В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Обозначим через р (А, ~ А,) условную вероятность события А, при условии, что произошло событие А,. Она определяется формулой р (А, ~ А,) = р (А,А,) I р (А,), (1.1.6) где р (А, А,) — вероятность совместного осуществления событий А, и А,. Событие А, называется независимым от А„если р (А, 1А,) = р (А,). (1.1.7) Событие А, является заеиеимосм от А „если р (А,!Аи) чь р (А,). (1.1.8) Лля независимых событий формулу (6) можно записать в виде, симметричном относительно А, и А,: р(А, А,) = р (А,) р(А,). (1.1.9) Отсюда видно, что если А„не зависит от А „то и А, не зависит от А,.
Таким образом, можно говорить просто о независимости двух событий. При определении независимости нескольких (более двух) событий различают попарную и взаимную независимость (независимость в совокупности). События А„А„..., А называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы, и взаимно независимыми или независимыми в совокупности, если вероятновть наступления любого из них не зависит от наступления какой угодно комбинации остальных. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий, равна произведению вероятности одного из них на услов- 12 Аналогично р(А +Аз+...+А )= ~~', р(А,) — '~ р(А;Аз)+ ! ! !)! + Х р(А! АхАь) — ~ р (А! А~ А„А,)+ ...
й)(>! ю>з>!>! (1.1.17), Если аобытия Л„Аз, ..., А таковы, что каждые два из них неаовмеатны, то формула (17) примет вид Р(Аг+Аз+...+А )= ~ч~ Р(А!), (1.1.18) (=! т. е. вероятность суммы несовместных событий равна аумме вероятно- атей этих событий. Укажем два очевидных следствия теоремы сложения вероятностей. !3 ную вероятность другого при условии, что произошло первое! р (А,А,) = р (А,) р (А, ( А,) = р (А,)р (А, ( Аз). (1.1.10) Вероятность произведения двух незавиаимых событий равна произведению вероятностей этих событий! р (А,А,) = р (А!) р (А,).
(1.1.1 1) Вероятность произведения нескольких событий А„А„...., А равна вереятности события А„умноженной на вероятность события А„ взятую при условии, что наступило А„..., умноженной на вероятность события А, при условии, что наступили А„А„..., А р (А, А, ... А,„) = р (Аг) р (А, ) А,) р (А, ~А!А,)...р (А,„~ А!А, ... ...А,). (1.1.12) Для взаимно независимых событий теорема умножения вероятностей принимает вид р (Л, А, ... А,„) = р (А,) р (А,)... р (А,„), (1.1.13) т.
е. вероятность произведения нескольких взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (13) остается справедливой, если в обеих ее частях некоторые из событий заменить на противоположные. Например, р (Л! Аз ...
А„) = р (А!) р (А!)... р (А ), (1.1.14) где Л, — событие, противоположное А, (см. ниже). Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их произведения: р (А, + А,) = р (А,) + р (А,) — р (А,А,). (1.1.15) Для трех событий эта теорема принимает следующий вид: р (А! + А~ + Аз) = р (А!) + р (Аз) + р (Аз) — р (А!Аз)— — р (А,А,) — р (А,Аз) + р (АдА,Аз).
(1.1.18) 1. Сумма вероятностей неаовместных событий А„, А„..., А, со- ставляющих полную группу, равна единице: р (А, + А, + ... + А ) = р (А,) + р (А,) + .... + р (А ) = 1. 2. Сумма вероятноатей противоположных событий равна единице: р(А+ А) = р(А)+ р(А) 1, (1.1.19) где А — событие, противоположное А. По определению противопо- ложными называют два единственно возможных неаовместных собы- тия, образующих полную группу.
Укажем, что формулу сложения вероятностей (17) можно записать иначе, учтя, что вероятность наетупления по крайней мере одного из т событий А„А„...., А равна единипе минуе вероятность того, что не произойдет ни одного из этих событий, т. е, р (А,+Аз+ ....+ А ) = 1 — р (А, А, ... А ). (1.1.20) Если события А„А„..., А независимы, то р (Аг Ам..
