В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Докансем, что рассматриваемый процесс стационарен в широком смысле. Математическое ожидание процесса как среднее значение периодической функции за период не зависит от времени: т, ч-т ! !' ! М ($ (!)) = —, ) з (С+та) г(т, = — ~ з (х) пх = гп = сопМ. о т, Ковариацнонная функция процесса равна т,+т ! КЕ (к) М(гч (!) Ь((+т)]= —, ~ з (х) з (х+к)г!х= Т 1 г"- = — ) з (х) з (х+т)г(х. Т ) о (2.1.66) 113 где, ЯРЕ(т) ™ (]Ег (г+т)+)ст (г рт)] (Ег (Г) — 1Ез (Г)]] =2РЕ (т)+]2Р 1 (т). (2.1,64) Пример 2.1.5. Пусть Е (!) = з (г+ тэ), (2.1.65) Последнее равенство написано на том основании, что подынтегральная функция явлоетгя периодической с периодом Т. Слеловательно, процесс (65) является стационарным в широком смысле. Итак, если начало отсчета периодического процесса случайно н равномерно распределено в интервале периодичности, то такой случайный процесс является стационарным в широком смысле.
Предположим теперь, что процесс и (() периодически стационарен, т. е. совместная плотность вероятности значений процесса з, = з (1), и, (1+ т,),..., з„= з ((+ тп,) ЯвлЯетсЯ пеРиодической фУнкцией «аргумента» го периодом Т: рп (Зт, Зя, ..., З„; 1, (+ тм ... „(+ т„1) = = Рп (з1 за~ " а зп' 1+ Т г+ '11+ Т1 . ", (+ тп — 1 + Т)- Покажем, что процесс $ (() стационарен в узком смысле. Условная плотность вероятности процесса $ (() при фиксированном значении т, равна р„(х,, х„..., х„; (, (+ тт, ..., (+т„1 ! то) = =Рп (зы зм - ~ зп'1+то 1+тт+то " 1+то — 1+то). Поэтому безусловную плотность вероятности находим по известной формуле и р„(х„х„..., х„; 1, 1+т„..., 1+т„т)= ) рп(з„..., з„; О ~+ т0 ' (+то-1+ "О) Р (тО) дто 1+Г 1 и рп (з„..., з„, Ь, Ь + т„..., Ь+ т„,) дЬ.
(2.1.67) Поскольку плотность вероятности рп — периодическая функция времени с периодом Т, то правая часть этого равенства не будет зависеть от времени 1, а будет функцией только разности временных аргумен- тОВ т,, т,, ..., тп „ЧтО И ДОКаЗЫВаЕт СтаЦИОНаРНОСтЬ ПРОЦЕССа и (1). Приведенные определения распространяются на случайные поля. .Однородность случайного поля является аналогом стационарности случайных процессов. Случайное поле с (г) называется однородным, если его плотности вероятности любого порядка не меняются при произвольном сдвиге начала координат, т.
е. Рп (51~ ""1 $п~ гы " 1п) = Рп ($1~".~ йп' г1 — го'" гп — го) (2.1 68) Физически однородность поля указывает на то, что в любой точке пространства г поле ведет себя «в среднем» одинаково. Если равенство (68) не выполняется, то поле является неоднородным. В более общем случае поле определено как функция координат пространства г и времени 1, т.
е. $ (г, 1). Если учитывать временную зависимость, то к полю применимо понятие стационарности, относящееся к случаиным процессам. Случайное поле называется слоаа(ионарна1м (во 4!4 времени) в узком смысле, если его плотности вероятности не меняются при изменении начала отсчета времени. Поместив начало отсчета в точ- ки г, и г„для одномерных и двумерных плотностей вероятностей одно- родных и стационарных полей можем написать р (Е;, г„(») = р ($,; г, — г„Г, — Г») = р, ($,), (2.1.69) р, ($„$»; гм г;1 г„(») = р, (е„$»; Лг; т), (2.1.70) К» (г„г,) = Ка (㻠— г,) = К» (Л~).
(2.1.71) Стационарность случайного поля в широком смысле предполагает постоянство математического ожидания поля во времени и зависимость временной ковариационной (корреляционной) функции только от разности т = 㻠— Г,. Укажем, что если поле однородно в узком смысле, то оно однородно н в широком смысле. Обратное утверждение несправедливо. Однако существует класа полей, а именно гауссовские поля, для которых понятия однородности в широком и узком смыслах совпадают. Лля однородных полей вместо (35), (37) и (39) можно написать следующие выражения: математическое ожидание однородного поля л»1= ~ ~ Р»6») $н (2.1.72) дисперсия однородного поля (2.1.73) 115 где Лг = 㻠— г» т = (» — Гм Из (69) видно, что одномерные плотности вероятности однородных стационарных полей не учитывают пространственных и временных характеристик поля. Это значит, что быстрые и медленные во времени поля растянутые и сжатые в пространстве, могут иметь одну и ту же плотность вероятности.
