В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для пояснения рассмотрим важный, но частный случай стапионарного процесса $ (() с ковариационной функцией К (т) и спектральной плотностью 5 (в). Поскольку К ((д, тв) = К (тд — (з), то в данном случае условие (96) не выполняется и двойное преобразование Фурье от ковариационной функции будет содержать аингулярноати.
Согласно формуле (1-19) имеем еьп <-+ 2пб (а — а). Поэтому К((д — 1,) -' е-1е '5(еа) 2н5(вд) 6(а,— ед). Здесь в первом соотношении (в есть постоянный едвиг, а 5 (а,) во втором соотношении вать постоянная величина и преобразование Фурье берется относительно — та. Таким образом, Г (в„аа) = 2п5 (вд)6 (аа — в ) (2.3.97) аостоит из массы, распределенной на биааектрипе а, = в, (рио. 2.26) о линейной плотностью 2н5 (е,). Наоборот, если Г(в„ев) имеет вид (97), то К(1д, (з) согласно формуле обращения (69) есть функция разности (д и (в и, следовательно, процесс $ (1) стационарен в широком смысле. Предположим, что стационарный процесс $ (1) воздействует на вход линейной онстемы.
Тогда согласно (90) имеем Г„(а„в,) = 2н5 (а,)6 (ав — е,)К ()вд)К» (1в,) = =* 2п5 (вд)!К (1в,) ~вб (вв — ад), так как 6 (вв — е,) = 0 при азФ вд. Отоюда следует, что ковариационная функция выходного процееса является функцией разности (д — т„ а ее пуеобРазование ФУРье Равно 5 (в)!К (1а)~З, что совпадает е основной формулой (7). Пуать ковариационная функция К (т) является периодической~ 2ва К (т) = ~~~~ ид саво» ч аа а д Тогда Уев 2ев е, 5 (а) = 2п ~~~', а,б (е — (ее).
сад Двойное преобразование Фурье имеет вид Г(еь е,)=(2тд)' ~ а 6(вд — Йоо) 6(аз — ед) Рис. З.вб. Двойное пре. Р образование Фурье от периодической ковариа- и еостоит из эквидистантных точечных маса, овнов функпии расположенных на биаеектриое а, а, (рис. 2.26). Назовем предельное значение К (т) в варажении (96) осредненной (по времени) навариаиионной фунниией процесса $ (1), а ее преобраб» 1бз зование Фурье 5 (в) — осреуненной спектральной плотностью.
Эта спектральная плотность является вещественной функцией, удовлетворяющей условию т 0(1!сп — ~ М(~$(С)!1)сЫ=К(0) = — ~ 5(в)сЬ. (2398) 2» т Если процеео $ (с) стационарен, то К (с + т, 1) = К (т) и К (т) = = К (т), как это следует из (96). В данном случае осредненная спектральная плотность еовпадает с обычной спектральной плотностью, определенной формулой (32).
Установим соотношение между У(в) и Г (в„в,), т. е. докажем, что если Г (в,. в,) представляет собой сумму регулярной и сингулярной масс Г (в1, ой) сэ Г, (в„ой) + 2пЛ (в,)6 (вй — вй), (2.3.99) где 2пЛ (в,) — плотность линейной массы на бизеектрисе в, = в„и Г, (в„о,) не имеет линейной массы на биссектрисе в, = в„то 8(в) = Л(о).
(2.3.100) Положив в формуле (89) 11 = с + т, 11 = с, имеем К(2+а с) — ~ ~ Г (о, о ) е/" 'е1 с" — »м' сЬ й». 1 (2»)й 1 й Поэтому т 1 с' К(с + т ~)с(~ ~ ~ Г(о1 вй)е1 х ! 2Т 3 (2~)й,),) т Х вЂ” ~ Е1<а "М' С!ЫО СЬ. г 2Т 1 й' т Следовательно, К(т)=йгп ', Г! Г! Г(в„вй)е! й '"("' а') сЬ,сЬ,. т~ (2сс)',1 0 (ай — а,) Т Но йзп (а — ай Т ~ 1 пРи ой — ой !пп т- (ай — а,) т (О при о ~ой Поэтому вклад олагаемого Г„в предельное значение интеграла равен нулю и остается только сингулярное слагаемое Г, соответствующее интегрированию вдоль прямой в, = о: К (с) = — ( Л (о,) ес" ' с(с»1.
