В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если 6, ) О, то согласно (23) — Ьс(Ьт ) О, т. е. х, = — Ье/Ь„и распределение сосредоточено в интервале — оо ( х ( х,. Если Ьа ( О, то О ) — Ьо/Ь, = х, н распределение задано при х, ( х < оа. Не Само распределение можно найти путем предельного перехода в (22) при Ь, — О, Однако проще обратиться непосредственно к (12): ь,+ь,/ь, 1„ ,+ь„/ь, / — ' ~+ сопа1. ьь !р( ) — У х ь1 !/х — 1 1(1 = — — —,(Ь1+Ь,) 1п!х + ь, ь,' Отсюда -и-ь,ь;а р (х) = с ех/ь* ) х+ Ьь/Ь! ) Определив постоянную с из условия нормировки, получим (1.5.24) р (х)— !ь,! г ( — ь„/ь1) где — Ь,/Ь, < х< оо при Ь,( 0 (р,> С) и — оо (х < — Ь,/Ь, при Ь! > 0 (ра < 0). В формуле (24) за нуль отсчета принято математическое ожидание распределения.
Если переместить нуль отсчета в точку — Ь,/Ь„ ввести обозначения а = — 1 — (Ь,/Ь!), р = — 1/Ь, (1.5.25) и перейти к новой переменной г = х + (Ь,/Ь,), то распределение (24) примет вид стандартного гамма-распределения )Р(г( +В (, Р/ (1.5.26) х — в ь„+ь,, х+ь, х ь (х +л ) ", где Л = х+ —, В = Ь! !11 + — /1, Аа =. —" — . (1.5,27) 88 где 0(х< оо при р,)0(())0) и — оо<х<0 при ра<0 (р ( 0). Кривые распределения Ш типа (гамма-распределеиия) изображены иа рис. 1.16.
Заметим, что на этом рисунке приведены только кривые с положительной асимметрией. Кривые с отрицательной асимметрией получаются путем зеркального отображения. Рассмотренный тип распределения включает как частный случай Хт-распределение, которое соответствует р = 2 и !х = (и/2) — 1 при п=1,2,3,... /'г'тип. В этом случае корни х1 их, комплексные, т. е. 0( Й( 1. Чтобы выполнить в (12) интегрирование, представим подынтегральное выражение в виде Тогда ср (Х) = ~ с(Х = — ! п (Х'+ А') — — агс1д — + сопв1, Х-В 1,, В Х Ь (Х'+Ля) 2Ь„ЛЬ, Л т. е. р (Х) = с (Х'+ А')'гав ехр ( — — агой — 1, — оо < х ( оо.
ль, л/' (1Л.28) Р(ир 2,0 2,'0 8,0 «,0 00 а а) Рис. ГЛ6. Кривые гамма-распредеяе. иия с равличиыми аиачеииями пара- метров /0,2,0 00 г40 50 60 и 0) Нормировочный коэффициент с наиболее просто может быть найден численными методами, так как интеграл от (28) в общем случае через известные функции не выражается. Область 1Ч типа распределения на диаграмме рис. 1.14 лежит ниже кривой, определяемой уравнением Ье (ра +З)а (1.5.29) 4 (2(),— 3()~ — 6) (4(),— Зйд) Типичный вид кривой 1(г типа распределения приведен на рис. 1.17, а.
Для 1Ч типа распределения не существуют моменты (с„порядков и )) ~~ — 1/Ь,. Соотношения (4) — (7) и (17), (18) справедливы лишь при 1/Ьа( -5. Частным случаем этого типа распределения при р, = О является распределение Стьюдента. На диаграмме рис. 1.14 этому распределению соответствуют точки оси ординат при ()в) 3. Если рт = О, то из (17) и (18) следует, что Ь, = О. При этом из (27) имеем Х х В О АЯ Ье/Ьв 22 2,0 08 0,0 ДФ 02 2,2 2,0 ~0 /0 $4 ~2 20 00 00 04 02 Соответственно формула (28) упрощается: ))(х)=с(хз+ — ") = с( — г) '(1+ — ) ", — оо <х< ос. (1.5.30) Если ввести обозначения Ьс = — пl(п + 1), Ьа — — — 17(п + 1), (1.5.31) то из (30) получим стандартную форму распределения Стьюдента Р(х)= (1+ Ч, — <х<ос. (1.5.32) 1 ((и+1))л) ) х'т 1п+)))з ~/я и Г (л)2) л Отсюда при и = 1 получаем распределение Коши ))(х) = 1Ъ (1 + х').
