В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Беря аатем почленно математическое ожидание, получим реаультат (62). Подставив найденные пять параметров (60)— (62) в формулу (21), получим интересующую нас условную плотность вероятноств р (х, хь) хг), (1.4.61) В заключение приведем общее выражение й-мерной условной нормальной плотности вероятности !971 рь (х„х„..., хь )х„+м..., х,) = р„(Х, ) Х,) = 1 Х (2 )х/г)и 11/г Х ехР 1 — (Х,— пгх, 1 х,)' Их,')х, (Хг — п1х, ~ х„)/21, (1.4.63) где И вЂ” корреляционная матрица вектора-столбца Х = [Х„Х,1', 21 Йх, 1х, =Йы — ((т»ИЫ Вм (»тт гпх» 1 х„гпг+Й12Й (Хг гпь)» Вы, Иа — корреляционные матрицы векторов Х, и Х, соответственно, В»в, Пят — матрицы взаимной корреляпии между векторами Хт и Х,; гп, = М (Хт) и гпа = М (Х,) — вектор-столбцы математических ожиданий векторов Х, и Х, соответственно. 1.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПИРСОНА В принципе любую неотрицательную функцию / (х) ) О, удовлет- »О воряющую уаловию нормировки 1 /' (х) г(х = 1, можно рассматривать как плотность вероятности р (х) некоторой случайной величины (с.
20). Несколько конкретных примеров плотностей вероятностей р(х) были приведены в табл, 1.1. Весьма разнообразный характер плотностей вероятностей р (х) дает сиспгсла кривых Пиреона, задаваемая дифференциальным уравнением Нб) 28 — р (х), Ор (х) х — а Ох Ь„+Ьл к+ЬО х' где а и Ь1 — постоянные параметры распределения. В зависимости от значений отдельных параметров в качестве реше- ния уравнения (1) получаютая 12 типов кривых. Эти кривые часто ис- пользуются для аппроксимации статистических распределений(а. 433), Нормальное распределение, гамма-, бэта- и ХО- распределения, рас- пределение Стьюдента и другие удовлетворяют уравнению (1) и, сле- довательно, являются частными влучаями семейства кривых Пирсо- на (см.
ниже). Используя общие свойства плотностей вероятностей, установим пра- вила определения постоянных величин, входящих в уравнение (1). Для унимодальных распределений модой является точка х = а, так как 2(рЫх = О при х = а. Запишем уравнение (1) в следующем виде:. х" (Ь,+Ь,х+Ь,х') ~ =х" (х — а)р(х). (15.2) ах и (х" (Ь,+Ь,х+Ьлх ) р(х))~1,' — ) (пЬОх"-1+(и+1) Ь,х"+ + (а+ 2) Ь, х" + '1 р (х) 2(х = ) х" + ' р (х) 2(х — а ) х" р (х) 2(х. о Предположим, что выражение в фигурных скобках слева обращается в нуль на концах распределения или же Вш х"+' р (х) -~ О, если раск->~ее пределение имеет бесконечный размах.
Тогда, используя определение начальных моментов (1.3.1!), получим — ат„+ пЬОш„, + (и + !) Ь,т„+ (и + 2) ЬО и„+, —— = — ив+и (1,5.3) где и — начальный момент и-го порядка. Уравнение (3) позволяет получить рекуррентное соотношение для определения старших моментов по младшим, а также выразить постоянные параметры а и Ь1 через моменты распределения. Последовательно полагая в (3) п = 0,1,2,3 и учитывая, что и, = = О, имеем — аШО + Ь1 ШО+ 2 Ь2 Ш1 —— Ш1, — аш,+ Ь, т,+ 2Ь,т;1- ЗЬ,Ш,= — и, — ат2+ 2Ь, и,+3Ь,ша+ 4Ь„т,= — ш, — атл+ 3ЬО т2+ 451 та+ 5ЬО т = — тл, (1.5.4) 79 Пусть допустимые значения случайной величины $ с плотностью веро- ятности р (х) заключены в интервале (1„12). Проинтегрируем левую часть равенства (2) по частям. Считая, что интегралы существуют, получим — а+Ьа=О, Ьо+ ЗЬа )аа = )аэ — ард+ Зьа )аа+ 4Ьа рв = — 'рв — а)ав+ ЗЬо рва+ 4Ьа )ах+ 5Ь» ро= ро (1.5.5) где )а„— центральные моменты распределения (1.3.12).
