В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Формула (62) справедлива как для скалярных, так и для векторных случайных величин в и 1). Из (62) имеем р„(У)= ~ рь,(х, у)их= ~ рч(у($=х)ре(х) йх. (1,2.63) Эту формулу можно трактовать как формулу полной вероятности. Формула Байеса следует из (59) и (62) и имеет вид р„(у ! $ = х) = р1 (х ) Ч = у) р„(у) 1 ре (х).
(1.2.64) Р(хъ ] хз хз) — рз (хо хз,"хз)(рз (хь хз) к, Р (х, ] х.„х,) = ) рз(и, х„х,) с'и/рз (х.„х,). то На основании формулы (70) можем написать р (х„] х„„, х,): —.— р„(х„..., х„)/р„, (х„..., х„,). (1.2.71) Повторно и последовательно применяя зто равенство, получаем р„(х„..., х„) — р (хз ] х„„...; х,)... р (х, ] х,) р (х,).
(1.2.72) 41 или иначе Рзя (х у) Рз (х) Рч (у)' (1.2.66) Если существуют соответствующие плотности вероятности, то из (66) путем дифференцирования по х и у получаем рз„(х, у)=рз(х) р„(у). (1.2.67) Эта формула выражает теорему умножения плотностей вероятностей для независимых случайньи величин. Отметим, что если выполняется равенство (67) или (66), то будет справедливо соотношение (65). Позтому формулы (66) и (67) выражают необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин. Из (62) и (67) для независимых случайных величин $ и Ч получаем формулы рз (х ] у) = рз (х), рч (у ] х) = р„(у).
(1.2.68) Условная совместная функция распределения двух случайных величин $ и з], например, при условии В (а ~ $ < Ь) по аналогии с (55) определяется выражением Рг„(х, у]а<$<Ь)=Р($<х, Ч у, а<5- Ь)(Р(а<$<Ь)= (Р;„(ь,у) — Рг„(а, у)](ре(ь) — Рг (а)] ', х) ь; (Рз„(х, у) — Рз„(а,у)](рз(Ь) — Рз(а)] ', а < х<Ь, О, х <а. Соответствующая условная совместная плотность вероятности равна р» (х, у ] а < в < Ь) = ргя (х, у) (Р1(Ь) — Рз (а)] ' при а < х < Ь (1.2.69) и равна нулю при х < а или х Ь. Приведем дополнительные сведения о многомерных условных функциях распределения и условных плотностях вероятности.
Обозначим через р (х„..., хз ] хд~„..., х„) условную плотность вероятности случайных величин $м ..., вз при заданных значениях случайных величин $з+г — — хз~„..., $ = х„. Поступая так же, как и при получении формулы (59), можем написать Р(хп..., хз]хз„„..., х„)= Я' ''''' з''''' ") „(1,2,70) я -з (хз+ы .., хз) Соответствующая условная функция распределения Р (х„..., хз ] ] х„+„..., х ) получается интегрированием (70) по первым А переменным от — водо х„..., хд. Например, если Укажем два правила ипключения «лишних» аргументов из условной плотности вероятнопти.
Назовем аргументы, стоящие в условной плотности вероятности слева от вертикальной черты, «левыми», а справа— «правыми». 1. Чтобы из узловной плотнонти вероятности исключить какие-либо «левые лишние» аргументы, нужно проинтегрировать в бесконечных пределах условную плотность вероятности по этим лишним переменным. Например, Р(х, ! х4 = ! Р (х„х, ! хв) дх». 2. Для исключения «правых лишних» аргументов нужно исходную условную плотность вероятности домножить иа условную плотность вероятноети этих «лишцих» переменных при фиксированных остальных <правых» переменных и полученный результат проинтегрировать в бевконечных пределах по ипключаемым «правым» переменным.
