В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Нх„с1д,... Йд = Р (х1 < $ (11) < х1+ аахм ..., х„< $ (1„) < х„+ с1х„, д < < т1(1;) < д,+Йдп ..д < Ч(1') < д„+с(д„), (2.1.9) где п, и — целые неотрицательные числа. Два случайных процесса 3 (1) и 11 (1) называются независимыми, если совокупность значений первого процесаа $ (Г,), ..., 5 (1„) не зависит от совокупности значений второго процеаса Ч ((1), ..., Ч (1' ) при любых г» ..., 1„, ((, ..., (' .
Необходимое и достаточное условие независимости процессов состоит в том, что совместная плотность вероятности (9) распадается на произведение плотноатей вероятностей каждого из процессов: 4Ф 99 р„+ (х„..., х„, у„...,у; /„..., /„, /;, ...,/;„)= =р„(х„..., х„; /и ...; /„) р (ум ..., у,„; /;, ..., /'). (2.1.10) Определения функций распределения и плотностей вероятностей распроетраняютая и на случайные поля. Пусть, например, имеется ансамбль реализаций скалярного поля $ (х, у), полученный для момента времени / = /, (рис.
2.3). Так как в фиксированнои точке пространства с координатами х„у, значение функции в для разных реализаций есть случайная величина, то можно ввести одномерную функцию распределения случайного поля Р ($,; х„у,) = Р ($ (х„у,) ( й,). (2.1.1 1) Если необходимо знать поведение и взаимосвязь поля в двух точках пространства (х„ у,) и (х„ у,), то вводится двумерная функция распределения, представляющая собой вероятность совместного выполнения двух неравенств лг Рз ($з, сь" хо Уб ха, Уз) = = Р (й(х, у ) ( й.. и ( ., а) < с.) (2.1.12) Аналогично определяются 3, 4, ..., п-мерная функция распределения: Р„($о ..., $„; х„у„...; х„, у„) = = Р ($(х„у,)( $„..., $ (х„, Рис.
2.3. Ансамбль реализаций ска- лярного ноля у„) к., с„). (2.1.13) Видно, что функции распределения случайных скалярных полей определяются так же, как и соответствующие функции случайных процессов. Отличие состоит лишь в том, что задание величин Е„..., $„ производится иа плоскости, а не на прямой. В случае трехмерного поля $ (х, у, г) величины $„..., $„задакггся в трехмерном объеме.
Если в формулах (11) — (13) функции Р имеют частные производные по $, то можно определить соответствующие плотности вероятности: р (зз) = дР ($,; х„у,) / д$„ (2.1.14) р, Я„ $з) = д'Р, ($„ $з; х„ у,; х„ уз)/д$,д$„ (2.1.15) р„($о..., $„) = д"Р„($о..., $„; х,; у,;...; х„, у„)/д$м ... д$„, (2.1.1б) 100 Конечно, плотности веРоЯтности Р„зависЯт и от кооРдинат (хм У,;...1 х„, у»). Однако для сокращения записи они опущены.
Плотности вероятности случайных полей удовлетворяют четырем указанным выше условиям. Для случайных процессов и полей можно ввести условные плотноати вероятности. Так, например, случайное значение процесса $ (г,) при известном значении его в другой момент времени $ (!«) = х» описывается условной плотностью вероятности Р (х ! ! [ х»! 6 ) = Р» (хм х»! (и 1»)/Р» (х»! 1») (2Л.17) где Р» (х» «м= ) Р» (хм х»! (ь 1») пхм (2.1.18) Условная плотность вероятности Р (х,; (, [ х,; (») содержит больше (по крайней мере не меньше) сведений о $ (1,), чем безусловная плотность вероятности р, (хЗ, (,).
Насколько именно увеличилась информация о В (г,) в результате того, что стало известным значение ~ (!»)= х„ зависит от конкретных условий. В некоторых случаях информация о с (1,) вообще не прибавляется, каким бы не оказалось значение х» Это значит, что р (х,; (, [ х,; г») = Р (х,; !»), (2.1Л9) при этом Р, (х„х,; („(») = р (х,; (,) Р (х»! 1»). (2.1.20) Эта формула выражает необходимое и достаточное условие независимости значений случайного процесса «(!) в два момента времени г, и г«. Зля физически реальных процессов, наблюдаемых в системах с конечной «памятью», равенства (19) и (20) выполняются в пределе при ! !» — (, [ -«- оо почти всегда.
