В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть 5 (1) = А, созооо(+ Аоз)п ооо( Ч (1) = А, соз ооо(+ А, з(п ооо1, где ооо — постоянная величина, а А, и А, — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями (тл, = тл, = О) и одинаковыми дисперсиями (Т1л, = 1Эл, = Йл). Помимо указанных двух основных определений стационарности, встречаются и другие понятия стационарности. Случайный процесс $ (1) называется стационарным порядка )г, если равенство (41) или (42) выполняется не для любых и, а только при и ( й. Ясно, что если (42) справедливо при п=й, то в силу условия согласованности (1.2.30) оно будет также выполняться и при и ( я. Случайный процесс $ (1) называется асимптотически стационарным в узком смысле, если существует предел 1пп р„(х„..., х„; 1, + 1„ ° ° ~о + ~о) Случайный процесс $ (1) называется стационарным в узком смысле на конечном интервале, если равенство (42) выполняется для всех временных точек этого интервала.
Случайный процесес со стационарными в узком смысле приращениями — процесс, у которого приращения, т. е. разность $ (1+ т) — $ (1) !09 для каждого фиксированного т, есть стационарный в узком смысле процесс. Процесс $ (1) называется периодически стационарнвии или циклостационарным в узком смысле е периодом Т, если равенство (42) выполняется только при ьа = тТ, т=1, 2, ... Это означает, что случайные величины $ (ь), $ (1+ Т),, $ ((+ тТ) имеют одинаковые плотности вероятности.
слунпдные процессы Срсслсдодаыельносп В Сыаццснарные Несыаццонариые » Въй неъ »»йФ й 6 Ь Ве а йй'4 »а й»а» еа ~~~В в ан ь» ы Дальнецтцоя нлассц»раненая ло Вцдц ноРРеляцсонньы гауинццц) кяранпье~у ллоынослсед дероепнсасецц друесн лрценанан Рис, 2.5. Классификация случайных процессов (последовательностей) Можно сформулировать аналогичные определения стацнонарности в широком смысле.
Так, например, случайный процесс с ((), у которого приращения $ (1+т) — $ (() для каждого фиксированного т есть стационарный в широком смысле процесс, называется случайным процессом со стационарными в ишроком смысле лрирашрнинми. Процеси $ (г) являетея периодически стационарным в широком смысле, если для любых целых чисел й и т выполняются равенства М (э(1+ йТ)) = М (з (ь)) = т; (1), Ка ((х+ кТ, ьа+ тТ) = = Ка (1х, (а).
(2.1.50) Следует иметь в виду, что несмотря на наличие термина «стационарные» три последние группы случайных процессов (стационарные ни конечном интервале, со стационарными приращениями и периодически стационарные), вообще говоря, являются нестационарными и поэтому на рис. 2.5 отнесены к нестационарным процессам. К понятию стационарности на конечном интервале обычно прибегают в тех случаях, ког- 110 да реализации нестационарного процесса на достаточно большом интервале времени разбивают на несколько «кусков» меньшей длительности, где процесс ведет себя подобно стационарному, и при обработке интересующих нас отрезков реализаций можно применять более простые правила и приемы, справедливые для стационарных процессов.
Позже мы убедимся (с. 499), что для самих процессов со стационарными приращениями условия (42), (48) могут не выполняться. Периодически стационарные процессы можно рассматривать как стационарные лишь при частных значениях временного сдвига /, = ЬТ; при /, Ф йТ такие процессы являются нестационарными. Случайные процессы перечисленных выше видов будут рассматриваться в дальнейшем. Приведем здесь лишь частные примеры. пример 2.1.«.
Пусть задан случайный процесс «1 (/) = й (/) саз (м,/+ ф), (2.1.51) где ф — случайная начальная фаза; $ (/) — не зависящий от ф стационарный в широком смысле процесс. /(окажем, что Ч (/) есть стационарный в широком смысле случайный процесс тогда и только тогда, когда характеристическая фнуиция случайной величины ф удовлетворяет равенствам Ф (/) О, Ф (2/) = О. Математичесхое ожидание рассматриваемого процесса по определению равно тч = М (ч (/)) = М (й (б) (М (соз ф) соз м,/ — М (яп ф) яп юо/). Чтобы процесс Ч (/) был стационарным в широком смысле, это выражение не должно зависеть от /. Поскольку по предположению М ($ (/)) = т = сапа!, то это воаможно только в том случае, если коэффициенты при соз мо / и яп ыо~ равны ннлю: М (соз ф] = М (яп ф) = О. Таз иаи хараитеристичесная функция случайной величины ф равна Ф ()д) = М (е/ае) =.
М (соз дф) +)М (з! п дф), то отсюда следует, что Ф ()) =- О. Наоборот, если Ф (1) = О, то т„= О. Выражение для ховарнационной функции имеет вид К„(т) = (1/2) К, (т) (соз мо т+М (саз (2мо /+юо т+2ф))). Раскладывая последнюю хосинусную функцию в правой части, получим, что для независимости К (т) от времени / должны выполняться равенства М [соз 2«р) = О, М (зш 2ф) = О, т.