А ) = р (Аь) р (Аз)... р (А ) = П [1 — р (А~)[ ~=1 р(Ах+А,+...+А )=1 — П [1 — р(А;)1. ~=1 Приведенные формулы позволяют выполнять простейшие расчеты надежности изделий или систем. Надежность системы — свойство системы сохранять значения установленных параметров функционирования в определенных пределах, соответствующих заданным режимам и условиям использования, технического обслуживания, хранения и транспортировки. Основное понятие, иапользуемое в теории надежности, — понятие отказа, т. е. утраты работоспособности, наступаюшей либо внезапно, либо постепенно. Работоспособность — такое состояние изделия, при котором оно соответствует всем требованиям, предьявляемым к его основным параметрам.
Количезтвенно надежность изделий или систем, которые могут находиться в двух возможных состояниях: работоспособном и отказном, характеризуется рядом показателей и среди них — вероятность р(1) безотказной работы за время й При объединении нескольких элементов в систему различают их основное (последовательное), резервное (параллельное) и смешанное соединения (рис.
1.2). Соединение нескольких элементов называется основным или последовательным, если отказ системы происходит при отказе любого ее элемента. Соединение двух и более элементов в систему называют резервным или параллельным, если отказ системы проиаходит только при отказе всех ее элементов. Смешанное соединение элементов —, различные комбинации последовательного и параллельного соединения элементов. Вычислим вероятность р, (1) безотказной работы системы в течение, времени 1 при основном аоединении нескольких элементов, имеющих 14 заданные вероятности р, (1), ря (1), ...., Р„(1) безотказной работы завремя Д При этом полагаем отказы отдельных элементов независимыми.
Тогда события, состоящие в их безотказной работе, тоже независимы. Согласно определению надежная работа системы представляет собой произведение событий, состоящих в безотказной работе каждого элемента. Поэтому вероятность безотказной работы рассматриваемой системы (рис. 1.2, а) равна Ро (1) = П Р ! (1) (1.1.22) Отсюда видно, что вероятность безотказной работы системы при основном (последовательном) коединении элементов всегда меньше, чем вероятность безотказной работы самого ненадежного элемента, и она Рт Рк Ря уменьшается и увеличением числа !!2Л Сь )-«-~3Д- последовательно соединенных эле- др ментов. Определим теперь вероятность РФ рр(1) надежной работы системы при резервном соединении и элементов. Пусть А! — событие, состоящее 4 " ' )зя(~ ' ' в отказе !'-го элемента в течение времени й вероятность такого события Р,(т) Р'(э! Р (р) Р(А;) = 1 — Р! (1).
По определе- г т „„Д;) нию отказ системы (событие А) про- Р,'Ф исходит только при отказе всех эле- 2' ментов, т. е. А = А,А,...А„. Если отказы отдельных элементов нева- Рнс 1.2. Основное (а), резервное я (б) и смешанное (в) соединения висимы, то Р (А) = П(1 — р! (1)1. элементов г 1 Безотказная работа системы есть событие, противоположное отказу. Поэтому (!.1.23) Из этой формулы следует, что при увеличении числа параллельно соединенных элементов вероятность безотказной работы системы возрастает, причем она превышает вероятность безотказной работы любого элемента, в том числе и самого надежного. Воспользовавшись формулами (22) и (23), можно рассчитать надежность смешанных систем, представляющих собой различные комбинации последовательного и параллельного соединений элементов, отказы которых независимы.
Методика расчета надежности систем в случае зависимых отказов отдельных элементов изложена на и. 329, <Пример 1.1.1. В системе иа и последовательно соединенных элементов имеется нояможность дублировать (ренервиронять) только один ня иил элементом той же надежности; Какой ия элементов целесообразно ряяернироиять и насколь- 15 ко прн этом повысится надежность, если отказы отдельных элементов происходят независимо. Надежность исходной системы (бев резервирования) определяется формулой (22). б!боаиэчим условно элемент, который дублируется, номером 2 (см.
рис, 1:2, э! принято р,' (!) = р" ,(!) = р (!)). Надежность двух параллельно соединеннык элементов по формуле (23) равна ! — 1! — рэ (!)!э = (2— — р (!))рэ (!), а вероятность беэоткаэной работы всей системы находим по !Рормуле (22): Следовательно, р (!) — р, (!)=(! — р, (!)1 П р!(!). ! ! Видно, что превышение рс (!) над рэ (!) будет наибольшим, если рэ (!) придать наименьшее ив веек возможных эначений. Таким обраэом, для получения наибольшей надежности сиатемы следует дублировать самый ненадежный элемент. К чиалу основных формул элементарной теории вероятностей относится формула полной вероятности, а также формула Байеса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