В другом противоположном крайнем случае, когда разность (!»вЂ” — 1,) — О, физически очевидно, что для непрерывнозначных пооцессов !!ш р (х,; (, [х,; !») = 6 (х, — х,) и, аледовательно, о р, (х„х,; !о («) = р, (х«, !«) б (х, — х»), (2.1.21) где б (х) — дельта-функция (1-1). Между этими двумя крайними алучаями возможно большое число промежуточных случаев. формулы (17) — (21) легко можно обобщить на различные многомерные условные плотности вероятности, которые по «левым» переменным должны удовлетворять ооычиым четырем условиям. Характеристическая функция.
Вместо плотностей вероятностей для описания случайного процесса можно указать характеристическую функцию Ф„(1 дн .„, 16„; (и ..., г„) = М [ехр (! д, $, + ... + ! 0„$„)) = ехр [1(д,х,+...+б„х„)) х хр„(х„..., х„; (м ..,, („) дх, ... дх„, $! = $ (1!). (2.1.22) !01 Напомним, что между функцией распределения, плотностью вероятности и характеристической функцией существует однозначная связь (1.2.38). Момеигные и корреляционные (кумулянтные) функции.
В качестве характеристик случайных процессов и полей, более простых, чем плотности вероятности, можно использовать моментные и корреляционные (кумулян!ные) функции. При этом различают начальные и центральные момен!ные функции. Под начальными моментными функциями случайного процесса е (1), заданного на некотором интервале, понимают функции т„(1), !пжч, ((! !!) "° гаже,...~ ((!, (м .", (я), симметричньи относительно всех своих аргументов, являющиеся математическими ожиданиями соответствующих произведений: (() — М [$ж (1)) ~ тж р (х. () (х т,, (1,, 1,) = М Й ((!) ~Р ((!)) = ) ) х! х а рг (х! х! 1! 1!) Дх! Д(х2 (2 1.23) яка ,...%„ ((!, 1...
" , ( ) = М ( й" ((!) с" (С!) ... Гя ((„)) = л где т! (1 ( ! ( и) — неотрицательные целые числа. Момент гп„„,.„,„((!, („..., („), зависящий от а несовпадающих аргументов 1„(,,..., („, называется п-мерным моментом (ч! + т., + ... + т,)-го порядка. Вместо начальных моментов можно рассматривать пентральные моменты, которые определяются формулой р„,,! „„(г„(м ...г'„) == М (Я((!) — и! ((!)1" ... (с (г„) — т!((„)1" ) = = ) " ) (х! — я!! (1!)Г ... (х„— и, ((„)1"" ~ х р„(х„..., х„; 1„..., г„) дх! ... их„, (2.!.24) Если соответствующие моментные функции существуют, то их можно определить путем разложения характеристической функции в ряд Маклорена. Разлагая экспоненту в правой части (22) в ряд Маклорена и беря затем математическое ожидание от каждого члена, получаем Э„(1 д„..., 1 д„; („..., („) = М 1+1 ~~ й> д, + ч ! + — 1' ~' $„$,д„д,+...
= 1 2 к, ч=! =1-1-1 ~~ т!((и) д„+ — 1' '~' Ят!!(1„, !,) д!.д, +..., (2 1.25) и=! ж ~=-! 102 где д да Ф !! ьь" д !и" ! ! е,— э,=„,=е са 3"!!(! ! Н и д ' ар, эзь аэч и 0 !' ''' 3 й' ~! '" в)!е с а =- =ад=а Ф 'д,..., 'д; (2.1.26) Применительно к одномерному случаю формулы (25) и (26) принпмгиот соответственно вид т, (!1, у Ф1(361 !)=1+ Х ч ()д)У* — Ф!(3д' !) (е=0=1Уту(!). н=! у! ' до~ (2.1.27) Если интересующие нас моменты существуют, то формула (26) дает простой способ вычисления их путем дифференцирования характеристической функции.
