В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В составном сигнале (76а) Д (/) — тпереключаю~ций» сгационарный случайный двоичный сигнал (например, вида, указанного в примере (2.2.2)), с коввриацнониой фуннцией Кт (т), принимающий лишь два значения +1 и — 1. При этом сигнал ги (/) = $! (/) при Х (/) = 1 и г), (/) йт (/) при Х вЂ” 1, т, е, случайный 134 процесс т)«(«) представляет собой случайный маннпулнрованный двоичный сигнал, состоящий нз последовательности случайно череду«ощяхая двух «элементарных» сигналов к«(0 и йз («).
В сигнале (766) Л («) есть перноднческая с периодом Т (синхронная) последовательность детерминнрованвых прямоугольных нмпульоев длительностью Т, (р нс. 2.13) 1 пря ДТ( «( йТ+Тт, Д=О, ~ 1, ~ 2,..., Л(«) = 0 прн другив «. В (76в) Л (« — Ь) — периодическая (несинхронная) последовательность тех же прямоугольных импульсов со случайным смещением Ь огнвеятельно азчала отсчета времени. Случайная величава Ь считается равномерно распределенной в интервале [О, Т]. Используя независимость Л («») от ч«(««) и 2» («з) пря различных «», «, н (ю для математического ожидания и ковариационной функции загнала М («) имеем М [тй («)] = (1/2) [1 + М (Л («)]]М [йт (О) + (1/2) 11 — и (Л (О]! Х ХМ (В, («)], К„(с) =М [тп («) тп(«+т)) =(1/4) [1+Кл (т)] [К«(т) +К»(т)[+ +(1/2) [1 — Кл (т)] Кы (т) ° (2.2.7 ) Когда элементарные сигналы $« («> н чт (О нз коррелнроеаны между собой (К«(т) нн 0), из последней формулы получаем К„(т) = (1! 4) [1+ К; (т) ] [К, (т) -1- К, (т) «, (2.2.78) Ззвэвзя различные элемевтврные сигналы, можно получить разнообразные козариацнонные функции.
Простой апособ получения енензлов вида (76) можно использовать для формирования разнообразных ковзрвацнонных функций, Такая необходимость может возникнуть при моделирования елучайных процессов с заранее заданными ковзриацноннымв (корреляционными) функциями, Для сигнала цз (О находим М(О»(«>]=М(Л(«)] МД«(«))+1-М[Л(«)Ц М (-„,(«)), К„(«, с +в) = М [т) («) «!» («+ чЦ = Л («) Л («+ «) Кг (з) + +[1 — Л («)) [1 — Л (1-(-т)) К (т) +(Л (() [1 — Л («+т)! -1- +Л(«+т) [1-Л (1>)] М Я«(«)] М($» («)).
(2.2.79) В силу перноднчностн Л («) сигнал т)» (О является перноднчески етационарным, гак как М(гм(«+7)] М[«)~ («)). Кгь(1+Т «+э+Т) К„, (( «+т). Наконец, мвтематичеекое ожидание н ковариационная функция сигнала г)з (В равны ! г 1 «» М ( («)) ™[д 1)) Т 1 Л (1 +М [ «) Т 1 [1 Л б)) (Тз7Т> М (й, (()]-[-(Т,гт> М [1, («>], Т ( Т, Т, К (т) = — а (в) К (ч) +[х — — — !! -4 (е>! ~К (э) + и т х ~, Т Т +2М [ч«(1)> М [чз ((>) т [! д (т) (2.2.80) О 2Т () 2Т Рис.
2.14. Периодическаа функ- ция т(т) Рвс, 2.13. Периодвческая переключи. ющаа функция )«(() Математическое ожидание и корреляционная функция отраженного си«нала пв определению равны т,(П-М(2 (1)) =М(А) М(з (1 — Л)) =т„аП), )те (1, 1+ч) 31 (С (1) 3 (1-(-в)) — тт(П шт ((-(-ч) М (А«) ~ а (С Л) (1+т Л) р(Л) «(Л >л. (О >л«(С+ч)«(2,2,32) где М (Аь) ) Агрт (А)4А, з(1) = ) «(1 — Л)р (Л)4Л. Ясно, что раааматриваечый яроцеее неетационарен.
