В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Р(й = Ц + О Р(Ь = О) = р. Таким образом, математическое ожидание равно р, а возможными значениями случайной величины являются О и 1. Предположим, что случайная величина ~ с плотностью вероятности р (х) подвергается преобразованию т1 = тр ($), где тр (х) = 1 при х ( х, и тр (х) = О при х ) ) х,.
Согласно формуле (1) получаем ь М(т1)=. ( ть(х)р(х)йх= ~р(х)йх=Р(х,), где Р (х) — функция распределения случайной величины с. Перечислим основные свойства математических ожиданий. Математическое ожидание часто называют также средним значением случайной величины, Математическое ожидание характеризует оасположение значений) случайной величины. Полностью эту роль математического ожидания разъясняет закон больших чисел и, в частности, неравенство Чебыше- ва (1.3.25).
Математическое ожидание комплексной случайной величины ь = = $+ )т1 по определению равно М (Ц = М (Ц + 1' М (т1), (1.3.3) Случайная величина ь имеет математическое ожидание, если ин- теграл в правой части формулы (2) сходится. Если же ои расходится, то случайная величина не имеет математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины можно выразить непосредственно через функцию распределения вероятностей Р (х). Пусть ради простоты плотность вероятности р (х) равна нулю при )х~ ) ) Ь, так что Р ( — 6) = О, Р (6) = 1 (рис. 1.6).
Интегрируя правую часть равенства (2) по частям, имеем ь ь ь ь 1. Математичеекое ожидание та имеет размерноеть еамой елучайной величины $. 2. Математачеекое ожидание неелучайной величины равно этой ве. личине. Лействительно, полагая в (1) гр ($) = с = еопз1, получаем М (с)=с ( р (х) с(х=с. (1.3.4) 3. Математическое ожидание случайной величины 6, имеющей еимметричиую плотиоеть вероятноети относительно прямой х = а, т.
е. Жв ае уй ЙеРрле гейл н~п Рис. 1.6. К еыражению ма. Рис. Пт, Различные соотношения между математематического ожидания че- тичесним ожиданием ши медианой х, и модойкм рез функцию распределения р (а — к) = р (а+ х), равноМ (Ц = а. Это еледуетиз очевидногора- венства (а — х) р (х) г1х = О = а — ~ хр (х) с(х. В частноети, если плотность вероятноети р (х) сеть четная функпия, т. е. р ( — х) = р (х), то М Д) = О.
4. Неелучайную величину можно выносить за знак математического ожидания: М (Ч ) = М (се) = вм Ю. (1.3.5) 5. Математичеекое ожидание еуммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) нх математических ожиданий. Пуеть елучайные величины ет и ея имеют еовместнУю плотность веРоатности р,(х„х,). Согласно походной формуле (1) имеем М Дт ~ $я)= ~ ~ (х, ~ ха)ря(хм ха) г(х,йхз=М($а) ~МЩ, (1.3.5) В частноети, М (й + в) = М (6) + е. (1.3.7) 46 По индукции формула (6) обобщается на несколько случайных ве- личин: 6. Математичеакое ожидание произведения незавиаимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т, е. М Д,Ц)= ~ ~ х,х, р(х,) р(х«) дх, дх»=М($») М Щ.
(1.3.9) Аналогичная формула справедлива для нескольких независимых ялучайных величин. Математическое ожидание вектора $ а координатами $», ..., $„ есть вектор М (и) с координатами М ($,), ...,М Д„). Базируясь на условной плотности вероятности (1.2.41), можно определить условное математическое ожидание случайной величины.
Уоловное математическое ожидание М (з ~ В) случайной величины $ при условии В определяется формулой (2), в которой безусловную плотность вероятности р (х) нужно заменить на условную р (х ! В): М ($ ~ В) = т« ~ в = ~ хр (х ) В) дх. (1.3.10) Из формулы (2) следует, что если интерпретировать р (х) как плотность массы, распределенной вдоль оси х, то математическое ожидание ть есть абсцисса центра тяжести этой массы.
Иначе говоря, математическое ожидание характеризует расположение «центра» закона распределения р (х). Можно ввести еще две характеристики такого рода, а именно медиану х, и моду х . Медиана есть такое значение х„которое делит площадь под плотностью вероятности пополам, т. е. медиана есть любой корень уравнения Р (х,) = 0,5. Математическое ожидание может не существовать, а медиана существует всегда и может быть неоднозначно определенной. Если существует интервал (а, р), на котором - Р (х) = 0,6, то любая точка этого интервала может быть медианой.
Иногда рассматривают квантили. Кеантиль порядка р есть корень уравнения Р (ь ) = р, где р — некоторое данное число, 0 < р ( 1. Медиана есть квантиль порядка 1(2: х, = ~ы». Мода является третьей характеристикой расположения «центра» закона распределения. Модой непрерывной случайной величины называется любая точка х максимума плотности вероятности. Если плотность вероятноати имеет один максимум, то она называется унимодальной. При наличии двух или более максимумов плотность вероятности называется бимодальной или мультимодальной. Если для диакретной случайной величины возможные ее значения х~ расположены в порядке возрастания, то точка х, называетея модой, если Рч) Рч-«н Р«) Р«+м Соотношения между математическим ожиданием тм медианой х, и модой х показаны на рис. 1.7.