При указанном уоловии справедливо и обратное, а именно, по моментам можно восстановить характеристическую функцию согласно (25). Перейдем к определению корреляционных (кумулянтных) функций. Корреллционнме функции )х!(3), 3!!,((„й!), К!,(1„(ь 3а), ..., подобно кумулянтам, определяются разложением в ряд Маклорена не самой характеристической функции, а ее логарифма. Лля многомерного случая формула, аналогичная (1.8.56), имеет вид Ф„()дь ...; )д„; (ь ..., 3„) = ехр ~ 3 ~~~~ Й! (3 ) д, + и=! л Ю .!.— ' ~ Е.~2.,~.!О.6,-!- — ' ~ Е.(С!..!.)б.!.~.
'- ...~. ~, »=! м ! =! (2. 1.28) При 1, = 1, = ... = 1„= 3, н = 1 эта формула должна совпадать а (1.8.49). Из (28) получаем д лл 3 )с! (!) = — !и Ф! ()д' !) 1а =о! 12 )са (3, !) = — )п Ф! ()д; !)1а= О', да дз' д! 1' Рз ((ь 3!) = 1п Фз ()дь )д!' 3ь 3!) Ь, -а,-о. (2 1.29) дэ! дь! Чтобы получить выражение моментных функций через корреляци- онные и наоборот, нужно каждый из экспонеициальных сомножителей в (28) разложить в ряд Маклорена, перемножить эти ряды, сгруппиро- 103 вать члены и затем сравнить результат о формулой (25).
Не приводя здесь громоздких формальных разложений, запишем окончательные формулы, устанавливающие однозначную связь моментных и корреляционных функций: т (() йг(") ты(1г ~е) Яв (~г гв) + )(1 ("1)йг (~ ) тыг (1г, гв, 1т) = )ов ((г, гь 1а) + И1 (гг) )т'в (1м (в) + (2 1,30) + Иг((в) )'в (1г, 8в) + %~()в) )~в (1» те)1+ йв (Сг) Яг (гв) %г (Уа),". Нетрудно проверить, что при гг = (в = 1и = !эти формулы совпадают с (1.3.52). Разрешая последовательно уравнения (30) относительно корреляционных функций, можно получить выражения корреляционных функций через моментные.
Итак, моментные функции однозначно выражаются через корреляционные. При определенных условиях по моментным или корреляционным (кумулянтным) функциям можно восстановить характеристическую функцию и, следовательно, плотность вероятности (см. рис. 1.9). Поэтому моментные функции так же, как и корреляционные, могут быть использованы для описания случайных процессов. Поскольку моментные и корреляционные функции определяютсякак коэффициенты разложения в ряд Маклорена характеристической функции или ее логарифма, то естественно, что первые коэффициенты соответствующих разложений являются наиболее важными и сушественными (см.
с. 59). В дальнейшем особую роль будут играть математическое оахггдание процесса те (() = т, (() = М ($ (()) = ~ хр (х; 1) дх, (2.1.3!) а также начальный момент тг, (1» (в), называемый коеариационногв функцией случайного процесса, К (1„1г)= гг((„Ч=М (ев((,) 5((в)) = х, х, р (х» х,; (» (е) г(хг дх, (2.1.32) и центральный момент рм (1» Е,) = )св (1» (,), называемый корреля- г(ионной 4ункцией случайного процесса *, )гй (1г, гв) = ры (гг,:гв) = 51 (Й (гг) — тй (1г)) (й (ге) — те (тв)Ц = [х,— т= (1,Ц (х,— тй (1,)] р, (х» х.,; 1„(е) г(хг г(хе.
(2.!.33) 'Отметим, что в иностранной литературе обычно используется обратная терминология: К (Гг, Ге) называется автокорреляпионной фуикпией елучайно. го процесса, а Йй (Гь 1) — автоковариапионной функпией случайного пропеоса. 104 Из (32) и (33) следует связь между ковариационной и корреляционной функциями случайного процесса: К И» (а) = Ь'а (т» гз) ]- тг (г,) т! (т;). (2.1.34) Раздел теории, посвященный изучению лишь тех свойств случайных процессов, которые определяются зтими характеристиками, называется корреляционной теорией. Корреляционная теория дает полное описание очень важного класса случайных процессов, называемых гауссовскими (см, и 2.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