Если время прихода аигнала ивнев«но точно а равно Л Л„то л (Л) 6 (Л вЂ” Л«). Тогда шс (1) = >пл в (т — Л,), Иа (1 «1+т) = М (А«) а (1 — Л„) «(«+ а — Л.) — т«(() т, (1 +ъ). Если нринять плотность вероятности р(Л) поетоинной в интервале ( Л ( ( Т12« «о г/2 шл ш1 (1) = — ~ (( — Л) аЛ« Т г(т т(2 1 )(1(1 1+т) =-М (А ) ~ 3 (( Л) г (1+т Л) «(Л вЂ” и«(() >и (Г+т). Т -г)т Пример 2.2.7. Корреляционная функция периодического процесса.
Раа смотрим сначала случайный гармонический сигнал а (() = «(т) А«сот (э«1+ ф)> (2.2.33) 136 где О (т] ~ ) Х (()Х (1+ т)>(1, Периодччеекая функция С (т) показан- аа ! О рие. 2.!4. Сигнал т)а (1) является етационарным в широком смысле, Пример 2.2.6. Корреляционная функция одиночного импульса. В некотш рых еиетемах радио- и гидролокацин применяются импульсные сигналы ч большой скважностью. Поскольку отражаюшая поверхность цели и ее дальность заранее неиавеетвы, то «амплитуда» и время прихода отраженного импульса чогут рассматрнватьея как случайные величины н его чо>кно записать в виде 3 (1) А«(1 — Л),1 т — Л( ( та>'2, (2.2.811 где гн — поетоянная длительность импульса, А и Л вЂ” независимые случайьые величины о плотностями вероятности р«(А) и р (Л) соотвегственио, у которого амплитуда А, а частота ю, постоянны, а начальная фаза ф случайна и равномерно распределена в интервале ( — и, и), т.
е. имеет илотность вероятности р йр) = 1/2п прн (ф((м. Нескольно реализаций случайного сигнала э(0 изображены на ряс. 2,15. Математическое ожидание сигнала ь 03 равно нулю, Находим корреляни. онную функцию Аьь (' 7(. (т) = И т а (Г) а(С+т) ) — 3 соэ (со„(+ ф) соэ (ыа г+юч-(~)) аф = '(о — соэю г. о ° (2.2.84) Рис. 2.15.
Три реализации случайного сигнала а(!) Рис. 2.16. Корреляционные функции гармонического сигнала, помехи и их суммы ) э (ч) 7 э (т)+)» (ч)' (2.2.86) Пусть корреляционная функция вовеки Яи (т) удовлетворяет условию (30): ее практически можно считать равной нулю при т ) т,. Тогла Яэ (т) — )7, (т) при т ) тэ. Следовательно, ответ на вопрос о наличии или отсутствии в принятом колебании $ (1) гармонического еигнала а (() часто можно получить ив аналнэа корреляционной функции Л. (т). Если при достаточно больших т она является периодической функцией, то это прианак того, что в $ (1) присутствует свгвал а (1), и наоборот.
Поэже мы убедимся, что корреляционный прием сигналов, основанный на формировании корреляционной функции и регистрации ее аначения, э некоторых случаяк окаэывается оптимальным. Предположим теперь, что имеется случайный эигнал а (1) =- ~я~', Аь юп (вь ~+фа), (2.2.87) ь-1 в котором случайны лишь начальные фазы фю причем фа и йж прн я чь ш неваэг симы и равномерно распределены в интервале шириной 2п. !37 В данном случае корреляционная функция окавыаается периодической и имеет тот же период Т„= 2п/юм что в исходный сигнал. В отличие от часто встречаю- шихся стационарных случайных процессов, для которых выполняется условие (30), в данном случае корреляционная функция при т со не стремится к нулю.
