В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(1.2.33) В чаетном случае, когда и = 2 и область Я еоть прямоугольник со сторонами, параллельными оеям координат, и е вершинами в точках (о«, Ь»), (а„Ь,), (а,, Ь,), (а„Ь»), а,( а„Ь,( Ь„искомая вероятность находитея по формуле «1 м Р(а» ~(й»(а», Ь,~(5»(Ь») = ~ ~ р»(хь х») Нх, йх,= и 6, = Р, (а„Ь») — Р,(а„Ь„) — Р,(а„Ь,)+ Р, (а„Ь,). (1.2.34) Укажем, что еовокупность комплексных случайных величин ь, = = ь» + )йм ..., ь„= $„+ 1»)„вчитается вероятностно определенной, сели известна совмеетная функция распределения или совместная плотность вероятноети 2н действительных случайных величин $„ ь йм -.й. Хароктериетичевкая функция случайного вектора и = Д„ ..., $„) по аналогии е (15) определяетея формулой Ф„()й)=Ф„(1йь..., 16„) = М (ехр1(6,$,.+...+6„$„)) = 2' 35 3) условию винметрии — функпии р (хм ..., х ) должны быть еимметричны отноеительно любых перестановок аргументов х„так как вероятноеть еовмеетного оеущеетвления я неравенетв х, ( $, ( х, + + бхп 1 1, и, не завиеит от того, в каком порядке перечиелять эти неравенетва; 4) условию воелаеованновти~ при любом т ( н р (хм...,х„) ( ...
( р„(х„...,х„„х„+м...,х„)х ~ «(хгв+м . ах». (1.2.30) Поеледнее соотношение показывает, что из и-мерной плотности вероятноети всегда можно получить любую плотность вероятноетн меньшей мерноети путем интегрирования первой по «лишним» аргументам. Из перечисленных свойств плотноетей вероятностей непосредственно следуют указанные выше евойотва функций распределения, если воспользоватьоя соотношением е'( '"+"'+ ") р„(х„...,к„)ах,...
йх„, (1.2.35) где 6„..., 0„— вещественные переменные. Укажем некоторые свойства характеристической функции случай- ного вектора (6, 71. Характеристическая функция Ф (10) сим- метрична и непрерывка, )Ф, (10) ~ ( 1, Ф„(0) — 1, Ф„()дм ".; 10 )=Ф, ()бм -, 16« 0...,0), п»(п. (1.2.36) Последнее соотношение показывает, что из характеристической функ- ции Ф„всегда можно получить характеристическую функцию Ф меньшей мерности (т ~ п), положив равными нулю «лишние» аргу- менты бь В этом заключается одно из преимуществ оперирования с ха- рактеристическими функциями. Если $м..., $„— независимые слу- чайные величины, то их совместная характеристическая функция, как следует из (35), равна произведению характеристических функций отдельных величин: Ф~(10м - 10~)= П Фт»,()ба). (1.2.37) » ! Наоборот, если совместная характеристическая функция величин $ь ..., $„выражается формулой (37), то случайные величины $„..., $„ независимы.
Зто утверждение следует из формулы, выражающей плотность вероятности через характеристическую функцию: д" 1 р„(х„..., х„) = Р„(х„..., х„) = — х дх»... дх„( у| х ) ... ) е '( ''+" +» "»1 Ф„(10м...,10„)йд,... йб„. (1,238) Здесь интеграл (если он сходится не абсолютно) понимается в смысле главного значения Коши. При решении многих задач приходится оперировать с условными функциями распределения и условными плотностями вероятности.
При их определении отправной является формула (1.1.6). Условной функиивй распределения Р» (х ~ В) = Р (х ! В) случай- ной величины 5 относительно события В называется условная вероят- ность выполнения неравенства я «х при условии осуществления события В: Р (х ! В) = Р ($ ( х 1 В) = Р(а ( х, В)!р (В), (1.2.39) где ($ ( х, В) — по существу произведение двух событий ($ ( х) и В. Условная функция распределения удовлетворяет всем перечислен- ным ранее условиям, которым удовлетворяет безусловная функция рас- пределения: Р ( — оо ~ В) = О, Р (оо ~ В) = 1, Р (х'($(х" !В) = Р(х" ! В) — Р(х' (В)=- =Р (х' < $ < х", В)/р (В).