Решив зту систему отноаительно интересующих нас параметров распределении, получим а =Ьм Ь,=с»Ы, Ьа=саЫ, Ь,=с»Ы, (1.5.6) где со = — Ра (4)аа Р— 3)а1), са = — )ав ()ао+ 3)а)), (1.5.7) со= — 2)аа)хо+6)а1а+3)ав а(= 10)аа)ао — 18)аа 12ра 1 Из (4) и (6) видно, что в общем случае распределения Пирсона определяются четырьмя моментами лаа, )а„рв и р,. Учитывая равенство а = Ь„полученное из условия пав = О, соотношение (3) можно записать в виде пЬо)а» а + пью„= — )а„+а Ип + 2) Ьа + !1.
(1,5,8) Отсюда получаем рекуррентное соотношение для определения старших центральных моментов через два предыдущих младших: Ьо р» — а+ а р» (1.5.9) (»+2) ь,+! или о учетом (6) оа )໠— а +со р» (»+2) со+С В дальнейшем будем рассматривать только случай центрированных распределений (лаа = 0), т. е.
а = Ь,. Запишем исходное дифференциальное уравнение (1): — 1п р(х) = ох = ь,+ь,х+ь,ха Решение этого уравнения можно представить в виде р(х) = с ехр [<р(х)), <р(х) — 1 ', г(х. (1.5. 12) ,) Ьо+Ьа х+ Ьа х Известно, что характер кривой ф (х) может быть различным в завиаимоати от' корней уравнения Ьо + Ь,х + Ьахз = О. (1.5.13) Обозначим корни этого уравнения через ха н хв) (1.5.10) хо, = — — ' 1 )- ! — — "' — — ' 1 )-. 1 —— /г = Ь!((4Ьоьа). (1.5.14) Из условия нормировки плотности вероятности (1.2.4) следует, что то = 1, Лопустим, что распределение является центрированным, т.
е. та = О. Тогда система уравнений (4) примет вид Для определенности будем вчитать', что здеаь знаки выбиракпая так, что х,<х. Из (14) еледует, что значения корней зависят от величины я. Если й ( О, то корни вещественны и имеют разные знаки (тип 1 распределения по классификации Пирсона). Если м ) 1, то корни веществен- ,о уа Ю 7 2 о Ф,о Рис. Н14. Диаграмма различных рас- иредслсний ссмейстна Пирсона ны и имеют одинаковые знаки !тип Ч! распределения), При 0 < А ( 1 корни комплексные (тип 1Ч распределения). По существу этим охватываются все возможные случаи. Однако граничные и некоторые частные случаи типов 1, 1У и Ч1 распределений выделяют особо, так что в итоге различают 12 типов распределений Пирсона. От характера корней х, и х, зависит также интервал оси х, на нотором задано соответствующее распределение р(х); вне этого интервала распределение принимается равным нулю.
Если корни действи* тельны и различны по знаку, то распределение считается заданным при х, ( х ( х,. Если же корни действительны и одинаковы по знаку, то распределение считается заданным на бесконечном полуинтервале, причем х,(х< оо, если х,(х,<0, и — о (х(х„если 0< < х,< х . Напомним, что мы считаем распределения центрирован. ными. Поэтому указанный выбор интервалов необходим для того, чтобы математичеакое ожидание тт = 0 принадлежало интервалу задания распределения. Для комплексных корней распределение р(х) за- дано на всей оси х. При этом удается обеспечить выполнение свойств неотрицательности и нормировки р (х).
Для классификации кривых распределения Пирсон предложил пользоваться диаграммой в плоскости переменных 5, и ()з (рис.1.14). Величины р, и 5, определяются равенствами рх~РзРГ ==71 р2=-Р4(ху =уа+3 (1.5.15) где у, и Тз — коэффициенты асимметрии и эксцесса. Каждой паре значений (5м ~,) соответствует определенная форма кривой Пирсона. Действительно, распределения Пирсона полностью определяются четырьмя моментами т» рм р, и рм Но моменты т, и (х, определяют лишь положение и рассеяние распределения. Их можно менять простым переносом начала отсчета и изменением масштаба по оси х, не меняющими форму "распределения.
Знак коэффициента асимметрии тоже не важен для формы в том смысле, что два распределения, отличающиеся только знаком рм представляют собой зеркальные отображения относительно вертикальной прямой, проходящей через точку х = т,. Таким образом, разным формам кривых Пирсона соответствуют разные значения ф„(1,), т. е. разные точки на диаграмме рис. 1.14, На диаграмме выделена критическая область. Не существует распределений (в том числе и распределений Пирсона), для которых значения параметров 6, и ~м если они конечны (т.