Например, при ивключении двух «правых» аргументов х, и х, можно написать Р (хт ! х«) = ) ) Р (х» ! х» хм х«) Р (хв хв ! х«) т(хт«(хв. Эти правила следуют из «формулированного ранее правила (30) исключения «лишних» аргументов в многомерных плотностях вероятности и формул (70) и (72). На основании второго правила получаем формулу Р (хт!хв)= ») Р (х» !х»» хв) Р (х»!х») ахв» (1.2.73) которая широко используетпя в теории марковских процессов и часто называется уравнением Колмогорова — Чэпмена или уравнением Смолуховского.
Сформулированные выше правила справедливы и для дискретных случайных величин. При этом если оперировать и законами раппределения, то нужно заменить плотновти вероятности на соответствующие вероятности, а интегралы — на суммы. Например, если дискретные случайные величины $м $» и 5» принимают соответственно значения хь ул гю то аналогом формулы (73) будет соотношение й=х«! $»=зь)=~~»!Р А=х1 ! $»=ум вв=зь! ' (п»=рт !вь=зь). (1.2.74) Случайные величины $т» ..., $в назьмаются е шина независимыми, если события (й» с. хт), ..., (зп ( х„) независимы при любых х„,.„ х„. Пусть Р (х,) и Р (х) — поответнтвенно функция распределения и плотность вероятности' плучайной величины $ы т 1', и.
Для взаимно *В данной ввпнсн Р (в;) н Р (хй — в общем «аучвв прн рввнын н~ равные, в не одни в те же фуннпнн о нвмвненйымв ар»умен«»ма. Твнвн внвтвмв панн«в бу. двт прнм«ннть«н н в двньнейщем. 42 независимых случайных величин справедливы формулы Р„(х„..., х„) = Р (х,) ... Р (х,), р„(х„..., х„) = р (х,) ...
р (х ). (1.2,75) Если случайные величины $„..., $„взаимно незавиаимы, то они и попарно незавиеимы. Действительно, интегрируя равенство Р, (х, х„х,) = р (х,) р (х,) р (хъ) по х„получаем р, (х„х,) = р (х,) р (х,). Однако обратное утверждение неверно, т. е. попарно независимые случайные величины не обязательно являклая взаимно независимыми. Например, прн выполнении равенатв Ръ (хъ,хь) = Р (хъ) Р (хъ), р,(х„х,) р(х,) р(х„) й р,(х„х,) = р(х,) р(х,) возможно что Ръ (хъ, хъ, хъ) чь Р (хъ) Р (хъ) Р (хъ). Часто бывает полезнб разбйть заданные влучайные величины на независимые группы. Случайные величины $„..., $ъ не зависят. от $ъ+о ..., $„, если р„(хы ..., хд, хъ+,, ..., х„) = ръ (х„..., хъ) >С х р„„(х„+„..., х„).
Отсюда (путем интегрирования цд «лишним» пе-- ременным) следует, что любая подгруппа Ий величин 5„..., 5» не зависит от любой подгруппы из величин $д+„..., $„. Например, $» не зависит от $„. Используя приведенный результат, определим взаимную независимость комплексных случайных величин ьъ = $ъ+ /Чо ..., ь„= ь„+ 1Ч„. Комплексные случайные величины ь„..., г назывшотся взаимно независимыми, вали гРУппы ($м Йъ),..., ($„,Ч„) независимы, т. е. если длЯ совместной плотности вероятности 2п случайных величин выполняется равенство р,„(хо уо ", х, уп) = Ръ (хм уъ)" ръ (х„, у„).