е. Ф (21) = О. Наоборот, если Ф (2!) = О, (2.1.52) Кч (г) =(1/2) К! (г) со»во г не зависят от времени. В частном случае, когда случайная начальная фаза ф распределена равномерно в интервале ( — л,л), имеем 1 /' а яплд Ф (/д) = —, ) е/ае г/ф= — ° лд Видно, что равенства Ф (1) = О и Ф (21) = О выполняются и, следовательно, процесс Ч (/) является стационарным в широком смысле, Можно убедиться, что процесс ч (/) будет также стационарным и при некоторых других плотностях вероятности случайной начальной фазы, например, когда р (ф) = (1/2л) (1 + соз блф) 11! или р (ф) = (1/4) [6 (ор) + 6 (ф — и/2) + 6 (ф — и) + 6 (ф — Зп/2)]. Здесь 6 (х) — дельта-функция (см.
приложение 1). Пример 2.1.2. Случайный процесс имеет вид т) (П = Ао соз [в,1+ ф (1) + ф], (2.1.53) где Ао и во — постоянные; ф — случайная величина, равномерно распределенная в интервале ( — м, м); ф (1) — не зависящий от ф стационарный в узком смысле случайный процесс. Требуотся показать, что процесс о1(1) является стационарным в широком смыслц Нетрудно убедиться, что тя М (т) (1)) = О.
Выражение для ковариационной функции приводится к следующему виду; Кп (е) =(Ао/2) М (соз [во о+Ф ((о) — ф (1о)]) = = (А,'/2) ке [ехР (]во ч) М (ех Р 1 (ф (1,) — ф (1,)))], где йе (з) — вещесгвенная часть комплексного числа г; т = 1 — 1,. Заметим, что двумерная характеристическая функция стационарного в узком смысле про. ьесса ф (1) аависнт только от разности временных аргументов: ф, ([б„]бе( т) = М (. р []бтф (1) + ]боф П+ т)]].
Из сравнения итого выражения с предыдущим следует, что М (ехр / [оу (1о) — Ф (гх)]) = боз ( — 1, 1; г). Поэтому К, (г) = (Аоо/21 Ке (ехР ()в„г) ойо ( — 1, 1; ч)). (2.1.54) Следовательно, при сформулированных условиях ковариационная функция К„ (т) действительно зависит только от т = 1о — 1, и процесс т) (1) стационарен в широком смысле. Пример 2.1.3.
Задан случайный процесс т) (1) = А, соз (в1+ ф), (2.1.55) где Ао — постоянвая величина, в и ф — независимые случайные величины, причем ф равномерно распределена в интервале — и < ф < п, а в имеет плотность вероятности р (в). Покажем, что процесс Ч (1) стационареи в широком смысле. Математическое ожидание процесса П (1) равно нулю: з М (т( (1)) =(Ао/2п) ] р(в) ав ) сох (в1+ф) аф=б. Ковариационная функция Кч (т)™(Ч(1) о) (1+т))=(Аоо/2) ) Р (в) созвтав (2 1,55) зависит только от т и удовлетворяет всем необходимым условиям, которые накладываются на норреляционную функцию стационарного процесса (с.
108). Пример 2Л.4. Докажем, что случайный процесс о) (1) = $т (1) аоз вот+ 6о (1) вп в,г, (2.1.57) где $1 (П и $з (П вЂ” два вещественных стационарно связанных в широком смыс. ле случайных процесса, будет стационарным в широком смысле, если выполни. ются условия М [6, (1)) = М Д, (1)) - О, (2.1.58) РП (т) = )о( (т), РП 1 (г) = — Кй 1 (г). (2,1,59) 112 При этом ковариационная функцяя процесса т) (Г) будет равна )гч (т)=Аз (г) совы„т+АЕ „(т) юпгоэ г. (2. 1. 60) Действительно, иа равенств (58) следует независимость ',М (г) (Г)] от времени !. Далее имеем П (Г+ т)Ч (!) = ]Сг (г+ ч) соз юэ (Г+ т) + Фэ (г+ т) а)п мэ (Г+ т)] Х Х (йт (!) соз юэг+ $ (Г) э!п ы !].
Выполнив перемножение, взяв математическое ожидание и применив некоторые тригонометрические преобразования, получим 2М (П(Г+т) т! (Г)]=()СЕ (т)+)т- (т)! соя ычт+()С, Е (т) — ЯЕ Е (т)] и!ПО)чт+ +(РЕ (т) — ЙЕ (т)] соз юэ (2(+т)+]ЙЕ Е (т)+БЕ $ (т)] юп соэ(2(+г). Чтобы это выражение не зависело от Г, сомномгителн в двух последних квадратнык скобках долнгиы равняться нулю. Отсюда следуют равенства (59) и ~атем (60). Отметим, что поскольку )гй Е (т) = ЛЕ Е ( — т), то из (59) получаем, что И (О) = О, т. е. случайные процессы яг (!) и Ез (!) в совпадающие моменты ыы времени не коррелированы. Однако это ие означает, что пропессы не коррелнрованы в разные моменты времени. Если бы зто было так, т, е. ЯЕ Е (т) = 0 длв любого т, то формула (60) упростилась бы: Йп (т) =РЕ (г) сов ыэ г. Если использовать комплексвую форму записи процесса г) (Г) = Ке Е (Г) е !аэ ', Е (Г) = Е, (!) +]Ез (Г), то формула (60) примет вид (2.1.62) (2.1.63) )Е (т) =(1г'2) Ке)ЕЕ(т) е где з(г) — периодическая функция с периодом Т и тэ — случайная величина, равномерно распределенная в интервале (О, Т].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
