В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отправляясь от совместных и условных плотностей вероятностей типа (9) и (!7), можно ввести совместные и условные моментные и кореляционные функции. Они определяются формулами, аналогичными (23), (24) и (28), только теперь нужно оперировать соответственно с совместными и условными плотностями вероятности и условными характеристическими функциями. Для случайного поля с (г) моментные функции' определяются как интегралы от произведений значений поля $» ..., с„в заданных точках пространства иа соответствующую плотность вероягности.
Например, математическое ожидание равно т; (г,)=т, (г,)= ) $, р(л; г,) йс» (2.1,35) Применительно к двумерному полю $ (х, у) это выражение примет вид ть(х» у,)=М [й(х» у,] = ) с,(х» у1) р (з„х» у,) йз» (2.1.36) Одномерный центральный момент второго порядка равен Ва (г,) = (х, (г,) = ) [$, — т, (г,)]' р ($,; г,) с%» (2. 1.37) а для двумерного поля з (х, у) р,(х» у,)= ~ Я,— т, (х» ут)]'р($т; х» у,) Щ» (2.1.38) Корреляционная функция случайного поля Я, (г» г,) определяется как двумерный центральный момент второго порядка, т. е, Яа(г» га)=р,(г» гз)= ) ) [$;(г,) — т,(г,)] Я,(г,)— — тз (гян р2 ($» $2! Г» гх) ~61 ййм (2.1 39) Для двумерного поля с (х, у) корреляционная функция может быть записана в виде А'а (х» уб хм Уа) = ) ] !ь1 (хт Уг) — тг (х» у,)] ["-, (хь уз)— г !ов — т, (хю у,)) ри (Во $,; хм а,; хм д,) сЕ, дэм Формулы (35) — (40) имеют две особенности. Во-первых, интегрирование везде ведется по значениям поля в данных точках пространства, что эквивалентно вероятностному осредненшо (т.
е. осреднению по ансамблю реализаций поля). Во -вторых, математическое ожидание поля и его корреляционная функция в общем случае зависят от координат пространстйа. Это значит, что если производить вероятностное осредиение в нескольких точках пространства, то мокнут получиться различные значения моментов. Однако существует обширный класс полей, для которых моменты не зависит от координат пространства. Такие поля получилн название однородных. (2.1.40) Классификация процессов и полей Основываясь на введенных характеристиках случайных процессов и полей, можно провести их дальнейшую классификацию.
Приведем основные определения, связанные с классификацией. Бестационарные и стационарные процессы и поля. Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы. Случайный процесс с (() называется стационарным в узком смысле, если все конечномерные функции распределения вероятностей любого порядка инвариантны относительно сдвига по времени*, т.
е. при любых и и 1, справедливо равенство Е„(хы ..., х„гы — („..., 1„— 1„) = Р„(хы ..., х„; гы ..., 1„). (2.!.41) Вто означает, что два пр песса $ (() и $ (1 — г,) имеют одинаковые вероятностные характеристики при любом 1,. Случайные процессы, не удовлетворяющие этому условию, называются нестааианарными в узком смысле. разумеется, что аналогичное равенство должно выполняться для плотностей вероятностей р„ (х„..., х„; 1, — 1„..., („ — (,) = р„ (х„ ...„ х„; 1ы ..., г„), (2.1,42) а также для характеристических, моментных и корреляционных функцийй. Стационарный в узком смысле случайный процесс, в отличие от нестационарного, ведет себя однородно (однообразно) во времени (рис.
2.4). Стационарные случайные процессы аналогично установившимся детерминированным процессам получаются в установившемся режиме работы системы при неизменных внешних условиях. Стационарные процессы являются частным случаем более широкого класса нестациоиарных процессов. Примером может быть любой случайный процесс в переходном режиме работы системы (например, случайный процесс на выходе инерционной системы в начальный период при воз.- *В литературе такие случайные процессы часто называют стационарными в строгом смысле. 106 действии на вход системы даже стационарного. случайного сигнала).
В некоторых простых случаях нестационарный процесс можно преобразовать в стационарный. Например, если непосредственному наблюдению доступны нестационарные процессы т) (т) = 5 (1) + )' (1) или т) (т) = 1 (г) 3 (г) + 1т (г), где $ (1) — стационарный процесс; 1 (г) и Гт (1) — некотоРые ДетеР- минированные функции, то они очевидным образом сводятся к стационарному процессу $ (г). Однако если нестационарный процесс т) (1) задан выражением типа Рис.
