В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть некоторое событие А может появиться только в сочетании с одним из попарно несовместных событий Н„Н„..., Н„, которые составляют полную группу. Предположим, что известны вероятности этих событий р (Н,) и условные вероятности р (А ) Н!), ! = 1,2,, а, события А. Нужно найти безусловную вероятность р (А) события А. Так как событие А появляется тогда и только тогда, когда очуществляется одно из попарно нековместных событий АН„АН„..., АН„, то по теореме сложения вероятностей имеем л Р( ) ~~~ Р( !). !=1 Отдельные слагаемые в правой части находим по формуле умножения вероятновтей (10): Р (АН,) = Р (Н,) р (А ~ Н,). Таким образом приходим к так называемой срорл!уле полной вероятности: р(А)= ~ р (Н!) р(А) Н,).
(1.1.24) 1=! Формула Байеса является решением следующей задачи. Пусть по- прежнему событие А может наступить только при условии появления одного из попарно несовместных событий Н„Н„..., Н„. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Предполагаются известными вероятности гипотез р (Н!) и условные вероятности р (А ~ Н!) события А при каждой из гипотез. При этих условиях безусловная вероятность события А дается формулой (24).
допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Спрашивается, с какой из гипотез следует связывать появление события А? По-видимому, для решения задачи необходимо вычислить условные вероятности гипотез р (Н!!А) при условии, что произошло событие А, и той из гипотез, которая будет 1б иметь наибольшую вероятноать р (Н, ! А), следует отдать предпоч. тение. На оановании теоремы умножения вероятностей имеем Р(АНс) =Р(А)Р(Нс !А) =Р(Нс)Р(А !Нс) откуда Р (Нс ! А) = Р (Нс) Р (А ! Нс) ( Р (А) Воепользовавшись (24), получим формулу Бас)еса Р(Нс(А)= ~ с) ( ! с), (=1,2,..., и.
(1.1.25) Х," с Р (Нс) Р (Л ! Н,) РРИ Г 1 1 ! ! РГРК 1 Ртьг Г ПРД Г 1 Рис. 1.3. Бинарная симметричная система связи Формула Байеса позволяет оценить вероятности гипотез после того„ как становится известным результат испытания, в итоге которого по-. явилось событие А. Формулы Байеса играют фундаментальную роль во многих проб-. лемах статистической радиотехники (в частности, при оптимальном приеме сигналов на фоне помех).
При этом вероятности гипотез р (Нс) обычно называют априорными вероятностями, а условные вероятности р (Н, ! А) — апостериорными вероятностями гипотез. Для иллюстрации принципиальной важности формул (25) рассмотрим пример, Пример 1.1.2. Бинарный симметричный ианаа связи с помехами. Пусть пг бинарному симметричному каналу связи с помехами может передаваться одиь из двух возможных сигналов, которые условно обозначим Х и г'. Примерам могут служить сигналы телеграфного кода Бодо. На передающей стороне (ПРД) сигналы Х и г' следуют во времени случайным образом, однако считаются известными относительные частоты следования сигналов Х и У, которые обозначим соответственно через Р (Х = Нс) = уе и Р (У ии Нз) = Чо = 1 — Ре.
Эти вероятности могут быть определены на основании предварительного изучения статистики передаваемых сообщений (сигналов). В последующих расчетах принято ра = де = 0.5. Между передающим (ПРД) и приемным (ПРМ) уст- 6 ойствами расположены две ретрансляпионныестанпии РТСс я РТСз (рис, 1.3). з-за наличия помех на каждом из участков ПРД вЂ” РТСс, РТСс — РТС, РТСз— ПРМ возможны искажения: вероятность искажения любого из двух сигналов в другой одинакова и равна о = 1 — Р, где Р— вероятность правильного приема сигналов. Искажения на каждом нз участков полагаются независимымн, 1.
Какой нз двух сигналов был передав, если нз РТС1 принят сигнал Хсй Какой из сигналов был передан, еслн на ПРМ принят аитнал Хзг 2. Вычислить и поатроить графини зависимости от Р вероятности полной ошибки рз приема сигналов в пунктак РТВт, РТ6з и ПРМ. 1т" 3, Вычислить вероятности правильного приема свгналов в пунктах РТС1, РТСт и РТСз, а также РТС1, РТСз в ПРМ: 1. Отождествим гипотезу Нг с передачей сигнала Х и гипотезу Не е передачей сигнала У.