(1.5.33) Лйа) 1() Х ~~ аа Лье) Л6т) ст Ю ))) 2 г) З' Рис. 1.17. Кривые распределения Пирсона разных типов: а) тип )Ч) б) тип и; а, г) тип и) Точку, соответству)ощую распределению Коши, иа диаграмме рис. 1.14 нанести невозможно, так как зто распределение не имеет конечных моментов. () тип. Этот тип распределения определяется равенством (29), т. е. ему соответствуют точки границы между типами 1Ч и т)1. Из (14) еледует, что при )а = 1 корни х, и ха действительны и равны между еобой: ха = х, = — ЬД2 Ь,). При атом согласно (12) имеем 1 (' х — Ьт 1 (' дх ср (х) с(х— 6,1 (х+Ьт/2Ь~)а Ь,,) (х+Ьт)2Ь ) ь,(1+1)(2Ь,)) (* б, Ь ) (х+Ь /2Ь )т 87 т. е.
=- — 1п 'х+ — ~ + — ° + сопз1, 1 ~ Ьз 1 Ьз 1+1/(2Ьз) Ь ~ 2Ьз ! . Ь х+Ьз/2Ьз р< ~= Ь<-~/ /' р(ззз8~~"оз~, сзз4~ 2Ьз ~ з+Ьз/2Ьз где — Ьз/(2 Ьз) <х< со при — Ь,/(2Ьз)<0 и — оо (х(— — Ьз/(2Ьз) при — Ьз/(2Ьз) > О. Воспользовавшись соотношениями (17), (18) и равенством (29), можно показать, что в данном случае оказываются эквивалентными следующие условия: — Ьз/(2Ьз)<0'.' Ьз(0 — рз) 0' — Ь|/(2Ьз))0 Ьз)О рз<0. Для упрощения записи распределения (34) целесообразно перенести начало отсчета в точку — Ь,/2Ьз и рассматривать распределение К типа в виде р (г) = а ~ г ) -з ехр ( — у/г), (1.5.35) где г = х+ Ьз!2Ьз, з/ = — 1/Ьз, у = — (Ьз/Ьз) (1 + 1/(2 Ьз)), (1.5.36) причем 0 ( г< оо при Ьз < 0 (рз) 0) и — ос < г < 0 при Ь,)О (рз 0). Путем интегрирования распределения (35) находим нормировочный коэффициент а. Например, пусть Ь,(0 (у) 0).
Тогда — =~ г 'е '/' дг= ~ у-з+' уз-'е-з ду=у'-з Г(д — 1). с о о В результате получим р(г)= ' 1г1-зехр~~ — — ~, з / (1.5.37) г( — 1 (, з/' где О<г< при Ь,(0(рз>О) и —:-г<О при Ь,>О (цз < 0). Типичная кривая распределения 1/ типа приведена на рис. 1.17, б. Отметим, что соотношения (4) — (7) и (17), (18) еправедливы только при д = — 1/Ьз) 5. (// тип (бэта-раапределеяиея // рода). Этому типу соответствует случай, когда корни х, и хз дейзтвительны и одинаковы по знаку, т. е.
й - 1. Выражение для распределения получается так же, как и для типа 1. При непользования прежних обозначений (21) оно имеет вид р (х) = и ! х — хз 1з ~ х — х (1.5.38) где — со(х<х, при 0<х,(х, и х,<х<ос при х,(х,< < О. Можно показать, что корни положительны (О < х, ( х,), сели Ь,) 0 (при этом р, < 0), и отрицательны (х, < х,< 0) при Ь,<0 (рз) 0) 88 Из условия нормировки при Ь, ( 0 находим нормировочный коэффициент е: — (х — хт)е (х — хг)ь дх = (хг — хт)г+ь+ ' у" (у -1- 1)- ду = 1 Е е,) =(хг — х )е+ь+' В (Й+1, — д' — Й вЂ” 1), Й) — 1, у+Й .— 1. Здесь при интегрировании была использована замена переменной у = (х — хт)/(хе — х,).
Теперь записываем окончательную формулу Ч1 типа распределения при р, ) 0 (Ьт( 0) р (х)— 1х ХДе (х — хг)", хе(х(оо. ( —,)е+" +1 В (а+1,— д — 6 — Ц (!.5.39) Аналогично для ре < 0 (Ь, ) 0) получим р (х)— (х,— х)г (х,— х)"1, (х, хде+ь+! и ( г а 1, 8+1) — оо (х(х„. (1.5.40) Если сдвинуть начало отсчета г = х — х, и использовать обозначения р = Й+ 1, д = — у — Й вЂ” 1, то формула (39) упрощается: р ! р (г) = °, 0 ( г ( оо. (1.5.41) В (р, д1 (1+г)э+е Это распределение называется бэта-распределением 11 рода П 6 1.
