В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

(Тгапз. АЗМЕ), 1960, ч. 820, р. 35 — 45. 80. Ка!шап й. Е., Визу й. 3. Нем гезп!1з !и Ппеаг Пйеппй апб ргеФсЬоп !Ьеогу. — й. Взз!е Епйг. (Тгапз. АЗМЕ), 1961, ч. 83, Я 1, р. 95 — !08. ГЛАВА 1 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕИ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕРОЯТНОСТЕИ В теории вероятностей изучаются закономерности случайных событий и устанавливаются правила, позволяющие по вероятноатям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом а первыми [1 — 51.

Для описания закономерной связи между теми или иными повторяющимися определенными условиями 5 и событием А в 'естествознании обычно используют один из двух подходов: детерминированный'или вероятностный. Детерминированный подход характеризуется тем, что при каждом осуществлении условий 3 наступает событие А. Такой характер, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определенным образом. Сущность вероятностного подхода заключается в том, что при осуществлении заданных условий 5 событие А, в зависимости от привходящих обстоятельств, могкет произойти, а может и не произойти, т.

е. является случайным. Характерной чертой случайньсх событий является то, что их закономерности проявляются лишь при многократном повторении испытаний (осуществлении условий В). Наиболее просто основные понятия теории вероятностей определяются в рамках элементарной теории вероятностей. Основным и наигюлее важным является понятие вероятности. Вероятность есть числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события А в определенных условиях 5, могущих повторяться неограниченное число раз. Приведем статистическое и классическое определения вероятности.

Пусть некоторое испытание повторяется п раз, причем в результате каждого отдельного испьпания событие А или не осуществляется совсем, или осуществляется один раз. Назовем частотой события А в данной серии из я испытаний отношение числа т тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу а произведенных испытаний: т (А) = т!и. (1.1.-1) Наличие у события А при условиях 3 определенной вероятности р (А ~ 3) = р (А) проявляется в том, что почти в каждой доататочно длинной серии испытаний частота т события А приблизительно равна р (А). Это и есть статистическое определение вероятности.

о Учитывая связь между ч (А) и р (А), следует принять, что вероятность события удовлетворяет тем же ограничениям, что и относительная частота ч (А), т. е. 0 < р (А) < 1. (1.1.2) Событие, вероятноеть которого равна единице, в теории вероятностей называется достоверным, а событие с нулевой вероятностью — невозможным. Отметим, что понятия достоверного и невозможного события в теории вероятностей несколько шире общепринятых. Событие, вероятность которого равна единице, происходит практически всегда, но в принципе при каком-либо частном испытании оно может не осуществиться. Аналогично не исключается принципиальная возможность осуществления события в нулевой вероятностью.

При всей своей практической ценности приведенное статистическое определение вероятности имеет тот недостаток, что не дает указаний к вычислению вероятности события иначе, как путем фактического проведения большого числа испытаний. Однако некоторые вероятностные ситуации бывают настолько простыми, что позволяют «угадать» значение вероятности события, например, из соображений симметрии. В связи с этим дадим классическое определение вероятности, опирающееся иа интуитивное понятие равновозможности событий. Предварительно приведем необходимые определения. События называются несовместными, если никакие из них не могут произойти при одном и том же испытании вместе; в противном случае события называются совместными.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно происходит хотя бы одно из иих. События называют равновоэможными, если есть основания счита ь, что ни одно из них ие является более возможным, чем другое, Пусть в результате каждого испытания наступает одно и только одно из событий ь»„в„..., ь»„(то или иное, в зависимости от случая). События «ь; называются элементарными событиями (элементарными исходами испытания).

Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий й, а сами элементарные события — точками пространства й. С каждым элементарным исходом ь», связывают положительное число р, — вероятность этого исхода, причем ~~=~ р, = 1. Те элементарные исходы, в которых интереаующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. Событие А отождествляют ч подмножеством (пространства й), элементами которого являются элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество й, элементы которого — исходы, благоприятствующие В, и т.

д. Само й есть доатоверное событие, наступающее при любом исходе испытания. Рассмотрим собмтие А, заключающееся в том, что «наступает или ап или ь»н ..., или ь»д». По определению вероятность р (А) события А полагают равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов; ~о р (А) = р, + р; + .„+ р„. (1А.3) Лопустим, что все исходы раеноеозможны, т. е. р, = р, = ... = р„= = 1/а (вероятность каждого возможного исхода одинакова и равна 1/а), и пусть событию А благоприятствуют т исходов. Тогда р (А) = 1/и + 1/и + ...

+ 1/и = т/а (1.1А) Эта формула выражает так называемое классическое определение вероятности, в соответствии с которым вероятность какого-либо события А равна отношению числа т исходов, благоприятствующих событию А, к полному числу и всех равновозможных исходов. Классическое определение вероятности сводит понятие «вероятности» к понятию «равновозможности», которое остается без ясного определения.

Наиболее распространенная в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 г. академиком /«. Н. Колмогоровым. Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи методами теории вероятностей прежде всего выделяется множество Й элементов о, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и поэтому рассматривается как некоторое множество элементарных событий. С некоторыми из событий А связываются определенные числа р (А), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям: 1) 0 ( ( р (А) ~ 1; 2) р (!2) = 1; 3) вероятность события А, заключающегося в том, что «наступает или А„или А„..., или А„», где А„А„..., А„— попарно несовместные события, равна р (А) = р (А,) + р (А,)+ + ...

+ р (А„). Это условие должно выполняться и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Приведем формальное определение вероятности для опытов с бесконечным числом исходов. В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть некоторой областью 6, а под событием А можно понимать исходы, входящие в область д. Пусть, например, наугад бросается «точка» М.

Какова вероятность того, что «точка» М попадает в область д, являющуюся частью области 6 (рис. ! .1)? Хотя каждое из множеств 6 и д содержит бесчисленное множество точек, естественно принять, что «вместимость» множества 6 больше и притом во столько раз, во сколько площадь Бс области 6 превышает площадь 5« области д. Приняв равиовозможность всех возможных вариантов, естественно' считать, что искомая вероятность равна р (А) = 5«/Яс. В общем случае множества 6 и д могут иметь другую размерность, но приведенная формула сохраняет свой смысл с той лишь разницей, что множества в общем случае оцениваются мерой (длиной, площадью, объемом). Таким образом, в общем случае р (А) = шее у/шез 6.

— (1.!.5) Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их сумму (объединение) и произведение (пересечение). Суммой или объединением двух событий А, и А, называют событие В, !! состоящее в появлении события А, или события А, или обоих этих событий. Аналогично суммой или объединением нескольких событий А„ А„-..., А называют событие В, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Сумму событий обозначают В = А, + ... + А или В= — А, () А, () ...

() А, где () — знак объединения событий. Произведением или пересечением двух событий А, и А, называют событие С, которое состоит в совместном появлении и А,, и А,. Произведением нескольких событий А„...., А называют событие С, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Произведение событий обозначают С = А,А, ....А или С=А, П А, ()... ... П А, где () — знак пересечения (совмещения). У С введенными операциями суммы и проу изведения событий связаны две основные теоремы теории вероятностей: сложения и умножения вероятностей, Перед тем как сформулировать их, приведем определение одного из важнейших понятий теории вероК оо еделсиир ятносте — независимос и сабы ий геометрической иероит- События могут находиться между собой в ности таких взаимоотношениях, что вероятность одного из них оказывается зависящей от того, произошли другие события или нет.

Характеристики

Список файлов книги