В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Выражая совместную плотность вероятности через ранее введенные количественные характеристики, получаем 1 Р2(х, х2) = х 2»'» )»гР Р,— »»», х ехр — Р, (хг — 222)2+2И22 (х» — т») (х, — т,) — Р» (х — и»)2 1 2 (Р2 Р» — »» 2„) 1 Х я „,-)г~ х ехр — '1 — а» (хг — »пг) "»г2«02 а» («2 — «»2) (х» — »22) — а» (х» — »22) 1 1 1 21) У ( 2а»» а» (1 — г»> Соответственно совместная характеристическая функция равна п22 (1дг [д2) — ) ) е3 га» «,+6» «л р~ (х2 х2) Дх22(х2— = ехр [1 (т2 дг+ тх д2) — (2/2) (О2 д(+ 2(222 д2 д2+ Р2 д22)) = = ехр [) (и, д, + т, д) — ('/2)(а1 д2+ 2га, а, д, д, + а3 д2)).
(1.4.22) Здесь отдельные параметры (всего их пять), как нетрудно проверить, имеют следующий смысл: т2 и т2 — математические ожидания случайных величин $2 и $2 соответственно; О2 = а»~ и П2 = а22 — их дисперсии; г — коэффициент корреляции, т. е. и, = М ($2), а»2 = М ((с2 — т,)2), г = рм/а,а, = М ((вг — т2)(в»вЂ” т2))/а2а2» ~ 1»2.
(1.4.23) дифференцируя выражение (22), нетрудно проверить, что для характеристической функции имеют место равенства »О» 1 2) ( 1)«(д д)«гр ()д )д) ав"„ (1 4.24) 8" »в» ()дг, [о») =( — 1)" (ог а2 дгд,)" Ф2()дг, )дз). аг« Рассмотрим на примере двух случайных величин характерные свойства совместно гауссовских случайных величин. 1. Если случайные величины $, и $2 не коррелированы, т. е. г=0, то из формулы (21) следует, что их совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятностей каждой из величин: (1.4.25) р,(х„х«)=рь(х,) ры(х,).
68 (1.4.27) //х-//д Рнс. 1.12. Эллипс постоянной вероятности Рис. 1.13. Пример двух зависимых гауссовских случайных величин, не являющихся совместно гауссовскими Вид преобразования (26) объясняется следующими воображениями. Иэ формулы (21) видно, что нормальная плотность вероятности имеет постоянное значение на так называемых эллипсах постоянной плотности (рис. 1,12): (з.— з» )» (х — т ) (к — т ) (х — »нз)з 3 — 2 + сз» а ) 6. (1А.28) »тз от оз о за Центр этого эллипса находится в точке (»лг, ю )1 в втой точке плотность вероятности максимальна и равна р (тт, тз) =(2погоЯ1 — гз) Оси симметрии эллипса составляют с координатными осями (яы аз) два угла, определяемые уравнением (27) н различа»ощиеся на и/2.
Для независимых еаучайных величаи (г 0) оси симметрии эллипса параллельны координатным осям, О»сюда ясно, что для сведения зависимых случайных величин $т и йз и независимым Чг и Ч нужно перенести начало координат новой системы в точку (ют, и ) и совместить оси с главнымн осями эллипса постоянной плотности. Это и осуществляет преобразование (26).
69 Но такие величины по определению (1.3.77) называются независимыми. Следовательно, если две совместно гауссовские случайные величины не коррелированы, то они и независимы, т. е. некоррелированность двух совместно гауссовских случайных величин тождественна их неза- висимости. 2. Лве коррелированные (зависимые) совместно гауссовские слу« чайные величины $, и $з всегда можно привести к двум некоррелиро- ванным (независимым) гауссовским случайным величинам т), и т)з прн помощи линейного преобразования () = (9, — гпз) соз сз + (ез — тз) з(п а, (1.4.26) т)з = — ($, — тпз) з1п сз + (вз — тз) соз а, где угол сс определяется из условия М(з),т)з) = О и равен 1я 2а = 2го,оз/(о( — оз) при и, чь пз, сз=п/4 при а =а.. 3.