2п .1' Таким образом,З (а) = Л (а). Отсюда следует, что К (т) однозначно определяется линейной массой на биссектрисе а, = в,. Если зта масса равна нулю, что К (т) = О. Пусть Уе (а) и 5„(а) есть оередненные спектральные плотности процессов иа входе и выходе линейной системы а частотной характеристикой К (1в). Тогда Й( )=8е(в)~К(1 )1'. (2.3. 10 1) Это следует из формулы (90), поскольку линейная масса Г (в„а,) прн а, = а, равна соответствующей линейной массе Ге (а„ае), умноженной на ~К (1а) ~'-, Отсюда и из (98) следует, что 7(а) > О. (2.3.102) Таким образом, осредненная спектральная плотность обладает всеми свойствами обычной спектральной плотности 5 (а) стационарных процессов.
Аналогично тому, как выше были введены осредненная ковариационная функция и осредненная спектральная плотность, можноопределить осредненную взаимную коварнационную функцию н осредненную взаимную спектральную плотность. Коснемся кратко возможностей спектрального анализа самих случайных процессов. Лля случайных процессов о конечной мощностью т 0< 1пп — ( ( $ (т) (те((< оо (2.3.103) т 2Т т в общем случае не существует преобразования Фурье. Однако, если условие (103) выполняется почти для ваех реализаций процесса $ (т), то такие процессы можно анализировать при помощи так называемого обобщенного преобразования. Обобщенное преобразование 6 (а) случайного процесеа $ (т) определяется выражением 6(,) — 6(а,)= ~ ' ' ' ц()а.
(2.3.104) Видно, что 6 (а) есть случайный процесс, определенный а точностью до произвольной постоянной. Положив в (104) ат = а + е, а, = а — е, получим еп~ — е 6(а+е) — 6(а — е)= ) е=1"' $(Оса. — О Поскольку ехр (+.1(е) = соз М ~ 1яп (е, то 6 (а + е) — 6 (а — е) есть обычное преобразование Фурье процесса 2$ (т) з!и еИ. На осноеании формулы обращения имеем 1% а1п е1 1 Г е 6 (а+и) — 0 (о — е) — $(г) = — ~ е~" а. е1 2м,) 2е Левая часть етого равенства стремится к $ (7) при и-~- О.
Поскольку процесс 6 (а) не дифференцируем, то предельное соотношение можно записать в виде интеграла Стнльтьеса: И (7) = — ~ ~ Еям с(Г7 (а). 2и (2.3.105) Рис. 2.27. Дее линейные системы Гв 2л е~"" — е~"И Ь(() = — ~ енмШ= 2и Еили на вход такой системы воздействует алучайный процесв $ (г), то процеаа на выходе системы определяется выражением е7е, П а ямы -т1 т)(г) = . В() (т.
! 0-е) Отсюда получаем е Кмт — е т) (О) = ~ й (т) с(т= 6(ат) — 0 (аи). (2.3,107) — )т Укажем основные свойства обобщенного преобразования 6 (а) для стационарного в широком смысле случайного процесса и (() оо спект. ральной плотностью 8 (а). 166 Обобщенному преобразованию 0 (а) можно дать наглядную интерпретацию. Рассмотрим идеализированную линейную сиетему с частотной характеристикой ~2п при а,<а<а„ ( 0 при других а. Такая система имеет импульсную характеристику 1.
Если а! ) вм то сяэ Но согласно (107) имеем М ((Ч (0)(Я) = М (!6 (со,) — 6 (ая)(Я), откуда и следует равенство (108). Положив в нем а, = а, со, = в + з, получим 5 ( ) 1' м (1 а (со11 а (Ояя) р) (2.3. 109) я. о 2пя 2. Приращения процесса 6 (в), отвечающие двум непереоекаюсцимся частотным интервалам, ортогональны, т. е. если в,) а, ~ а ) в„ то М ((6 (вс) — 6 (соя)) 160 (соя) 60 (соя))) = О. (2 3.110) Приведем доказательство этого результата.
Предположим, что процесс $ (!) воздействует на входы двух линейных систем с частотными характеристиками (рис. 2.27) 7,. ( ) ) н вя<в <вм К () ) )2я™я<в<аз (О при другиха, (О при других в. Как показывает формула (44), стационарно связанные процессы на выходе линейных систем с неперекрывающимися частотными харак. теристиками всегда ортогональны, т. е. М (Ч, (0)Ч, (0)) = М ( (6 (ая) — 6 (соя)) 16 (вя) 6 (вя))) = О. 3. Математическое ожидание приращения процесса 6 (в) определяется выражением (2ЛМ($(г)) при а,<0<вь о при других ая, в,. Это выражение следует из основной формулы (104): М(6( я) — 6(а,))=М(Б(г)) ~ ' ' с( = — р (2.3. 111) 2М(д(!)) ~ я!пас'! — я!пвя! о 167 М(! 6(вс) — 6(вя)(Я) =2н ~ 5(в) йо.
