч)-Х (ч)) бт. (2.6.101) 212 Распределение (95) называется распределением 10»а — Фарри [46). Неоднородный пронесс рождения и гибели. Для такого процесса в отличие от (81) интенсивности рождения и'гибели являются произвольными функциями времени К (1) и р (т) и не зависят от состояния у. Можно показать [47), что в атом общем, случае решения (93) и (94) остаются справедливыми, только теперь функции а (1) и р (() должны вычисляться по формулам Для таких неоднородных процессов среднее значение в дисперсия равны М (8 (1) ! 8 (0) = й) = д ехр 1 — 7 (1)), с 17 (8 (1) ! О (О) =й7=й е тт 01 ) [й (г)-)- р (ч)) ет 1'! Д т. (2.6.103) о Вероятность вырождения, как следует из (39) и (99), дается формулой (2,6.102)» Г ~Г '1 Ць », Н-([!» М * '" »+»(» М" '*'» ~ ) (2»ч 1» з Она стремится к единице при 1- со, когда расходится интеграл в первых квздрзтных скебках, Процесс Пойа (46), Это неоднородный процесс чистого рождения, у кото- рого х1 (1) =д 1+ и1 1+иЛ1 , 91(1) ыО, (2.6.105) где и и Х вЂ” неотрицательные константы.
Состояние 1 = 0 в етом случае является отрзжаюшим. Уравнения (76), (77) для безусловных вероятностей состояния процесса Пойа имеют вид 1+с (1 — 1) !+ и) — Р (1) =1» г(1 и 1+иьг 1 1+ай Р Р1(1) 1 1 2 "° » (2610(!) д Х Ро (1) = Р» (8 ° з1 1+иь1 (2.6.107) Если начальное состояние процесса 8 (0) = О, то решение уравнений (106), (107) можно получить методом математической индукции последовательно для Р» (1) Рг (1) ": Рз (О Действительно, тзк как решение уравнения (107) с начальным условием Р, (0) = блч имеет вид Р, (1)=(1+иХ1) (2.6. ! 08) из (106) получим 1 (дг)! -1- — 1 — ! Рз (О= (1+и)1) " П (1+а(). (2.6.109) 1 г=! Для других начальных условий решение уравнений (106), (107) может быть получено заменой переменной ( ехр (ьт) — 1)1)», (2:6.110) которая сводит уравнения (106), (107) к однородным. Полученные однородные уравнения решаются аналогично тому, как зто делалось для линейных процессов рождения и гибели, Выражения (108), (109) позволяют получить матемятическое ожидзние и днсперсию процесса Пойа (2,6,113) 213 И (8 (1) ! 8 (О) - О) = Д1, (2,6.111) )7 (8 (1) ( 8 (0) 0) "».1(1+ ай().
(2,6.112) При и = 1 заменой переменных (110) из (!03), (109) получим распределение Юла — Фзрри (95). дискретный процесс Пуассона. Однородным дискретным процессом Пуассоне назывзетая неубывзюший целочисленный процесс с постоянной интенсивностью изменения состояния й1(1) =Д» м1(1)ыО, ~> О. Процесс Пуассона можно интерпретировать также как число поянлений ва время ( некоторого случайного события (см. й 2.7). Из сопоставления (113) со (105) следует, что процесс Пуассона соответству- ет процессу Пойа при а О, Понтону для безусловных вероятностей состояний, математического ожидания и дисперсии пуассоновского процесса при 6 (0) = 0 нз (108), (109) а (111), (112) следует р.
(!)= ехр ( — а!), (а!) !! (2,6.114) м (О (О ! о (о) = о) = хй (2.6.1 15) () (О (О! 0 (О) = 0) = Л!. (2.6. ! 16) Для вероятностей перехода, как нетрудно убедиться, в данном случае име- ет место равенство (2.6.117) Если параметр К зависит от времени, т, е, пуассоновский процесс является неоднородным, то все вти соотношения остаются справедливыми при подстановке вместо И функции ~ д (т)йт.
В частности, вместо (117) можно написать Пуассоновский процесс является простейшим из дискретных марковских процессов. Этот процесс наряду с вин еровским нроцессом (см. ниже) занимает особое место в теории случайных процессов. Многие модели в различных областях знания основаны на понятии пуассоновского процесса.
Непрерывнозначные марковские процессы По приведенной классификации у таких процессов область определения и область значений есть непрерывные множества. Однако зто не означает, что непрерывносначный марковский процесс является непрерывным (см. ниже). В частности, к непрерывнозначным процессам относятся процессы в непрерывном времени, значение которых в некоторые моменты времени (случайные или детерминированные) скачкообразно изменяется на некоторую случайную величину, принимающую любые значения из заданного непрерывного множества. Непрерывнозначные марковские процессы широко используются для описания различных явлений в разных областях знания (радиотехника, автоматика, физика, биология, медицина и др.). В частности, с помошью непрерывнозначных марковских процессов может быть исследована статистическая динамика многих радиотехнических систем, используемых на практике.
Решение конкретных задач достаточно подробно рассматривается, например, в (9, 17, 44, 46, 48, 491. Общее описание статистической динамики п-мерного случайного процесса Х (!) в непрерывном времени дается дифференциальным уравнением 2!4 Х (!) = Р(Х О)+Б(Х () Х (~а) =Хо. (2 5.! !9! Ж где г (Х, () — п-мерная неслучайная вектор-функция своих аргументов; ф (Х, 1) — и-мерный случайный процесс с известными вероятностными характеристиками, которые могут зависеть от вектора Х. В математической литературе дифференциальные уравнения (119) также часто записываются в дифференциалах, т.
е. в виде г[Х ( ) = (Х, ()й + аЧ (Х, О, Х (10) = ХО, (2.6.120) где дт[ — дифференциал некоторого случайного процесса т[ (Х, г), связанного со случайным процессом й (Х, г). Далее везде будем предполагать, что при фиксированных реализациях з (г) или Ч (!) существует единственное решение уравнений (119), (120).
Такое условие налагает определенные ограничения (типа условий Липшица [17]) на правые части этих уравнений (подробнее см. [50[). Можно показать [51], что процесс Х (!), являющийся решением уравнения (120), будет марковским, если Ч (Х, !) — процесс с независимыми приращениями, Аналогично можно показать, что процесс Х (!), являющийся решением уравнения (119), будет марковским, если з (Х, г) представляет собой производную процесса с независимыми приращениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
