В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 24
Текст из файла (страница 24)
$ ((,) — т[ (Г,) = о = сопз!. Отсюда следует, что Ч (1,) и $ ((,) должны быть связаны линейной зависимостью. Аналогично если гг„((ь (,) = = — 1, то с ((,) + т[ ((,) = е и, еледовательно, остается справедливым тот же результат. 4. Всякая корреляционная функция Я е((м 1,) обладает фундаментальным свойством неотрицательной определенности в следующем смысле.
Пусть (и ..., ! — любое конечное число точек и г„ ..., ㄠ— произвольные комплексные числа. Тогда эрмитова форма И п 2 е,еьч)*,в=и[ т, м,|~ е.), е)- ,е =! се=в =М ~з~ К((;) г, ) 0 (2.2.2!) всегда вещественна и положительна. Здесь было принято, что математичеекое ожидание процесса $ (!) равно нулю. Из (21) при и = 1, г =- 1 имеем !) (1,) = й Е ((м Гг) = М ([ $ ((д) [') ) О. (2.2.22) Кроме того, из (21) следует частный результат формулы (14), а именно: Л е (! (е) [~! (! ! ) (2.2.23) Л! (!» (,) + Р! ((м (,) = 2йе Яг ((м (е), — ! Йг (!и (е) + 1 Я. ((е, (,) = — 2! 1щ Ие ((и (), 122 Чтобы убедиться в этом, нужно в (21) положить и = 2, г, = г, = 1 и и = 2, г, = 1, г, = !.
После подстановки этих значений придем соответственно к равенствам так как М (! Б ((~) + % Ю ! ) М (!Б ((а) + И ((э)1 1$ Ю + В ((а)1) = =Йи(Г Гд+~з6 Гэ)+2йейв(( ~~), М(!%((1)+!ь(~2) ! ) )~% ((1 (а)+)~з ((2 (2) 2! (ш )75 (~о Гз). Из написанных равенств получаем Йе Л ~ (Го Г,) = Ке )г э ((м (,), 1ш Й з (Г„(,) = — 1ш Л з ((м (,), что и доказывает справедливость (23). 5. Приведенное свойство неотрицательной определенновти являет- ся характеристическим свойством класса всех корреляционных функ- ций. Это означает, что если какая-нибудь функция Яэ ((„(,) облада- ет этим свойством, то можно найти случайный процесс, для которого она будет корреляционной П81.
Пусть процесс $ (г) является вещественным. Согласно (23) корре- ляционная функция К~ ((о (,) такого процесса вещественна и аиммет- рична. Квадратичная форма л %((1 (а)а$ аА с 1=! неотрицательна при всех вещественных гь Поэтому из (2.5.7) аледует, что ехр ( — (~!2) является характеристической функцией п-мерной нормальной плотности вероятности а нулевыми математическими ожи- даниями и корреляциями Я.
((,, („). Семейство нормальных плотнос- тей вероятностей при всевозможных значениях п и г; удовлетворяет условиям симметрии и согласованности. Поэтому существует елучай- ный процесс с таким семейством конечномерных распределений, имеющий корреляционную функцию Яэ (Гм Г,). Этот результат ос- тается в силе и для комплексных случайных процессов. Конкретизируем теперь свойства корреляционных функций приме- нительно к вещественным стационарным в широком смысле случайным процессам $ (г) Напомним, что для стационарного в широком смысле случайного процесса $ (1) согласно (2Н.48) справедливы следующие соотношения: М ( $ (() ) = т э — — сопя(, М (1 $ (1) — т, !Я ) = В а = о) = сопя(, (2.2.24) Я , -(т) = О, г э (т) = М ( 1 $ (г) — т а 1 1 $ (( + т) — т э) ), (2.2.25) Ц (Π— т% з (е+т) — та1 гЬ(т) = М ~ .
~ =М (Г(Г) $((+т)), (2.2.26) где знаком «» сверху обозначены нормированные величины (20). К Абсолютное значение корреляционной функции при любом т не может превышать ее значение при т = О, т. е. ! кз (т) ! (7а, ! гэ ( э) ! ( Н (2.2.27) Этот результат следует иэ (16), а также иэ очевидного неравенства, что математическое ожидание положительной функции не может быть 123 отрицательным: М ([Г((+ т) ~ $ (1))') = 2 [1 ~ г1 (т)[) О. 2. Корреляционная функция вещественного стационарного процесса $ (т) является четной функцией своего аргумента: Из(т) = йз( — т), гт(т) = гз( — т). (2.2.28) Этот результат следует из (23), а также из того, что значение корреляционной функции стационарного процесса не зависит от выбора начала отсчета времени.
Поэтому Р1(т) =М (1(1) $((+т)) — т; '= М (1(! — т) $ (()) — т( = й4 ( — т). 3. Если корреляционная функция непрерывна при т = О, то она непрерывна при всех других значениях т, Локазательство этого свойства базируется на неравенстве Коши — Шварца [М (Кт))т ( М (Р) М Д[), $ = $ (1), $, = $ (1 + т). (2.2.29) Приведем доказательство этого неравенства. Рассмотрим функцию ( (Х) = М ( Д Х $,)~ ), где Х вЂ” действительная величина. Очевидно, что правая часть не может быть отрицательной величиной: 1'(Л) = М (Д) — 2ХМ (зв,) + йз М Д[) ) О.