(1.2.40) 36 Если $ — непрерывная елучайная величина, то условная плотноать вероятности определяетая формулой ) В) лр (х) и) 1. Р(х($ с х+Лх) В) (1 2 41) ах а о ах Она удовлетворяет всем условиям, налагаемым на плотность вероят- ности, в частности, Р(х)В)~О, ~ Р(х)В) ( =Р( )и) Р( — .)В)=1. (1.2.42) Если событие (условие) В выражено через исходную алучайную величину $, то Р (х ) В) и р (х ) В) могут' быть выражены соответатвеи- но через Р (х) и р(х). Рассмотрим здесь два случая, которые потре- буются в последующем. Пусть В = (з < а), где а — постоянная, причем р (В) = Р Д < ( а) = Р (а) чь О.
По определению имеем Р(х) $ (а) =Р )з(х)$(а) = ( ' а), (1.2.43) Р($ (а) Предположим, что х ~ а. Тогда (5 < х, $ < а) = ($ < а) и Р (х )я( (а) = Рай<а)!Р(я<а) = 1,х . =а. Если х < а, то (з < х, $ ( а) = (3 < х) и, следовательно, Р(х)3(а)= = (х), х(а. Р($ (а) Р(а) р (х) р (х) х(а, Р(а) а р(х) ах О, р(х) $(а) = (1.2.44) х ) а Предположим, что В = (а < $( Ь), где Ь и а( Ь вЂ” две постоянные, причем р (В) = Р (Ь) — Р (а) чь О.
Согласно определению (39) можем написать Р(х) а ($(Ь) = ( х-' ~ ), (1,2лб) Р (а ($ (Ь) Пусть х ) Ь. Тогда ($ < х, а < $ < Ь) = (а < $ < Ь) и Р(х)а<5(Ь)=- ( ) =1, х>Ь. Р(а<$ < Ь) Еслиа<х<Ь,то(з(х,а<в<Ь) = (а(з<х)и Р ) (Ь(Ь) — ( ) — (1 (1 < (Ь Р(а(а(Ь) Р(Ь)-Р(а) 37 Условная функция распределения изображена на рие.
1.5, а. Соответствующую условную плотность вероятноати р (х ) я ( а) находим путем дифференцирования Р (х ) $ ( а)~ О, х в Ь, а(х(Ь, Р (о) — Р (а) О, х<а. (1.2,48) р (х! а ( Б ( Ь) = 0 а а/ л а а с ау л Рис. 1Л. Вил условной фунипии распрелслснни (а) и условной плотности вероятности (б) Допуатим, что А — произвольное событие,для которого р (А) ~ О, и В = (х' ($(х"), х' <х". Так как р(В) = Р (х) — Г(х'), то соглаоно (39) имеем р(А~х <ц<х") — р(А "' <Ь ~в"), Р (х"1 — Р (х') Отсюда и из (40) следует, что А(х <$(х") 1Р(х" 1А)-Р(х'1А)1р(А) (1.2.4?) Р (х") — Р (х'1 Отметим, что вероятность р (А ! В) оказывается неопределенной, если р (В) = О.
Однако если событие В выражаетоя через случайную величину $, то часто р (А 1 В) можно определить в виде подходящего предела. Рассмотрим важный частный случай, когда В = Я = х). Предположим, что р (х) чь 0 для данного х. Определим р (А 1 $ = х) как предел р (А ! $ = и) = Игл р(А ! х < $ ( х+ Лх). (1.248) в в Воспользовавшись этим определением и 'положив в (48) х' = х, х" = х+ /тх, получим р (А ! 5 =.х) = р (х ! А) р (А) l р (х). (1.2.49) Таким образом удается определить условную вероятность р (А ~ $ = х), хотя вероятность Р ($ = х) = О.
