В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(2 2 63) Для вычисления коварнацнонной функции К1 (11, )з) = М (В (!1)й ((з)) нуж ао знать совместные вероятности случайных величин к (11) и $ ()з). Распишем их, Пусть (г — тз = т ~ О. При заданном значении $ (~) 1 случайная величина Ц (Гт ) = 1, если в интервале (бм й) имеется четное число тичеи. Поэтому Р (1«г) -115 «,) =1) =е-ь' сн Лч. Умножив это выражение нз Р (5 ((з) 1), получим Р(с (Гг)=1, с«э)=Ц=е т'тс)т Лче Ы*о(тЛ) .
Аналогично находим Р (С(тг) = — 1, $«э) — 1) =е ~те!т Лте Ьг*зн Лг ° Р Д (Г,) 1 ! $ «э) = — Ц =Е Лт Зй Лт, Р($ «т)=1, Я(тэ) = — 1) =е тай Лте - 'зЬ Л)э, Р (5 «г) = — 1, 5 «,) = Ц =е л'зй Лю ь'* сй Л(е. Записав развернутое выражение для ковариационной функции и подставив в него найденные вероятности, получим Кз (Гг, ! ) ехр 1 — 2Л (1г — Гз)), Поме- няв ролимн тт и г (т. ш полагая г, ( Г )„придем к окончательной формуле К1(т) гхр( — 2Л!ч!) т тз (2.2.64) Из (63) видно, что процесс $ (О неотационарен, Это объяоняетси тем, что на- чало отсчета времени было выбрано вполне определенным образом (на положи. тельном импульсе). Ч гобы гначальное условиеэ было случайно выбранным, рас- смотрим случайный двоичный сигнал т! «3 = А$ (О, (2.2.65) где А — независимая от $ (О случайная величина, принимающая лишь два зна.
чення +1 и — ! о одинаковыми вероятностями: Р (А = 1) = Р (А = — 1) = 1(2, При этом М (А) = О, М (Аэ) 1. Нетрудно убедиться, что процесс П (О етационарен, так кан М (т) (1)) = М (А) М (Ч (1)) ~ О, Кч «г, тэ) = М (Аз) М Д (гз) 5 (тзЦ =ехр ( — 2Л ) 1т — тэ !). (2.2.66) ПрОцЕССЫ $ (т) И ц (!) аСИМПтОтиЧЕВКИ (Прн 1- оо) ИМЕЮТ ОдИНаКОВЫЕ ВЕРО- ятностные характеристики. Отметим, что если случайный двоичный сигнал $ (1) принимает два произ- вольных значения г! и гз то его можно выразить через симметричный двоичный сигнал в (О с двумя значениями ~1 а помощью следующего линейного преобра.
аоваиияг ! ! ь «) = (за+за) + (зз гз) з Ю (2.2.67) Поэтому мвтематичеокое ожидание и корреляционная функция случайного несимметрачного двоичного сигнала ь (1) равны М Д (1)) =(аз+аз)!2+(зх — г,) е зьг)2, 5' 131 (гг((г, (з) =(гт — з,)з ехр ( — 2Л [(т — (з [). (2.2.68) Интересно отметить, что линейная оценка (1.3.74] значения х (Гз) реализации симметричного двоичного сигнала я (Г) при известном значении х (Гх) в стационарном состоянии (М ($ ((Ц = О, Г сс] принимает вид х(гз) =ехР ( — 2Л ! гз — Гд[) х (гВ.
Отсюда получаем, что х ((з) — к (Г,) при 2Л [ (з — Г, [ « 1 н х ((з) хз 0 прн 2Л[ (е — (т [ » 1. Последний результат оказывается бесполезным, тан как сигнал В (1) может принимать лишь значения ~1. Позтоиу значимость линейной опенки существенно зависит от величины временнбго интервала [ à — (т [. Укажем, что если число нулей случайного двоичного сигнала (рис. 2,91 определяется не законом Пуассона (51), а законом распределения рь (() = (Л()з" зесй Л(l (24)1 Д = О, 1, 2, ..., ч(г) Ф-х е" г гз, зг тх тз еь гз га *г зд Рис.
2.10. Квазислучайный фототелеграфный сиг- нал то корреляционная функция будет равна Й (т) =- зес)т Лт соз Лш 1 (2.2. 70) При больших Л( закон распределения (69) переходит в закон Пуассона. Пример 2.2.3. Вычислим козариационную функцию случайного фотогелеграфного сигнала й ((), сформированного на базе пуассоновского потока упорядоченвьш временнйх точек [ьь й = О, ' 1, ~2, ...) следующим образом, В интервалах между соседними точками $ (1) есть постоянная величина, равная 1 или 0 с вероятностями Р и 1 — Р соответственно. Значения $ (О в разных интервалах независимы. Типичная реализация процесса показана иа рис. 2.!О. 7(ля произвольно выбранного момента времени 1 математическое ожидание процесса М [5 (Е)) = 1 Р (4 П) = 1) ! 0 ° Р (Ф (Г) = 01 = Р.
Запишем выражение для ковариационной функции (( (г, г+ т) = М [Ц (Вй (! + г)) = Р (Б (1) = 1, 5 (г+ т) = и Фигурирующая здесь совместная плотность вероятности зависит от того, на. ходятся ли моменты времени Г и (+ т в одном и том же интервале нли в разных: — = -(, Ш если ! и Г+"з а одном интервале, Р Д (1) =1, „(1+т) =1) = р', если Г и Г+з в разных интервалах. Вероятность того, что г н г+ т находятся в одном интервале, как следует из фор мулы (51), равна ре ([ т [) = е независимо от 0 а вероятность того, что 1 — х) ш и (+ т находятся в равных интервалах, равна 1 — пе ([ т [). Следовательно, К (т)4 Ре ! !+Рз(! — е ! !)4 Р(! — Р)е ~' 1-[-Р'.