Поэтому квадратическая функция ) (Х) расположена или над осью Х, или может касаться сверху оси Х лишь в единственной точке Х„= = М ( $ $,)г' М ( Д ), аоответствующей минимуму функции. Нетрудно проверить, что даже в этой точке выполняется соотношение 129), причем знак равенства имеет место только в том случае, когда [ (Х,,) = = О. Ради упрощения записей будем оперировать с нормированными величинами и применим неравенство (29) к математическому ожиданию М(($ +л — $ )е): [ М ((З.+ь — $т) Ц [( [М Щ,+д — $,)') М ф)[1 гз.
Раскрывая левую и правую части этого неравенства, имеем [гз(т+ й) — гз(т) [ ()/2 [1 — г. (й)['г'. Если нормированная корреляпионная функция гз (т) непрерывна в точке т = О, то существует такое 6 ) О, что [! — гз (й) [( а, при [й[(6, гдее,) 0 — сколь угодно малоечисло. При этом [гз (т-[-й)— — гз (т) [ ( [Г2зс = а при [й [( 6 для любого значения т. Это и есть требуемый результат.
4. [[ля многих практически интересных стационарных случайных процессов справедливо соотношение Игп )44(т) =О, (2.2.30) 124 заведомо гарантирующее эргодичность процесса (2.1.79) относительно математического' ожидания. Физически этот результат объясняется тем, что устойчиво работающие системы обычно имеют конечное время и.> затухания (конечное время «памяти»).
Поэтому для случайных процессов, наблюдаемых в стационарно и устойчиво работающих системах, последующее значение процесса оказывается практически независимым Р Г и некоррелированным с предыдущим оу значением, если они разделены достаточно большим интервалом времени. 1 5. Преобразование Фурье от кор- $ реляционной функции есть неотрица- ' ~ту Р +Гд Ф' тельная функция (см. (2.3.10) ) 6 >р-„( > — (т~О. Этим свойством можно вос ваться для решения вопроса о том, может ли какая-либо функция Й (т), удовлетворяющая предыдущим условиям, представлять корреляционную функцию стационарного в широком смысле случайного процесса. При выполнении условия (30) выражение для нормированной кор- реляционной функции стационарного процесса с учетом (2.1.32) и (2.1.46) можно записать в следующем виде: (2 2 31) Рнс.
2.б. Функцнн, которые не могут быть корреаяцноннымн функциями вещественных стацнопользо парных процессов цх (т> — Де 1~> ты (т> — ты (оэ> г1 (т>— К,(О> — К,(» ~м(О> — „( > (2.2.32) где К,(т) — ковариационная функция случайного процесса. Таким образом, корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной функцией аргумента т, имеет максимум, равный дисперсии 0ь при т = О, непрерывна при всех т, если только непрерывна при т = О, и, как правило, убывает до нуля при т- со.
Примеры нормированных корреляционных функций (их аналитические выражения и графики) вещественных стационарных процессов приведены в табл. 5.2. Каждая из этих функций удовлетворяет всем перечисленным свойствам. Наоборот, три вида функций, изображенных на рин. 2.6, не могут быть корреляционными функциями действительного стационарного процесса, поскольку для каждой из них не выполняется какое-либо одно из свойств. Перечисленные выше свойства корреляционной функции втационарного в широком смысле случайного процесса легко переносятся 125 на ковариационную функцию, поскольку, как следует из (3), между ними существует простая евязь К, (т) = »«(т) + тх.
(2.2.33) Корреляционные функции однородных случайных полей удовлетворяют всем указанным ранее условиям. В частности, корреляционная функция однородного двухмерного поля К,(Л х, Л у) является четной функцией своих аргументов )«е(Лх, Лу) = к«а( — Лх, — Лу); (2.2.34) ,о <$7 Рис. 2.7. Нормированные корреляционные функции стациоиарнык процессов при Л х = О, Л у = 0 ее значение максимально и равно дисперсии поля ~ (с и (Л х, Л у) 1 ( (с е (О, 0) = О с, (2.2.35) для большинства встречающихся на практике полей выполняется соотношение (2.2.36) Вш (ск.(Лх, Лу)=0. ьк-» ь«-» В большинстве радиотехнических задач встречаются нормированные корреляционные функции двух типов: в виде монотонно убывающих функций аргумента т (рис. 2.7, а) и в виде осциллирующих зату-' хающих функций (риц.
2.7, б). Будем обозначать нормированную корреляционную функцию первого типа через ге (т) = ра (т). Одним из примеров нормированной корреляционной функции первого типа может служить функция ре (г) = ехр ( — сс т'), где а — постоянная положительная величина, а примером второго типа »а (т) = =- р, (т)соз о»о т, где к (( со„. В инженерной практике вместо точного аналитического задания вида нормированной корреляпионной функции часто ограничиваются указанием лишь интервала или «времени корреляции» тю которое дает ориентировочное представление о том, на каком интервале времени в среднем имеет место заметная коррелированность между значениями случайного процесса, существенная для решаемой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