Следовательно, задание случайных полей одномерными плотностями вероятности является неполным и отражает только тамплитудные» характеристики поля, не учитывая при этом временных и пространственных частот поля. Формула (70) говорит о том, что двумерная плотность вероятности однородного и стационарного поля зависит только от разности координат Лг двух точек пространства и от разности времен т, в которые рассматривается поле. Случайное поле называется однородным в широком смысле, если его математическое ожидание не зависит от координат пространства, а пространственная ковариационная функция Ка(г„ г,) является функцией только разности аргументов, т.
е. корреляционная функция однородного поля Ра(Лг)= ) ) ($,— т~)Д» — т») р»(эн й»; Лг)Щ,«$«. (2,1.74) Эргодические и неэргодические стационарные процессы и поля Ло сих пор характеристики случайных процессов и полей (плотности вероятности, моментные функции и др.) были определены через соответствующие статистические средние значения («поперек процесс໠— см. рис.
2.2 и 2.3), т. е. средние значения большого числа реализаций в ансамбле идентичных систем. Оказывается, что для многих стационарных случайных процессов указанные характеристики можно получить путем осреднения соответствующих величин «вдоль процесса», т. е, по одной реализации достаточно большой длительности. Например, представляется естественным за оценку математического ожидания т«стационарного процесса в («) принять величину т= 1пп — ~ $(г') «(1, (2.1.75) г Т ~ а в качестве оценок дисперсии Во и корреляционной функции 1«; (т) взять соответственно величины )) =! 1ш — 1 Д (г) — та)» «((, г Т,~' о (2.1.76) Фо(т)=1(ш — 1 К(1+т) — т~)ЙЯ вЂ” т»)й.
(2.1.77) о На практике временной интервал осреднения Т берут конечным, но по возможности большим. Такая возможность физически может быть оправдана тем, что стационарный случайный процесс протекает однородно во времени. По- Пб Корреляпионная функция в нуле равна дисперсии однородного поля: И, = Л, (6). Аргументом корреляционной (ковариационной) функции однородного случайного поля является разность координат пространства Лг, что дает основание называть (сэ (Лг) пространственной корреляционной функцией.
Вектор Ьг имеет те же проекции, что и г. Поэтому корреляционная функция скалярного случайного поля является функцией нескольких переменных. В этом состоит существенное отличие случайного поля от случайного процесса, где корреляционная функция зависит только от одного аргумента й Если имеется однородное поле вида а (х, у), то его корреляционная функция зависит от двух переменных Яз (Ах, Лу), для трехмерного поля $ (х, у, г) — от трех переменных Йа (Лх, Лу, Лг). этому одна реализация достаточно большой продолжительности может содержать все сведения о свойствах случайного процесса. Это можно также пояснить иначе.
Представим себе, что длинная реализация стационарного процесса разбита на «куски» примерно одинаковойдлительности. Лля ряда'стационарных процессов каждый из таких «кусков» можно рассматривать в качестве «полномочного представителя» отрезка реализации на выходе отдельного члена статистического ансамбля одинаковых систем. Стационарнгяе случайные процессы, для которых это справедливо, называются эргодическими или говорят, что стационарный процесс обладает эргодическим свойством. Аналогично обстоят дело и со случайными полями.
Например, для однородного поля в соответствующих выражениях осреднение по времени нужно заменить на осреднение по достаточно большой области пространства. Следовательно, эргодическое свойство стационарного процесса или однородного поля состоит в том, что вероятностные характеристики процесса или поля можно получить при надлежащей обработке лишь одной реализации достаточно большой «длительиости». В понятие эргодичности можно вкладывать различный смысл, поэтому его целесообразно дифференцировать в зависимости от того, какие характеристики процесса или поля представляют интерес и подлежат рассмотрению.
Стационарный процесс «(1) называется эргодическим в строгом смысле, если с вероятг1остью единица все его вероятностные характеристики могут быть получены по одной реализации процесса. Имея в виду, что различные характеристики эргодического процесса обычно определяются осреднением по времени, можно сказать, что стационарный случайный процесс $ (1) является эргодическим, если результаты осреднения по времени совпадают с соответствующими результатами осреднения по ансамблю-(т. е.
с математическими ожиданиями). Практически часто интересуются не всеми, а только отдельными характеристиками процесса (в частности, математическим ожиданием, корреляционной функцией и одномерной функцией распределения или плотностью вероятности). Ясно, что процесс может быть эргодическим относительно одной характеристики (параметра) и неэргодическим для других. В связи с этим можно ввести понятие эргодичности относительно отдельных характеристик процесса. Укажем здесь три таких понятия эргодичности, отложив доказательство приводимых результатов до Э 5.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