Вероятности зтих гипотез заданы и равны соответственно Р (Нг) Р (Х) = Ро Р (Нз) = Р (У) до 1 — ро, Пусть событие А состоит в том, что нз РТСт принят сигнал Хт, Из сформулированных условий следует, что Р (А! Но) = Р (Хт ) Х) = Р, Р (А! Нз) = р (Хт ) У) = д = 1 — р. На основании формулы Байеса (25) получаем р<Н,)А)=р<Х)Хз)= рар 0 5р ро Р+до д 0.5 (р+д) Р (Н,)А)=р<У)Хт)= сод 0,5д ро Р+д, д 0,5 <р+д) ТдР Рис. 1А. Вероятность полной ошибки для бинарного симметричного канала Отсюда следует, что при приеме сигнала Хт был передан сигнал Х, если р > д, и был передан сигнал У, если р ( д, Такой ответ в вашем примере вполне логичен, поскольку было принято ро = до = 0,5. Предположим, что принят сигнал Хз (событие А).
Нетрудно убедиться, что при независимых искажениях сигналов нз отдельных участках справедливы соотношения р (Хз ! Х) = р (Хт ) Х) р (Х, ! Хг) р (Хо ) Хо) + р (Хт ( Х) р (У, ) Хт) р (Хз ! Уо) + + р <Ут 1 Х) р (Хо ( Уз) р <Хз) Х ) +р <У, ( Х) р <У, ) Ут) р (Хз р,) = р <р +Здо); р(Хо) У) р(Ут) У) р(У, (Уг) р(Хз /Уо)+р (Уг)У) р(Х )Ут) р(Хо!Хо)+ +р (Хо / 1 ) р (Хо ( Хг) р (Хо ( Х ) -(-р (Хт ) У) р (1 о ( Хо) р (Хо ~ Уо) = д (до+ Зр ) .
Формула Байеса (25) теперь принимает внд р р (ро+Здо) Ро+Зрдо р„р <ро+Здо)+д д <до+Зро) ро+до+Зрд р<У)Х,) д. д <до+ Зрз) до+ Зро д Р, Р <рз+З о)+до д (д*-).Зро) Ро-~.до-~-Зрд Отсюда следует, что р (Х ( Хо) ~ р (У ) Х,) при ро+Зрдо ~ дз+Зрзд, т, е, при (Р— д)о ) О, Следовательно, пРием сигнала Хо означает, что был пеРедан сигнал Х, если р ~ д, и сигнал У, если р ( д, Принятие таких решений будет сопровождаться.ошибками. Напрймер, если принят сигнал Хо и р ь» д, то ато еще не свидетельствует о том, что обязательно был передан сигнал Х. 2. Вычислим вероятности ошибок, допускаемых при указанных правилах приема сигналов в пунктах РТОВ РТС и ПРМ, Вероятности полижи ошибок 18 приема сигналов в етвк пунктах определяютея соответетвенноследуюшвмя вы- реженнямв: Рот= Ро Р (1 г1 Х) +Чо Р (Хг 11 ) =Ро Ч+Чо Ч =в = 1 Ро Роо=роР (1 о! Х)+Чо Р (Хо!1) =2РЧ (Ро+Чо)=2Р (1 Р)о рот=род(го)Х) РЧР(Хе!У) (4ро — 2Р Р1) (1 — р).
Графики зависимости етнх Вероятностей ошибок от р изображены не рнс, 1.4. 3. Вероятности правильного приема сигналов в пунктах РТ(1т, РТСг в РТС, в также РТСы РТС н ПРМ находим по очевидным формулам то,=Р, р (х„1х) +ч, р (У,)У) =Р, Р-гч, Р=Р, Ио=Ро Р (Хт. Хо!Х) +Чо Р (Уто 1'о11') Ро Р'+Чоро =рво Гоо Ро Р (Хго Хы Хо)Х)+ЧоР (1 ео Уо ° УЕ)У) =Роро+Чо Р =Рв ° Здесь, нвнрнмер, Р (Хы Х 1 Х) есть уеловнвя вероятность превнльного приема переданного сигнала Х в пунктах РТС, н РТС, Аналогичный смысл имеют дру. гне вероятностн.