е. существуют моменты р, и р,), соответствовали бы точкам критической области. В справедливости этого общего утверждения можно убедиться следующим путем. Для коэффициента асимметрии произвольной случайной величины $ справедлива запись где $ = $ — т, — центрированная случайная величина. Согласно известному неравенству Коши †Буняковско можем на.писать = ~' — 1=5,— 1.
э( 'Следовательно, для любого распределения должно выполняться неравенство из -- н1 + 1. (1.5.16) Это неравенство определяет на диаграмме рис. 1.14 критическую область. Можно показать, что границе области, т. е, знаку равенства в (16), соответствует распределение вида р (х) = р„б (х — х,) + (1 — р,) б (х — хз), где О ( рс ( 1, 5 (х) — дельта-функция.
32 Запишем выражения для параметров распределения через и (3хд и = Ьд = сд/д(', Ь, = еьЯд, Ь, = схЯ', (1.5.17) где сь = — )д (4(3 — З~~), сд = Т-)Гр. )/(3 (~~+ 3), с,' = — (2(34 — ЗДд — 6), д' = !О (3, — 12 ~д — 18. (1.5.18) Знак для ед отрицателен при ра) 0 и положителен при р,(0. С учетом (17) и (18) величину й, определяющую характер корней х, и х„можно также выразить через рд и (3,: 4ьо ьд 4 (2))д — зрд — б) (45д — зйд) Отсюда следует, что знак й определяется первым сомножителем знаменателя, так как второй сомножитель вне критической области (16) всегда положителен, как и числитель. Таким образом, прямая 2 ()х — 3 (3д — 6 = 0 является границей: выше этой прямой, где А ( О, находится область 1 типа распределения Пирсона; непосредственно ниже прямой, где А ) 1, лежит область У1 типа распределения Пирсона.
Граница между типами Ч1 и 1дд определяется уравнением й = 1. Соответствующая кривая нанесена на рис, 1.14. Рассмотрим теперь подробнее различные типы распределений Пирсона. 7 тип распределения (бета-распределение). В данном случае корни х, н х, действительны и различны по знаку, й ( О. Запишем подынтегральное выражение в (12) в виде х — Ь, х — Ь, е Ь Ьо +Ьд х +Ь,хд Ьд (х — х,) (х — х,) х — хд х — х, где 8= ь,—, „х,— ь, ( ) 1.5.21 Ь, (х,— хд Ьд (х,— хд) Интегрируя (20) и подставив результат в (12), получим р (х) = с ~ х — х, !е ! х — х, ! ".
Учитывая, что прн разных знаках корней х изменяется в интервале х, < х ( х„и определяя постоянную е из условия нормировки, най- дем р (х)— (х х,) е (х,— х)", в (к+1, ь+О (х,— хд)х+"+д х,<х<х„ (1 5.22) где В (х, д) — бэта-функция 1901. Распределение (22) существует при и) — 1, й) — 1. Это распределение называют также бэта-распределением. Заменив г = (х — хд)/(х, — х,), можно перейти к более привычной форме бэта-распределения (49). Различные формы кривых, относящихся к ! типу распределения, представлены на рис. 1.15. При д) О, Ь) О распределение унимодально (рис. 1.15, а), при — 1(а< О, — 1(Ь( Π— выпукло вниз (имеет ()-образную форму — рис. 1.15, б), при д и Ь разных знаков — 3-образно (рис.
1.15, в). Л тип. Этот тип распределения является частным случаем типа 1 при д = (т„т. е. х, = ха. Кривые этого типа симметричны рга) г,б г,а г,п Ьб г,а 02 Па ПУ 00 Л о 02 ЮФ ОЮ ПВ З а> б~ рст г, г,о га аг РС Дар,аа 6 р,г рддюр,ва а) Рис. К!б. Кривые бэта-распределения с различными зна- чениями параметров (рис. 1.15, г). На диаграмме рис. 1.14 типу 11 соответствуют точки отрезка!( ра( 3 при р, = О. П1 тип (гамма-распределение). Этот тип распределения получается при А = оо.
Согласно (19) ему соответствуют точки границы 2рз— — 3 р, — б = О между типами 1 и Ч1. Как следует из (17) и (18), для данного распределения выполняются равенства Ь, = О, Ь, = — (с„а = Ь, = — ра~ря. (1.5.23) Равенство Ь, = О иногда используют в качестве определения 111 типа распределения. Из (14) следует, что при этом один из корней стремится к ~ со, а второй равен — Ьо/Ь,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