(2,3,108) Лействительно, пусть процесс $ (1) воздействует на линейную систему (108). Тогда спектральная плотность стационарного процесса Ч (1) на выходе равна 8 (в)(К ()а)(' (2п)ЯЯ (в) при а, < а ( ая и нулю при других значениях а. Поэтому О~ М (( я! (0) !Я) = — "1 ~ Я (в) с(а. если учесть известный интеграл мп (ах) и г(х = — знпа.
х 2 о Соотношения (110) и (111) показывают, что приращения процесса б (от) на непересекающихся интервалах не только ортогональны, но и не коррелированы. Из (111) также видно, что математическое ожидание М (0(оо)) непрерывно при оо Ф 0 и М (6(0+) — 0 (О )) = = 2яМ (я (()). 4. Перечисленные свойства обобщенного преобразования 6 (то) были увтановлены для стационарного в широком смысле процесса $ (г). Можно доказать обратное утверждение: процесс $ (г) является стационарным в широком смысле, если и только если его обобщенное преобразование 6 (от) есть процесс с ортогональными приращениями и математичеекое ожидание М (б (то)) непрерывно при то чь О. 2.4.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ Рассмотрим пока двумерное детерминированное поле $ (х, у). Если функция $ (х, у) периодична и удовлетворяет по обеим координатам условиям 14ирихле, то ее можно представить двумерным рядом Фурье. Условие периодичности имеет вид а (х, у) = $ (х + йТ„, у + (То), (2.4.1) где й, 1 — целые числа; Т„ — пространственный период по координате х; То — пространственный период по координате у.
двумерный ряд Фурье записывается в такой же форме, что и одномерный ряд, а именно: $ (х, у) = т; ~ сю ехр (1 (йи„х+ 1и„у)). (2.4.2) Здесь и,, = 2МТ„, ио — — 2п(То (2А.З) представляют собой первые гармоники пространственных частот или волновые числа вдоль координат х и у соответственно; сю — комплексный коэффициент Фурье: т„т„ сы — — — ) ') $(х, и)ехр( — 1(йи„х+(и„у)) т(хо(д.
(2А.4) ! х о о о т т асс = — „( в (х, у) г(хс(у. о о (2.4.6) Ьпз(п(за а+ггру) Рнс. 2.28. Вин пространственной гармоники Коэффициенты ав, и Ьа, определяются через интегралы т„т„ ам= — ( ~ $(х, у) соз(йи„х+1и у) с(хс(у, т„т„,1 в а т„т Ьд1 = — Г В(х, у) з1п (Аи„х+1ив у)г(хг(у т„т„,1 Ь1 с (2.4.7) (2.4.8) и представляют собой амплитуды соответствующих пространственных гармоник.
Для непериодического по обеим координатам двумерного поля предельным переходом можно получить интеграл Фурье. С этой целью в выражение (2) подставим значение сю нз (4). Тогда т т х т я (х, у) = ~Р 'Ь', †' ~ ~ ( (х, у) х "о о 'кехр ( — ) (йи, х+ 1ин у)) АЫу ехр (1 (Аи„х+ 1иа у)). Ряд (2) можно также представить в вещественной форме $(х,у)=ам+ ~и~ ~~и~~ (аа,соз(йи„х+1иву)+ а-11=! + Ь„, з(п (ни х + 1ив у)), (2А.Б) из которой непосредственно видно, что двумерный ряд Фурье представляет собой разложение по пространственным гармоникам соз (йи„х + 1ину) и з1п (йи„х + 1иву). На рис.
2.28 показан вид одной нз пространственных гармоник. Первое слагаемое аое является постоянной составляющей или средним значением поля и определяется формулой Сделаем в соответствии а (3) замену Т„= 2лlи„, Т„= 2пlи„, после чего получим т„т„ ь(х, у) = — ~ ~~)' ( ( $(х, у)ехр( — 1(йи„х+1и„у))йхйух (2а)' "~- — "о 'о Х ехр (1 (йи„х+ 1и„у)) и„иц. Для непериодических полей Т, -~ оо, Т„-~ оэ, в силу чего и„-~- г(и„, иг -э- ди„, суммирование заменяется ийтегрированием, а дискретные ряды пространственных частот Йи и 1и„преобразуются в текущие частоты и„и и„. В результате будем иметь и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