Из (49) имеем ~ р(А!$=х) р(х)г(х= ~ р(х~ А) р(А)г/и= р(А), Наконец, при х ( а имеем Р (в < х, а < $ < Ь) = 0 и Р (х ~ а < ( $ ( Ь)=0, х ( а. Соответствующая условная плотность вероятно- ети равна (см. рио. 1.5,б) (1.2.51) где поеледнее равенство напиааио на основании свойатва (42). Итак, р(А)= ~ р(А!Ц х)р(х)г(х. (1.2.50) Эту формулу можно расаматриватв как обобщение формулы полной вероятности (1.1.24) на непрерывную алучайную величину. Из (49) и (50) получаем формулу Байеаа для етого случая р(х! ) = р (А ! $ = х) р (х) р(А 1~=х)р(х) дх Приведем некоторые формулы о условными функциями распределения и плотностями вероятности для двух алучайных величин $ и й.
Применим формулу (39) Рч (у ! В) = Р (1) ( у ! В) = Р ( н ( у, В) (р (В) (1.2.52) к случаю, когда событие В = ($ (х). Полагая, что р (В) = = Р ($ ( х) = Ра (х) Ф О, имеем Рч (У ' в ( х) — У) — ~", (1.2.53) Р(й сх) Р~(х) где Р~ч (х, у) — совмеатная функция раапределения случайных величин $ й й. Отсюда получаем выражение для уаловной плотности вероят- ности ~ (1.2.54) (1.2.56) 39 рт„(и, о) сь дР „(х, у) р. (УЛ(х)-— Р„(х) ду р~„(и, о) Ншй где ра„(х, у) — еовмеатная плотноеть вероятноати случайных величин $ ий. Для случая В = (х' ( $( х"), Р. (х") — Р. (х') чвО получим р(~ ~ Р(х' <1сх", Чсу) Р (х' <4 с х") тя (х ° у) хч (" (1.2.55) Ра (х") — Ра (х') ) р~„(х, у) дх Рч(у(х (е(х)=Р (х) Р ( 1' ~ х — е х' Рассмотрим чаатный случай В = (а = х), полагая р~ (х) ~ О.
Как и в (48), определим условную функцию распределения Р„(у ! $ = = х) выражением Рч (У! в =-х) = 1(гп Рч (у ! х ( $ (х+ Лх). (1,257) ь а В соответатвии о (55) можем написать Ру„(х+ах, у) — Р,ч (х, у) Р„(у ( $ = х) = 1пп ьх-~О рь (х+лх) — р1 (х) дрЕ„(х, у)Их ( х ) др,„(х, у) Но " ', Руч (х, и) йп. дх Поэтому р~, (х, Рч(у!В=х)= "р () Отсюда дифференцированием по у получаем ятности и) ир (1.2.58) условную плотность веро- (1.2 69) Две случайные величины $ и 11 назывсаотся независимыми, если события Д < х) и (Ч < у) независимы при любых х и у, т.
е. Р($<х, 1)<у) = Р Д<х)Р(т) <у) (1.2.65) рч (у ( $ *-' х) — еч ' — е" ' (1.2,59) р (х) р~, (х, у) ну Поменяв местами $ и 1)., можем напивать к РЕ(х(ч=у)= ~ р1ч(и, у)йи1р„(у), ре (х ) Ч = у) = ре„(х, у) 1р„(у). (1.2.61) Отсюда и из (59) почучаем формулу Реп (х, У) = РЕ (х) Р„(У ~ $ = х) = Рч (У) Р„(х ( х) = У). (1.2.62) Эта формула выражает содержание теоремы умножения плотностей вероятностеи: совместная плотность вероятности двух случайных величин равна плотности вероятности одной из них, умноженной на условную плотность вероятности другой относительно первой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