Математическое ожидание «чувстви- 47 тельно» к «хвостам» закона распределения, медиана менее чувствительна к ним, а на моду крайние значения вообще не влияют. Очевидно, что для унимодального и зимметричного закона распределения все три показателя совпадают. В елучае асимметричных и мультимодальных распределений они не совпадают. Плотность вероятноати имеет положительную (отрицательную) асимметрию, если мода предшествует медиане (следует за медианой).
При этом большая часть распределения находится справа (слева), а более крутой спад — слева (справа) от моды. Применим формулу (1) к частному случаю степенной функции ~р(х) = = (х — с)', где и = сопз1, ч = О, 1, 2, ... Получающиеся при этом числа называются моментами ч-го порядка случайной величины $ относительно постоянной с.
Вяли о = О, то моменты называют начальными и обозначают т, а при с = ть моменты называют центральными и обозначают р,. Таким образом, М(Р)=т, = ( х р(х) с(х, т,=1, т,=т;, (1,3.11) М(!з!')= ( !х~" р(х)йх, . (1.3.13) М (/ $ — т» Ц = ~ 1х. — т; /' р (х) дх, а для дискретной случайной величины $ дополнительно начальные и центральные «ракториальные моменте« М (РЯ =т~ 1='~~х1»1рь М ((ь» тг)1")) = р1,1 = ~Ч', (Х; — т» )Ип р„(1.3.! 6) (1.3.15) где хна = х (х — 1) ... (х — ч + 1).
Некоторые из перечисленных моментов могут не существовать. В подобных случаях иногда интересуются так называемыми обратными моментами М («ь ч)=т = )е х=ч р(х) йх. (1.3.17) Пользуясь формулой бинома Ньютона и свойствами математического ожидания, начальные моменты можно выразить через центральные и наоборот. При этом для скалярных случайных величин получим следующие соотношения: 48 М (Й вЂ” т») )=-рч ~ (х — ть)яр(х) йх. (1.3.12) Кроме этих моментов, раесматривают также абсолютные начальные и центральные моменты щ, = ч~ Сг р, гпт-~ ~-о (1.3.18) р, = ~~~ ( — 1)'=' С* т, т'-'.
ю е (1.3.19) Покажем, что из всех моментов второго порядка случайной величины еч относительно некоторой постоянной а ее момент относительно математического ожидания те является минимальным, т. е. (1.3.20) представляющую собой разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Тогда дисперсию Ре случайной величины 5 можно определить как числовую характеристику, равную математическому ожиданию квадрата центрированной случайной величины: Е1 = $1Д)=МДо)=М(Д вЂ” тг)з)= ~ (х — и )зр(х)г(х= =-М (Р) — те*=лез — тг. (1.3.22) Дисперсия характеризует меру рассеяния (разброса) значений случайной величины относительно математического ожидания. Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то часто пользуются средним квадратическим отклонением(СКО) ое, имеющим размерность случайной величины.
СКО случайной величины равно, положительному значению квадратного корня из дисперсии: ае=УОе . (1.3,23) 'Аналогичным свойством обладает и медиана: первый абсолютный момент М (~ с — с ф имеет минимальное значение, когда постоянная с равна медиане х,. Йрн этом за характеристику меры рассеяния можно принять первый абсолютный момент йт(~ ь — хе ф ппп М ((З вЂ” с)') = М (($ — пт1 )') = рм с По определению имеем М ((5 — с)') = М (Г) — 2 соте + са, Для получения минимума этого выражения по с должно выполняться равенство дМ ((з — с) ) /с(с = О, откуда получаем с = тм Следовательно, постоянная с=те является наилучшей оценкой случайной величиные, если за меру различия между ними принято математическое ожидание квадрата их разности (средний квадрат ошибки).
При этом сам средний квадрат ошибки равен второму центральному моменту рм Этот момент играет особо важное значение. Поэтому момент р, выделяют среди других моментов; его называют дисперсией случайной величины и обозначают ь)е = рм Введем в рассмотрение пентрировинную случайную величину еее вь гпс (1.3.21) Дисперсия характеризует зтепень конпентрации плотности вероятности р (х) з окрестнооти математического ожидания.
Этот результат находит математическое выражение в неравенстве П. Л. Чебышево. Пусть а~ Π— произвольное положительное число. Тогда для случайной величины 5 з математическим ожиданием тт и дисперсией 0з справедливо неравенство Р (ф — тт ~~ З) ( Р1 (Зв. (1.3.24) Отсюда следует, что Р (тз — е ( $ ( тк + з) в 1 — (77е )зв), (1.3.25) т. е. е уменьшением дисперсии случайной величины увеличивается вероятность того, что значения случайной величины не выйдут за пределы отрезка [те — е, т, + з).
Доказательство неравенотва Чебышева (24) следует из определения дисперсии: .01 = ~ (х — те )' р (х) Ас е) (х — т )' р (х) (х ~ 1к вч1ьв >~з' ) р(х)бх=звР٠— т ~)з). ) к в~а 1~в Укажем два очевидных обобщения неравенства Чебышева. 1. Допустим, что случайная величина 11 принимает только положительные значения, т. е. р (у) = О при у ( О. Тогда для заданной положительной величины а ) О должно выполняться неравенство Р (й ~ а) ( т„lа. (1.3.26) Действительно, й4 (в1) = ~ ур (у) г(у ) ~ ур(у) Ш а ( р (у) бу = а. (т1 ) а), а а Отметим, что в неравенство (26) входит только математическое ожида- ние случайной величины 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
