В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если ввести характеристическую функцию интервалов между импульсами Ц)о ()о) =Гб ( е)ьв11 =~ е)е р (д) ((б, (2.3.73) то с учетом взаимной независимости интервалов !м ( (н — (ч)) ~ Ррб ()ы)Р' ~ Н>" ()ы) 1' " м Используя вти выражения, двойную сумму в (72) можно представить в следующем виде: О=~ ~ М( '"('" '")1- ч ! в ! (в~в) в ч — ! ч;( ~ ((р (),)1~-в ( ч;~ ч;( б,в т() г=(в ! ч=! в у+! (Пчьч) (пЛт) Области значений индексов р и ч для первой и второй сумм показаны на рис, 2.25.
Меняя во второй сумме справа порядок суммирования по р и т и принимая во внимание, что сумма не зависит от того, кан обозначены индексы, по которым производится суммирование, получаем 157 и и 1 и ч 1 Фо '(!а) = ~ч", ~ Фи ' (!а)= Х 'ч~ Фо ' ()а). т=! и ч-1-1 и 1 ч 1 ч=! о=1 Следовательно, две суммы, стоящие в правой части, являются комплехсно-сопряженными величинами и поэтому — 1 Н=2 ке ( ~~Р~ Х Фчо — и ()а) (ч!и1 !и+ч1 где ке г обозначает действительную часть комплексного числа з.
Так как 1 Фо ()а) ) ( 1, то, воспользовавшись формулой суммирования убывающей геометрической прогрессии, получим жчч Фо (!а) — Ф~о (!а) ~ Фо (!а) Н=йке =2п ке 1 — Фо (1а) ) 1 Фо (!а) 1 !1 — Фо ()а) Фо ()а) ( Фо (!а) =2п ке — 2 не, [1 — Ф,"1 (!а)1 ч а ~ О. (2.3.74) 1 — Фо (!а) ~ (1 — Фо () )!з Это выражение неприменимо в тех случаях, когда характеристическая функпия интервалов Фо (!а) = 1. Так как обычно 6 ) О, то в отсутствие каких-либо периодичностей Фо (!а) — ! лишь при а О. Подставив (74) в формулу (72), имеем М ()Рг ()а))~ ( и) =и М (А'1Е~ (!го, т) (о)+2М (А Р! ()а, е„)) м Фо (Ро) хМ(А г1(!а, с )!ке — 20, а+О, (2.3.75) и 1 ' и 1 гр где О=М(А, гт(!а, ч„)) М (А„г,()а, е„)3 х Фо Па> х Ке 1! — Ф~о ()а)], а+О.
(1 — Фе (!а) До подстановки выражения (75) в основную формулу (41) в нем необходимо выполнить осреднение .по случайному числу импульсов п, заключенному в интервале ( — 772, 772), что, как нетрудно видеть, равносильно замене в правой части случайной величины п ее математическим ожиданием. Учитывая одинаковое распределение всех интервалов и их взаимную независимость, применим и равенству (67) известное тождес!во Валька М (7„, '=М (О) М (и) =те М (и), (2.3.76) где „- м (О) =~ О и (6) а 6 (2.3.77) о — математическое ожидание случайного интервала между импульсами, !53 70о ([и) ж М[АР1(!м, т)) Ке 1, ать О.
1 — б»О ()«7) (2.3.79) Рис. 2.25. Области зна. ченяй индексов суммв- рования 3 4 Р д ли Эта формула не позволяет получить интенсивность дискретной спектральной ливии на нулевой частоте. Дискретная линия обусловлена возможным наличием в рассматриваемой случайной последовательности импульсов $ (ф) постоянной составляющей, г. е. л», м [с (г)) ~ О. последнюю можно выразить через сленг «япового импульса (68), который входит з формулу (79!. Х ействительно, сали положить в выражения (66) ю О, взять математическое ожидание от обеих частей получающегося равенства и учесть при атом етацноиариость рассматриваемого процесса (иц = еоцз!), а также запивать (69), то получим ! М (5 (Г) [а)=1!щ — М(РТ(0))=1цц —,, ~ М (А,Р~(0, т~)= т Т Т Г 7 »=! п =!!7п — М (АР» (О, в)).
т Т Осреднение ио случайной величине л с использованием (76) при условиям (78) дает М [5 (1),' = — М [АРз (О, )). ! (2 3.80) то Очевидно, что дискретная спектральная линия на нулевой частоте равна » (0) =2пглз«б (м), (2.3.81 где б (ю) — дельта-Функция, формулы (79) и (81) охватывают много практически интересных импульсныв случайным процессов. В частности, если в дополнение к ранее сделанным предложениям в карактере случайных импульсов вчитать, что «амплитуда» А я длительнооть ч„вдного и того же нмпульса есть также незввианмые елучайные величины, г.
в» рз (А, ч) = р (А)р (т), Го формулы (79) я (81) упрощаютсю 159 Для многия прантичевкнх случаев выполняютвя условия Нщ М (Тз)!Т 1, Ищ ОГТ О, (2.3.78) Г-» 'т Подставив осредненное выражение (75) в формулу (41) и считая при переходе н пределу выполняющимися условия (78), получим следующую окончательную формулу: 1 3 (ю) — [М (Аз [ Рг ()в, т) [з)+2М (АРг (!м, т)) Х И г Ф, (1в) ~(в)= — М(Аз)+2М'(А) ке М((рх Вв, т)з), в ~ О, спсс 1 — Фо (1в) (2.3.821 3 (0) — — Мз (А ) Мз (Рх (О, т) ) б (со) . 2п (2.3.