Типичные кривые Ч1 типа распределений приведены на рис. 1,17, в, г. 3-образная кривая получается при р, ) О (Ьт ( О) для О ) Й )— — 1 или при ре( 0 (Ь,) 0)для 0) д) — 1. На диаграмме рис. 1.14 Ч! тип распределений находится между линиями, определяющими ти- пыП! иЧ. Укажем, что у распределений типа Ч1 не еущеетвуют моменты (г„ высших типов, точнее, ие существуют моменты порядков, равных и больших и, если д+ Й) — п — 1. Поэтому соотношения (4)— (7) и (17), (13) применимы лишь при у + Й = 1!Ь, ( — 5. У/1 тин (нормальное распределение).
Распределение этого типа имеет место при Ь, =- Ь, = О. При этом из (12) получим р (х) =с ехр(х'/2Ь,) = ехр1 — " 1. (1.5.42) У2н ( — ьо) (. 2 ( — ьь) ! Очевидно, что р, = — Ьь. Кроме того, из (5) следует, что ре =- О, р, = 391, т. е. ~), = 0 и р, = 3. На диаграмме рис. 1.14 данному распределению соответствует точка. Из рассмотрения диаграммы видно, что нормальное распределение является предельным для всех рассмотренных типов 1 — Ч1. (//// тин. Распределение этого типа есть частный случай типа 1, .
когдад = О, — 1(й(Оили Й = О, — ! (у: О. Из(22) прид =0 получаем 89 р (х) = (х,— х)", х, («х «( х,. (1.5.43) )е+~ Н 1 и+ Кривые этого распределения начинаются в конечной ординаты при х = хг и монотонно возрастают, стремясь к бесконечности при х = х„. При й = 0 кривые распределения зеркальны кривым для д = О.
На диаграмме рис. 1.14 ЧП1 типу распределений соответствует кривая, являющаяся границей между 3- и П-образными бэта-распределения- ми. /Х тип. Это распределение является частным случаем 1 типа, когда д = О, й ) 0 или й =О, д ) О. Выражение для 1Х типа распределения при а = 0 совпадает с формулой (43). Соответствующие кривые рас- пределения начинаются с конечной ординаты при х = х, и монотонно убывают, оканчиваясь в нуле при х = х,. Кривые распределения для й = 0 зеркальны кривым, соответствующим и=О. На диаграмме рис.
1.14 типу 1Х соответствует граница между унимодальным и Л-образ- ным бэта-распределениями. Х тип (екпоненциаеьное распределение). Это распределение яв- ляется особым случаем распределения 1П типа (гамма-распределения), когда Ь,/Ь1 = — 1. При этом ~, = 4 и ~, = 9. Выражение Х типа рас- пределения имеет вид 1 ~ ~ м Д Ьг<х<00 при Ь,<0(ре)0), р (х) = — ехр 1 — 1 — + 1 11, 1ь|1 1 ~-ь~ // — со<х < Ь, пРи Ьг 0(1х,< 0). (1.5.44) Заменой переменной интегрирования г = х — Ь, (перенос начала отсчета в точку Ь,) выражение (44) приводится к обычной форме за- писи одностороннего экспоненциального распределения 1 / г ~ 0 «( г < оо при Ьг < 0 (ре ) 0), р (г).= — ехр~ — ~, 1ь~1 ~ь~! — со<г<0 при Ь„)0(р <0).
Отметим, что точка фм 1),) = (4,9) лежит на пересечении кривых распределений типов П1 и 1Х. Поэтому экспоненциальное распределение является одновременно частным случаем как П1, так и 1Х типов распределен и й. Х/ тип. Он представляет собой частный случай типа У1, когда в (39)й = О или в (40)д = О. Выражение для распределения типа Х1 имеет вид: при р е ) 0 (Ьг ( 0) р(х)= ! (х — ХДе, Ьг<х< оо,д< — 1; (Ь,—,1е+ ~ В (1,— д — 1) (1.5.46) при ре(О (Ь, ) 0) р (х) = (хг — х)", — оо (х(Ьи й ( — 1. (~ — ь,1"+' в( — а — 1, 1) (1.5.47) 90 где т! (т! т1! (х! = тх — т, 2 (! — т,! (т,— т.,) (хз = т., — т1 ГЛАВА 2 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 2А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