Одно из важнейших и определяющих свойств совместно гаупаоваких случайных величин состоит в том, что при линейных преобразованиях их получаются также совместно гауссовские елучайные величины. Этот резузгьтат будет установлен в 9 3.3. 4. Локажем, что если две случайные величины являются совместно гауссовскими, то каждая из величин будет также гауссовской. Обратное утверждение в общем случае неверно (оно верно только для независимых случайных величин). Представим показатель экспоненты в выражении (21) в виде (' (х — т )з (х — т )(х,— т,) (х — т )з1 а о„ о' (х — тч)з + зв« о' / х„— т„ о о ~л На основании условия иогласованности плотностей вероятностей (1.2.30) имеем р(х,) = 1 р,(х , х,) с(х„.
Перейдя здесь от переменной интегрирования хв к гв н выполнив интегрирование, получим 1 1 (х,— ш )з'1 р1,(х,)= — ехр ~ — ' ' ~, я=1,2. (1.4.30) Этот результат доказывает первую часть еформулированного утверждения. Локажем теперь вторую часть.
Из формулы (25) иледует, что сали две гауссовские случайные величины $» и $з независимы, то они являютая такжевовместно гауссовекими. Лла зависимых гаУссовских слУчайных величин 9, и $» такое общее утверждение неверно; две зависимые случайные величины ег и й„каждая из которых является гауссовской, могут быть совместно негауссовскими (12 — 14). Поясним зто на примере. Пусть случайные величины $1 и йз совместно гауссовские с плотностью вероятности (21). Добавим к втой плотности вероятности две небольшие одинаковые вероятностные «массьы д, равномерно распределенные в площади кру~ов (или нвадратов) 1 и 8 (рис. 1,13) и вычтем точно такие»ке массы и кругам 2 и и. В результате получим новую совместную плотность вероятности р', (хт, хз). Ясно, что объем под поверхностью р«(х„хз) по-прежнему равен единице и прн достаточно малой «массе» д функция р,' (хь хз) неотрицательна, Следовательно, в принципе можно указать две случайные величины з«' и з; с совместной плотностью вероятности р,' (хь х ), Очевидно, что случайные величины $,' я $«' не являются совместно гауссовскими, хотя плотности вероятности каждой зз случайнык величин 3', и з» остаются нормальными.
Действительно, по аналогии с (29) вероятность р' (хг) «тх, того, что случайная величина $', заключена в интервале (хь хт+ охг), равна объему под поверхностью р,' (хь х ) в вертикальной полосе (хь ха + дхг). Так как в этой полосе прибавляется и вычитается одинаковая 70 «масса», то р' (х»)дха = рй (ха)бхм поскольку случайная величина к/ по пред. положению гауссовская, то и с', будет гауссовской случайной величиной.
То же самое справедливо для случайной величины $; (рис. 1.!3). В дополнение приведем следуюгдий конкретный пример. Пусть ра (хь х 1 и р (хт, х) — выражения двух нормальных плотностей вероятностей, в которых л»«гла ла, а', = о,' = о', но «+ г. Тогда полусумму (1/2) Х х 1Ра (хь ха) + Ра (хь хаЯ можно РассматРивать как некотоРУю двУмеРнУю плотйость вероятности, которая однако не является нормальной, котя одномерные плотности вероятности, вычисленные по формуле (29), будут нормальными. 5. Для совместно гауссовских случайных величин условная плотность вероятности одной нз них при фиксированном значении другой является нормальной.