(1.2.7б) Наконец, определим условную независимость случайных величин, ограничившись случаем трех величин. Говорят, что случайная величина $ъ не зависит от $ъ при условии (зъ = х,), сели выполняется равенство Р (хо хъ 1хъ) = р (х» ! Хъ) р (х ) хъ). (1 2 77) 3аметнм, что это равенство вовсе не означает, что случайные величины $, и $ъ безусловно независимы, так как несмотря на выполнение условия (77), может быть справедливым неравенство р, (х„х,) ~ 'г- Р (хъ) Р (хъ). КЗ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Хотя полное описание екалярных или векторных случайных величин даетея законами распределения вероятности (плотностямн вероятноети), функциями распределения илн характеристическими функциями, однако в ряде случаев целесообразно оперировать е другими, более проатыми характеристиками случайного процесса. Это обьясняетея неаколькими воображениями.
1. Имеютая чаето ватречающиеся влучайные величины, плотности вероятноати которых определяютая небольшим числом параметров. 43 2. Ответ на ряд практичезких задач может быть получен из рассмотрения отдельных, частных характеристик случайной величины 3. Во многих задачах нужно раесматривать преобразование слу чайной величины или процесса линейными и нелинейными инерционными сиатемами. Пусть иэ расвмотрения физической модели, формирующей случайную величину или процева, получены выражения для плотновтей вероятноетей. Тогда за исключением так называемых марковских процеееов (е. 198) и линейного преобразования гауссовских процессов (с. 482) нельзя указать метод лпересчета» непосредственно самих плотноатей вероятностей (функций раепределения, характеристических функций) при инерционных преобразованиях случайных процессов.
Эта задача, как правило, решается приближенно путем пересчета отдельных характеристик случайного процесса, позволяющих в принципе найти плотность вероятности для преобразованного процесса. 4. Предположим, что неизвестен механизм устройства, формирующего случайную величину или процесс. Тогда для выяснения характера случайной величины или процесса необходимо экспериментальным путем определять соответствующие плотности вероятности. Экспериментально сравнительно просто можно найти частные характеристики.
Экспериментальное же определение самих плотностей вероятностей в большинстве практических случаев оказывается трудоемким и дорогостоящим делом. Здесь исключение составляетодномерная (и, может быть, двумерная) плотность вероятности, для определения которой в настоящее время имеются приборы. Однако она часто недостаточна для решения практических задач. В качестве числовых характеристик случайной величины, которые являются более простыми, чем плотность вероятности, обычно указывают моменты и кумулянты (семиинварианты).
Ценным свойством их является то, что моменты и кумулянты более низкого порядка несут больше информации о случайной величине, чем моменты и кумулянты высокого порядка (е. 53). Поэтому на практике часто ограничиваются рассмотрением лишь нескольких первых моментов или кумулянтов. Приведем определения основных числовых характеристик сначала одной случайной величины, а затем обобщим эти определения на несколько случайных величин.
Математическим ожиданием чуункиии ~р ($) случайной величины $ с плотностью вероятности р (х) называетоя интеграл М ) Ч~ ($)) = ) ~р (х) р (х) йх. Здесь и в дальнейшем символ М (.) обозначает операцию математического ожидания над величиной, указанной в фигурных скобках. Сама операция математичеакого ожидания по существу еоть оереднение рассматриваемой величины з соответствующей плотностью вероятности. Плотность вероятности р (х) для дискретной случайной величины 5 дается формулой (1.2.6), для непрерывной — (1.2.3) и для смешанной— 44 (1.2.12). Полагая в (1) чт Д) = 5, получаем определение маотематического ожидания самой случайной величины $: М (Ц = ть — — ~ хр (х) ах.
(1.3.2) ) хр (х) с1х = хР (х) ~ — ) Р (х) йх = ) (1 — Р (х)) йх — ~ Р (х) йх. -ь -ь ь Отсюда следует, что математическое ожидание равно разности площадей АВС и С00. Этот результат остается в силе и при 6 = со, Укажем, что случайная величина $ может никогда не принимать значения ты а вероятности и функции распределения некоторых случайных величин определяются как математические ожидания. действительно, пусть случайная величина $ принимает лишь два значения: 1 с вероятностью р и О с вероятностью д = 1 — р. Математическое ожидание такой величины равно М (й) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