1.2. ОБИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рассмотрим некоторый случайный опыт или эксперимент, который можно повторить большое число раз при неизменных условиях. Предположим, что результат каждого отдельного опыта или эксперимента даетня одним скалярным чиелом х. Введем на прямой соответнтвующую точку $ — х. Будем называть $ случайной величиной. Если результат отдельного опыта дается несколькими скалярными числами х„х„... ..., хь, то можно ввести точку или вектор $ = (хы ..., хь) в й-мерном пространстве и будем называть $ соответственно А-мерной случайной величиной или )г-лгерным случайным вектором.
В дальнейшем случайные величины будут обозначаться буквами греческого алфавита $, т), ь, ..., а принимаемые ими конкретные значения — строчными латинскими буквами х, у, г, .... 7Кирный шрифт будет употребляться для многомерных, т. е. векторных случайных величин.
Отметим, что между случайной величиной и случайным событием существует тесная связь. Так, например, любому событию А можно поставить во взаимно-однозначное соответствие нлучайную величину, которая при появлении события А равна 1, а при непоявлении события равна нулю. Однако во многих случаях предпочтительнее иметь дело со случайными величинами. )для полного описания случайной величины необходимо указать возможные значения, принимаемые влучайной величиной, и вероятности этих значений. Соотношение, унтанавливающее в той или иной форме зависимость между возможными значениями случайной величины и их вероятнонтями. называетня з коном раваределения. В завияимокти от возможных значений, принимаемых нлучайной величиной, и характера закона распределения дейнтвительные случайные величины можно разделить на три группы: динкретные, непрерывные и непрерывно-дискретные (смешанные).
Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или вчетное множество возможных значений. Закон распределе- 1В ния диикретной случайной величины 5, принимаюгцей значения х„ х, ..., х„, задается указанием вероятноптей этих значений: р,=Р($=х»), 1=1, 2,...,п. (1.2.1) Такая зависимоить между вероятностями и соответствующими значениями дискретной случайной величины может быть задана в виде графика, таблицы или аналитического выражения. Очевидно, что все вероятности должны удовлетворять условиям р,.
-О, Х,",р,=[. (1 .2.2) Дискретная случайная величина с называется реигетчатой, если все возможные значения х» представляют собой арифметическую прогрессию, т. е. существуют такие числа а и й, что х; могут быть представлены в виде х, = а + (й, где» принимают любые целые значения ( — оо ( г ( оо). Полагая нулевыми вероятности некоторых значений р» — — Р ( $ = х» ) = О, рассматриваемую величину й иногда можно привести к решетчатой.
Непрерь»внан случайная величина принимает бесчисленное множество значений, причем вероятность попадания ее в любую бесконечно малую область бесконечно мала. Закон распределения непрерывной случайной величины $ задается плотностью вероятности р (х). Плотность вероятности р (х) непрерывной алучайной величины $ определяется как предел отношения вероятности попадания значений случайной величины в малый интервал [х, х + Ьх! к длине этого интервала Ьх при Ьх- О: р (х) =- Иш Р (х < $ ( х+ Ьх) 1Ьх.
(1.2.3) ь о Отсюда следует, что Р (х( $(х+ Ьх) = р(х) Ь х-1- о(х), где о(Ьх) — величина более высокого порядка малости по сравнению с Ьх. Величина р (х) Ьх называется элементом вероятности. Плотность вероятности р (х) является размерной; ее размерность обратна размерности рассматриваемой случайной величины. Плотность вероятности обладает следующими тремя свойствами: она неотрииательна и нормирована и единиие р(х)) О, ~ р(х) дх= 1; (1.2.4) вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал [а, 6) равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах ь Р (а($ч=(»)= ) р(х)с[х. (1.2.5) а Укажем, что дискретные елучайные величины, как и непрерывные, можно описывать з помощью плотности вероятноптиь и функции разпрэделения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