(2.2,71) Пример 2.2.4. Коррелянионная функция квазислучайного телеграфного сигнала [17). Пусть дискретный случайный процесс я (В в любой момент временя может иметь одно нз двух значений х, = а и хз = О с одинаковыми верона иостями Р, = Р (з (г) = х,) = рз = Р (9 (г) = хз) = 1/2 (рнс. 2.1!), причем смена состояний (зиачений) возможна в фиксированные моменты времени 1„, 132 = Ь -- тТ, где Т = сопИ, т = О, 1, 2, „. — целое положительное число, Л вЂ” случайная величина, не зависящая от $ (!) и равномерно распрелеленная на отрезке (О, Т). Известны вероятности смены состояний Р (хг х.) = = Р [х - хг) д и сохранения прежнего состояния [Р х! хг) = = Р (хз хз) = р = 1 — ф Получающийся видеосигнал назван квз.ислучайным телеграфным сигналом в отличие от случайного двоичного сигнала !оно. 2.9), у которого смена состояний может осуществляться в произвольные моменты времена.
Нужно найти ковариационную функцию и спектральную плотность такого квазислучайного телеграфного сигнала в стационарном состоянии. Вычислим сначала ковариационную функпию сигнала 3 (!), считая случайвую величину Ь фиксированной: Кй (т [ Ь) = М (в (0)$ (т) [ Л). -Т Р Т б) Рнс. 2.11. Случайный телеграфный сигнал (а) и его корреляционная функция (б) П«сгь на отрезке т лежит т возможных точек перехода (рис, 2.11). Если сигнал ичегп лищь два значения а н О, то произведение й (0)ч (1) будет отлично о1 нуля л равно а', если оба конца т-отрезка находятся на импульсах;. в противном случае это произведение равно нулю. Поэтому можем написать К л, (т [ Л) =а' Р ($ (0) =а, Ц (т) а) =а' Р Д (0) =а) Р ($ (т) =а[; (О) =а) = 1 = — а' Р Д (т) = а [ т (0) = а).
Можно показать, что Р (й (т) = а[1 (0) = а) = (1/2) [1 + (р — д)т), Поэтому Кт (с [ Ь) (а«14) [! + (р — 4)т[. (2.2.72) Пусть (т — 1)Т(т ( тТ, где т 1, 2, 3, ... Тогда возможны дза случая: 1) если Л ( тТ вЂ” т, то отрезок т содержит (т — 1) разрешенную точку перехода в, следовательно, Кл (т[Л)=(аз/4) [1 ! (р 4)т !)! 2) если Ь ) тТ вЂ” т, то на отречке находится т точен перехода в К„, (т[Л) =(аз/4) [1+(р — гу)"'~) Тах как случайная величина Л не фиксирована, а может принимать любые значения на отрезке [О, Т[, то нужно осрелнить выражения К„т (т [ Л) и Кт (т [ Л) с учетом указанных двух условий по Ь с плотностью вероятности р (Ь) 1!Т при 0( Л ( Т, В результате для т > 0 получим тТ вЂ” т «, и - — )" «. л ~ ч «*«)" «. ~ ~ л «~ ~- т ~ тТ-т 133 а' = — ! — — )(~~~м — Ю 1~ — ~ — — ~ — И) (~+М вЂ” М В т) 4 ) Т (ш — 1) Т <т < тТ.
По условия~ четности ковариационной функции стационарного вещественного процесса такое же выражение применимо и для т < О, нужно лишь заменить т на ! !. Окончательная формула для интересующей нас ковариационной функции квазислучайного телеграфного сигнала следующая: К (т) = — + — (р — С)"' ! 1 — 24~ — — т+1)~, (гл — 1) Т < ) т ( ~ тТ, гл = 1, 2, 3, „. (2.2.73) а' а' ,!Г / (т! или иначе К (т) = — + — (д — П)! ' ! ~1 — 2д ~ — — (! !)~, (2.2.74) где ! — целая часть дроби т/Т, В частном случае р = 4 1/2 значения процесса $ (/) и в (/+ т), принадлежащие разным интервалам Т, независимы. При этом формула (74) упрощается: К (т)=(аз/4)+(пз/4) (1 — )т)/Т), )т(<Т.
Отметим, что если полагать начало отсчета времени совпадающим с моментом возможного изменения значения процесса (Л = 0), то такой квазислучайный телеграфный сигнал й (/) будет нестационариым, В результате введения случайного равномерно распределенного смещения Л случайный сигнал ч (0 становится стапионарным. — /т) ! рг/г/ Е 3 гэмтгпгтэ л/ю Рис. 2.!2. Способ получения (а) и составной сигнал П,(/] (б) Пример 2.2.5. Вычислим математические ожидания и ковзриационные функции трех видов соотавното (манипулированиого) сигнала (рио. 2.12): пл (/) (1/2) (1 + й (0)с! (0 + (1/2) (! — э (/))чт (/), (2.2.76а) Чт (/) = ь (/)к! И) + ! ! " (/))Ва (/) (2.2 76б) Пэ (/) = Д (/ — ЛЯ! (/ — Л) + !1 — Х (/ — Л)Д (/ — Л), (2.2,76в) ЧЗ() ( )ьг()+( ( )!'2 где (',, (/) и С (/) — не зависящие от ь (/) стационарные, не коррелнрованные между собой случайные процессы с ковариационными функциями К, (т) и Кэ (т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