83) си о Разнообразные примеры применения этих формул приведены н (20). Спектральная плотность нестационариых процессов. О спектральном анализе случайных процессов Предложено несколько разных определений спектральной плотности нестационарных случайных процессов (5, 22, 25). Все они исходят из необходимости сохранения основной формулы типа (7). При этом преследуется в основном цель определения спектральной плотности процесса на выходе линейной системы с заданной комплексной частотной характеристикой, когда на вход системы воздействует случайный процесс с известной спектральной плотностью.
В 2 5.2 будет показано, что задача определения отдельных характеристик случайного процесса (в частности, ковариационной и корреляционной функций) на выходе линейной системы может быть успешно решена путем их непосредственного епересчета» через линейную систему. Поэтому и втой точки зрения нет-большой необходимости вводить в рассмотрение спектральную плотность нестационарных процессов, поскольку ковариационная функция и спектральная плотность в принципе содержат одинаковую информацию о процессе.
Однако не исключено, что в некоторых практических задачах (например, при измерениях) может ока- ~ заться предпочтительным оперировать со спектральной плотностью. Приведем определения спектральной плотности нестационарного случайного процесса $ (с), имеющего ковариационную функцию К(гы гз) и корреляционную функцию )7(с„гя). В качестве обобщенной спектральной плотности неспсационарного процесса можно использовать двойное преобразование Фурье от ковариационной функции. Обозначим преобразование Фурье от К (1„гз) относительно аргумента г, через Р(в„г,): Р(в,,(,)= ) К(гх, д,)е с" ' с(гх. (2.3.84) Из обратного преобразования имеем К(с„сз) = — ~ Р(вы Г,)ес *' йох. ' (2.3.85) ь 2Л Дли фУнкций К (сы сз) и Р (вхг гз), свЯзанных этими соотношениЯми, введем условное обозначение и К(1„1,) ' Р(в„(,).
160 Запишем теперь преобразование Фурье Г (вп во) от г (вп ),) относительно аргумента г,. При этом целесообразно в определенпи Г (в„ в,) изменить знак в показателе экапоненты1 Г(вь во)= ~ Р(вм 1,)е+1"'1'»д(о. Из формулы обращения имеем Р(вь 1) = — 1 Г (в„в,) е-ьэ'е йо, (2.3.87) 2п,) Обозначим условно эти два аоотношения Р(вд, Г,) ~ — ъ-Г(вь в,). и Из (86) и (84), а также из (85) и (87) получаем Г(в» в,)= ~ ) К((п(,)е 1« ~ - гпй,с(Г, (2 388) К(ть Г,) = — ~ ~ Г(вм в,)еыо '* опс1вгс(в,. (2.3.89) (2п)'" 3 С использованием предыдущих условных обозначений можем записать ь К ((„Г,) Г (в„в,).
Пользуяаь свойствами преобразования Фурье, нетрудно показать, что справедливо соотношение Г„(вз, во) = Гз(вм во)К ()вг)Ко ()во), (2.3.90) где $ (г) — процесс на входе стационарной аиатемы а комплеканой частотной характериатикой К ()в) и 8 (() — соответатвующий процеаа иа выходе этой системы.
Отметим, что функции Г (в„в,) являются комплексными. Перечислим основные евойатва двойного преобразования Фурье Г (в„в ), считая, что К((„(о) есть ковариационная функция комплексного случайного процеааа. Удобно интерпретировать функцию Г(в„в,) как плотность комплексной апектральной маааы на плоскости (вп в,). Из (88) и свойства ковариационной функции К ((„(,) = К* ((„~,) следует, что Г (вм во) = Г (в, в ), (2.3.91) е, в точках, расположенных симметрично относительно биасектрив, = в„спектральные массы комплекано сопряжены, а на самой а'. зв~.
ооо 161 биссектрисе вещественны. В том случае, когда К (г„(ь) вещеатвенная функция, Г ( — вд, — в,) = Га (вм в,). (2.3.92) Так как К(0, 0) = М Ц$(0)Р) ) О, то из (89) имеем К(0, 0)= — ~ ~ Г(вв вь)!(о,йоа ) О. (2,3.93) (2п)ь Покажем, что полная спектральная масса в квадрате, расположенном на биссектрисе (рие. 2.26), положитель. ьь ~ ~ Г (оь в. ) Жо два ) О. (2.3.94) аа Пусть на идеализированную линейную систему а частотной характеристикой К(1о) =1 при а<в<6, К(1в)=0 при других в воздействует процесс $ (1). Лля выходного процеееа В (ь) по формуле (90) можно написать Г М ) Г( „)К .;в) Г(омвь), а<вы вь<Ь 0 при других в„ вь. Следовательноа 1 Кс(0, 6)= — ~ ~ Гч(вв в,)!(вьйоа= (2п)' ь ь ! — ( ) Г(вь вь) !ьвьйэа ~ )О, (2п)а,) а а Если ковариационная функция К ((м гь) абсолютно интегрируема, т.
е. ~ ~К(!и 1.)~ (г, и,<., (2.3.96) то двойное преобразование Фурье Г (в„ в,) существует для всех в„ в, и функция Г (в„ в,) ограничена. В тех случаях, когда условие (96) не выполняется, например, когда существует не равный тождественно нулю предел г К (т) = Вщ — ~ К (г+ т, 1) сЫ = К*( — т), (2.3.96) !.+ 2Т -г двойное преобразование Фурье будет иметь особенности (сингулярности) в виде сосредоточенных масс на линии или в точках. Например, слагаемое в Г (вм в,) вида 6 (в! — авь — 6) представляет спектраль- 162 ную массу на линии в, = авв + Ь с равномерной линейной плотностью, равной единице, а слагаемое 6 (е, — а)6 (вв — Ь) — единичную массу в точке (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