24. Характер реализаций не- стационарного (а) и стационарного (б) процессов т)(1) = ~ Ь (1, т) з (т) г(т, в где й (1, т) — некоторая детерминированная функция, то сведение не- стационарного процесса к стационарному в общем случае невозможно. Понятие стационарности в узком смысле обобщается на два и несколько случайных процессов. Два случайных процесса 5 (т) и Ч (1) называются совместно стационарно связанными в узком сшгсле, если их совместные функции распределения вероятностей любого порядка инвариантны относительно сдвига по времени: тгеп(хт" х ут ". у '(т" г 'т "1„)= (2.1.43) Отметим, что если каждый из процессов К (1) и т) (1) является стационарным, то отсюда вовсе не следует, что они будут стационарно связанными в узком смысле.
Из определения стационарности (42), в частности, следует р (х; 1,) = р (х; (, — 1,) = р, (х), ра (хт, ха; 1ь (т) =- р. (хт, ха' гт — гт Га — тт) = = ра (ха', ха, 'т), т = та — 11, (2.1А4) Таким образом, для стационарного в узком смысле случайного процесса п-мерная плотность вероятности, и-мерные моменты и корреляционные функции зависят не от п, а от л — 1 моментов времени, так как один из выбранных моментов времени можно всегда принять за начало отсчета времени (например, положить 1, = ()).
Из первой формулы (44) видно, что одномерная плотность вероятно- !07 сти стационарного в узком смысле случакного процесса вообще не зависит от времени, Поэтому одномерная плотность вероятности и одномерные моменты не учитывают временных характеристик стационарного процесса: процесе, протекающий в ч раз быстрее или медленнее, будет иметь одну и ту же одномерную плотность вероятности. Грубо говоря, описание случайкого процесса с помощью одномерной плотности вероятности подобно указанию амплитуды гармонического колебания А соз (и1+ Ч~) без задания его частоты.
Отсюда ясно, что описание процесса с помощью одномерной плотности вероятности является неполным. Математическое ожидание (среднее значение) стационарного в узком смысле случайного процесса не зависит от времени; т1 = М [$ (1)) = ) хр, (х) ах. (2.1.45) Ковариационная Кз ((„ 1,) и корреляционная й1(гм 1,) функции зависят лишь от разности аргументов т = 1х — 1„ причем Рз (т) = М [[$ (() — ть ) [$ ((+ т) — тз ) ) = (х,— о1$ ) (ха — тз ) рг (х„х,; т) Ах, дхе —— = М [$ (1) $ (1+т)) — т,'= К, (т) — т'.
(2.!.46) Лисперсия стационарного процесса 17, = о1 — — М [[ь (Г) — та ]з) =м'е (0)= ( (х — т1)з р (х) с(х= = М [Р (Г)) — т' (2.1.47) постоянна и равна значению корреляционной функции при нулевом значении аргумента. При решении некоторых практических задач (в рамках корреляционной теории) многомерные плотности вероятности не рассматривают, а оперируют только с математическими ожиданиями и ковариационной (корреляционной) функцией. В связи с этим введено понятие стационарности в широком смысле. Случайный процесс $ (1) с конечной дисперсией называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и ковариационная функция инварианты относительно сдвига по времени, т. е.
математическое ожидание постоянно (не зависит от времени), а ковариационная функция зависит только от разности аргументов 1,— (2.1.48) т, -= сопз1, К.„((о Ге) = К, (1, — (,). Отметим, что сумма двух нестационарных процессов может оказаться стационарным процессом. Пусть А,(1) и А,(1) — пезависимыг стационарные в широком смысле случайные процессы в нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми корреляционными функция- 108 ми. Тогда случайные процессы $, (1) = А, (1) соз гоо 1и $о (1) =А, (1)Х хз(п оо 1, где ыо †постоянн частота, нестационарны. Тем не менее суммарный процесс $ (1) = $,(1) + $о (1) будет стационарным в широком смысле. На основании формул (45) и (46) заключаем, что случайные процессы, стационарные в узком смысле, всегда стационарны и в широком смысле. Однако обратное утверждение в общем случае неверно.
В этом можно убедиться, вычислив, например, третий начальный момент М до (1)) для следующего стационарного в широком смысле случайного процесса: В (1) = А, соз ооо(+ Ао з(п ооо( где ооо — постоянная величина, а А, и А, — независимые случайные величины, каждая из которых принимает лишь два значения: — 1 и +2 с вероятностями 2/3 и 1/3 соответственно. Для гауссовских стационарных процессов, плотности вероятности которых полностью определяются математическим ожиданием и корреляционной функцией, понятия стационарности в узком и широком смыслах полностью совпадают.
Лва случайных процесса $ (1) и т1 (1) называются стационарно связанными в широком смысле, если их взаимная ковариационная функция инвариантна относительно сдвига по времени: Кеч (1м 12) М (о (11)Ч ("о)) М($ (11 11) тй((о 11) Кеч (т)~ т = 1о — 1,. (2.1.49) Отметим, что если каждый из процессов с (1) и и (1) является стационарным в широком смысле, то это вовсе не означает, что они являются стационарно связанными в широком смысле. В этом можно убедиться на частном примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
