В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если считать процесо пэ (1) гауссовским, то они и независимы. Поэтому такой процесо по (1) условно можно назвать абсолютно влучайным процессом. По формулам (2.3.3) н (2.3.25) с учетом (1-6) находим апектральную плотность процесса 5 Д)= ~ )с(т) е 1»пгтсЬ= — '=соне(, о+ (7)=Лго. (25.39) Ф, Таким образом, спектральная плотность постоянна при всех частотах (рис..2.35).
Величину Уо иногда называют интенсивностью процесса п„(1). Случайный процесс и, (1), обладающий равномерным спектром в очень широком диапазоне частот, принято называть ебелым шумом» по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр. 191 Для белого шума формула (2.3.6) дает физически неправдоподобный результат: дипперсия (средняя мощность) такого шума 0 = оо и для него нельзя аналитически записать даже одномерную плотность вероятности.
Этот результат объясняется тем, что белый шум следует рассматривать как математическую идеализацию, так как все реальные процессы всегда имеют спектральную плотность, убывающую при очень высоких чаятотах, и, следовательно, обладают конечным временем корреляции т„Ф 0 и ограниченной средней мощностью. Белый шум является полезной математической идеализацией, применяемой ~Ъ б)г (г) (") р д2 а) а у — гг гг — тт а 3 2 2 Рис. 2.36. Зависимость коэф. фициенти частотной пепрес. сии от угла пролета электро. иои Рис. 2.33.
Корреляцнонния функция (и) ы спектрпльиия плотность (б) белого шума Я (у) = 2п!,гй(О), О = 2пРт„ (2.5.40) где е = 1,6 ° 10 " К вЂ” заряд электрона; тп — время пролета электрона в лампе; l, — эквивалентный ток «насыщенного» диода. Можно показать, что при некоторых условиях справедлива приближенная формула (рип. 2.36). Рй (О) = 360 ' 12 + (1/4)9' + (Ой — 2) соз Π— 20 ейПО. (2.6.41) Если лампа работает при частотах !, для которых угол пролета электронов в лампе мал (штэ = 2л)тэ (( 1), то Рн (О) — 1 и при таких 192 в тех илучаях, когда в пределах амплитудно-частотной характеристи ки интереиующей нап системы впектральную плотность внешнего воздействующего реального шума можно приближенно считать посто.
яиной или, иначе, когда время корреляпяи шума много меньше всех существенных постоянных времени системы, на которую воздействует шум. Приведем два конкретных физических примера флюктуациониых шумов, которые часто рассматривают как модели белого шума, и укажем правило замены реального случайного процепса на белый шум, когда в этом возникает необходимость. Дробовой шум электронных ламп. Спектральную плотнопть флюктуаций анодного тока электронных ламп в ряде случаев можно представить формулой где Ф = 1,38 1О «» Лж/К вЂ” постоянная Больцмана; Т вЂ” температура сопротивления в градусах Кельвина (при Т = 290 К постоянная йТ = 4 ° 10 " Вт/Гц). Из формулы видно, что спектральная плотность теплового шума постоянна и, казалось бы, тепловой шум является идеальным примером белого шума.
Однако следует иметь в виду, что формула (44) справедлива лишь при не очень высоких частотах. Она получается из точной формулы (рис. 2.37) 3+ (7) = 4яТК вЂ” ~(е"«'г — 1) (2.5.45) где 1» = 6,62 ° 10 " Дж а — постоянная Планка, при Ь|7яТ (( 1. При нормальной комнатной температуре даже на миллиметровых волнах неравенство л)(лТ (( 1 практически выполняется. Поэтому в радиотехнике оправдано применение приближенной формулы (44). Однако при вычислении дисперсии теплового шума необходимо пользоваться точной формулой (45): Р = 4йТТ« 1 — ((ем"г — 1) ' 4 = .1»т' о зя» 6,1; 1 зл о (2.5.46) В радиотехнике часто встречаются задачи анализа воздействия шума с весьма широкой плавной сплошной спектральной плотностью на сравнительно инерционные («узкополосные») системы.
Для упрощения решения подобных задач, не делая при этом большой ошибки, реальный воздействующий широкополосный процесс (шум) можно заменять на «эквивалентный» белый шум и, ((). Отметим, кстати, что при оперировании с корреляционной функцией вида (38) во избежание т за«. 9«б 193 углах пролета спектральную плотность можно считать равномерной: 8о Ч) = 2«7, (М» = 2е1,), (2.5.42) Так, при т, 10-'с вплоть до частот в сотни мегагерц спектр будет постоянным. Однако, разложив соз0 и з(пО в ряды, из (40) и (41) получим конечное значение дисперсии флюктуаций анодного тока: Р = ) Я+ (7) г(7 — 2е/„т (2.5.43) о Следовательно, флюктуации анодного тока электронной лампы можно трактовать как белый шум лишь при частотах, для которых угол пролета электронов в лампе много меньше единицы. Тепловой шум.