Этот факт можно использовать для обнаружения и выделения достаточно длинного, ио слабого сигнала э(0 на фоне интенсивной помехи, представляюшей собой случайный процесс. действительно, пусть сигнал э (Г) принимается на фоне стационарной помеки и (Г), т. е. наблюдению доступен лишь суммарный процесс э (В = э (т) + и (1). (2.2.85) Если сигнал и помеха неэависимы, то корреляционная функция суммарного процесса $ (Г) равна сумме корреляцяонных функпий слагаемых (рис.
2.16): Повторяя вычвсленвя, найдем, что корреляцвонная функцвя снгнала (82) дается выражением 1 жч )га (т) = ~~ ла соа Фь ч. (2.2.88) 2 а! Если ю! = Ьша, то енгнал (87) является пернодвчеякв стационарным в шнрокам смысле с пераодом т, 2н/ша, Прнмер 2.2.8.
Нетрудно докааать, что случайный процесч с(!)= ~~~ Су,е (2.2.89) а=! где случайные велнчнны Сь не коррелн~ованы с нулевыми математвческвмв ожяданнямн н днсперснямв Вь= М Ц Са ) ), является стационарным в широком смысле, имеет нулевое математическое ожидание н коррелнцнонную функцию п )(а(ч) =м (с (!) с*(г-(-т))= ~ч', г!де а 1 Аналогячно если рл вешественных случайных величин аь н Ьь не коррелврованы, амеют нулевые математвческве ожидания в одинаковые двсперснн М (а!) М (ЬЬ) = 0ь, то случайный процесч и $ (!) ~~', (ад сот юь 1 +Ьь Мп мр, !) а=! стацяонарен в швроком смысле с нулевым математвчеснвм ожиданием в корреляцнонвой функцвей (т) = М (8 (Г) С ((+ т) ) = ~ В у, со! ма ч. (2.2.92) а=1 2.3.
СПЕКТРАЛЬНЫП АНАЛИЗ При изучении детерминированных сигналов и реакции на них линейных систем и постоянными параметрами широко используются спектральные представления, базирующиеся на возможности представления (при определенных условиях) сигналов рядом или интегралом Фурье. При этом математически сранительно просто и физически наглядно можно найти сигнал на выходе линейной сиатемы простым пересчетом отдельных спектральных составляющих входного сигнала через комплексную частотную характеристику системы а последующим применением принципа куперпозиции. Представляется естественным желание распространить гармонический анализ на случайные процессы для решения в принципе однотипных задач, хотя физический смысл результатов будет при этом несколько другим. Наиболее просто эта задача решается для стационарных случайных процессов введением спектральной плотности процесса. Ниже приведено определение спектральной плотности и перечислены ее основные свойства.
Затем спектральный анализ будет обобщен на нестационарные процессы. 138 Спектральная плотность Определим спектральную плотность Б ()) стационарного в широком смысле случайного процесса я (1) как преобразование Фурье, от ковариапионной функции: 3(()= ~ К(т)е Мкмг(т. (2.3.1) На основании обратного преобразования Фурье можем написать (2.3.2) Таким образом, спектральная плотность и ковариапнонная функция стационарного процесса представляют собой пару взаимных преобразований Фурье. Аналогичным образом связаны между собой спектральная плотность 5, (г) и корреляционная функция 1г (т) стационарного в широком смысле центрированного случайного процесса $, (() = $ (1) — пп 50(1)= ~ д(т)е — м~мйт (2.3.3) (2.3.4) где т = М (з (1)) — математическое ожидание процесса. Подставив в (1)'выражение (2.2.33) ковариационной функции через корреляционную и воспользовавшись формулой (1-19), получим 5 (~) = Б, Д) + и'6 ()).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