Действительно, воспользовавшись формулами (21) и (30), получим 1 Р(ха!»т хт) Ра (хт» ха)«Р1 (хт) Х оа )Гйп (1 — га) 1 Г о, 1«1 х ехр( — ~ха — и,— г — '(х,— тт)~ 1. (1.4.31) 2о» (1,»1 оа; Видно, что уаловная плотноать вероятноети являетея нормальной с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответотвенно М(с,($,=ха) =та+г(оа/о,)(хт — и,), Оы1п =ой(1 — г'). (1.4.32) Условное математическое ожидание $а при данном х, закипит от х„ а условная дисперсия Вы1м не зависит от х,. Профиль условной плотности вероятности (31) в плоекопти х, = = сопз1 есть нормальная кривая е единетвенным максимумом, раеположенным на прямой линии х, = ия + г (па/и,) (хт, — тт), проходящей через центр (тт, и,) эллипеа поетоянной плотноети. Точка переаечения этой прямой е эллипсом (28) еовпадает е точкой кааания вертикальной линии х, = сопз1 а тем же эллипсом.
При г-ь 1 условная дисперсия 0д„, м уменьшается. Поэтому условная плотность вероятности при г -ь 1 вне теснее и теснее концентрируетея около прямой, переходя в пределе в дельта-функцию: Р (хв ) х,) = 6 (х, — т, — г (оа/пт) (х, — та)), г -ь 1. (1.4.33) 6. Имея в виду результат (1.3.67), формула (32) позволяет сделать важный принципиальный вывод: для совместно гауееовоких елучайных величин нелинейная и линейная оценки одной из случайных величин через другую (по критерию минимума вреднего квадрата ошибки) еовпадают и, следовательно, для таких величин наилучшей оценкой являетея линейная: ев = д (ет) = М (йв ) 5т) = т, + г (пяЬт) (хт — т,).
(1.4.34) При этом минимальное значение среднего квадрата ошибки (1.3.72) равно е' ы = (1 — г') ояа = (1 — г') Ва. (1.4.35) 71 Следовательно, нормальную уеловную плотность вероятности (31) можно записать в следующем виде: (х — 1,)» р(х» 1х») = ехр ~— Узнаю 2«йеп При анализе безынерционных (функциональиых) преобразований совместно гаусвовских случайных величин часто оказывается полезным разложение Малера двумерной нормальной плотности вероятновти (21) в ряд по ортогональным полиномам Чебышева — Эрмита 115)1 1 Г (х» — т«)» (х, — т»)»1 р,(х„х,)= ехр~ —, —, 1 х 2яо» в» ( 2в» 2о» х '~+И„("» — ' )И„(" — )", (1Л.Зб) где Н„(х) — полиномы Чебышева — Эрмита.
И„(х) =( — 1)" е'*1' — (е-"*"), Н,= 1, и = 1, 2, 3,... (1Л.37) «х" Простота оперирования в таким разложением объясняется тем, что в правой части выражения (36) переменные х, и х, «раащеплены», т. е. входят в качестве отдельных сомножителей. Почти все приведенные выше результаты обобщаются на несколько совместно гауасовских случайных величин.
Случайные величины $м.$», ..., $„называются совместно гауссовскими, если их совместные плотности вероятности являютая нормальными. Эти плотности вероятности записываютея наиболее компактно в матричной форме. Обозначим математическое ожидание случайной величины $„через т„, дисперсию через 0 „и корреляционный момент между случайными величинами $„и $„через М((»„т,)(3, „О =...рд„в„(,, =1,, (1Л.З3) г„, — коэффициент корреляции. Ясно, что й „я = Р и и )(„, = 1«„,. Определим векторы-столбцы и ш= х, и корреляционную матрицу й»» 1»ы -. й«п Нм )«2» "' й2» (1л.зй) й»й - й а также 1 и ~ = де1 К вЂ” определитель корреляционной матрицы. 72 Е„ааы,.., 1ао-,а(; Х, ча.— — ' ~ Х.,а.а„), Пб.аа) и ъ=а где А, — алгебраическое дополнение элемента ггп, в определителе (К(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