Известно, что спектральная плотность напряжения теплового шума резистора 1«' определя.тся формулой Найквиота~ 3о У) = 4яТ»т (У, = 4яТЙ), (2.5.44) недоразумений следует всегда пом- 4НР нить, что дельта-функция 6 (т) имеет размерность, обратную размерности аргумента. Можно указать следующее приближенное условие и правило замедд ны реального стационарного процесса (шума) на белый шум.
Пусть рассматривается воздействие на некоторую систему с постоянной времени т, реального стационарного шума 5 (г) с корреляционной функцией гт'4 (т) = 04 ге (т), характеризуемой достаточно широким сплошным спектРом Яв(7) и, следовательно, малым, ио конечным временем корреляции т„(( т,. В данном случае реальный шум можно рассматривать как белый, За значение спектральной плотности 1Ув/2 «зквивалентного» белого шума можно взять значение 34(0) = ЗсД = = О), которое по формуле (2.3.3) равно ""г;47 ув Аа 4у У ЯбЖ Рнс. 2.37. Спектральная плотность теплового шума — "=Яо(0) = ~ )7~(т) 4(т=2~ )7ь(г) Ж.
(2.5.47) 2 В качестве моделей гауссовского белого шума часто используют гауссовские стационарные процессы с двумя видами спектральных плотностей и соответствующих им корреляционных функций: (7) ~ Л1в(2, (~( ( Л ~, 7( ( ) )у в!и (2пд(т) (2 5 40) 0, 17(~ЛА 194 Разумеется, что такая замена реального шума на белый допустима только в тех случаях, когда она не противоречит смыслу решаемой задачи и не приводит к физическим недоразумениям.
Иногда поступают наоборот: предельный переход к белому шуму осуществляют не на начальной стадии анализа, а в конечных результатах. При этом можно предложить несколько моделей реальных процессов, позволяющих сравнительно просто выполнить вычисления и осуществить такой переход. Одним из примеров белого шума может служить случайная последовательность дельта-импульсов А«5(т' — (ь) вида (2.7АОО), когда моменты появления импульсов гь распределены во времени по закону Пуассона (2.2.51).
Если в формуле (4.7.!05) положить й(г) = 6(1), то получим, что корреляционная функция такой бесконечной импульсной последовательности имеет вид (33): )т (т)=ХМ (АЯ) ) б (4) б (8+т) гм=Х М (А') б(т). (2.5АЗ) Из (49) видно, что, выбирая Л/ достаточно большим, можно получить произвольно малую корреляцию между двумя значениями процесса $ (/,) и $ (/,), разделеннымн заданным интервалом !/, — /,(~ ) 6. Однако заметим, что для заданного Л/ значения процесса в моменты времени /, и /, в общем случае коррелированы, когда /, и /, выбраны достаточно близко; они не коррелированы лишь при условии !/, — Ц = т = (х/2Л/, (х = 1, 2, 3, ...
Предел корреляционной функции (49) при Л/-э- оо стремится к нулю для т ~ 0 и /(з (О) = = 6/л Л/ стремится к бесконечности. Воспользовавшись формулами (1-7) и (1-14), можно убедиться, что !пп йт (т) = Л'лб(т)/2. ы Предельные значения для выражений (50) о учетом правила (47) имеют вид Иш 52(/) = Л' /2, Ит й„:(т) = /ул 6(т)/2. Отметим, что пропесс т((/) = /(/)и, (/), где /(/) — детерминированная функция, можно назвать нестанпснарным белым шумом.
С учетом (38) корреляционная функция нестационарного белого шума равна /г „(/и /~) = (Л/е/2)/(/,)/*(/,)6(/, — /,) = (Л/л/2) (/ (/~) (э 6 (/ — / ), (2.5.51) Наоборот, если Ч (/) — такой процесс, что /г „(/и /,) = /(/,)6(/, — /,), то процесс п, (/) = ц (/)/У~ (/) является стационарным белым шумом с корреляционной функцией /г (т) = 6 (т). Нетрудно убедиться, что корреляционная функция и спектральная плотность случайного процесса Ч (/) = ло (/)Ал соз (во/ + ~р) (2.5.52) получающегося в результате перемножения белого шума и, (/) и гармонического колебания со случайной фазой, равномерно распределенной в интервале ( — и, и), равны Ял(х) = Л/а Ао 6 ('г)/4 8о+ (/) = Уо Ао/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
