В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Формулами (1), (2) и (12), (13) пелесообразно пользоваться при выполнении вычислений, так как интегралы в бесконечных пределах, кнк правило, находятся проще, чем интегралы хотя бы и одним конечным пределом. При физическом рассмотрении и проведении экспериментов следует оперировать с формулами (26) и (27). 144 В инженерной практике «протяженность» спектральной плотности по оси частот часто характеризуют эффективной шириной спектра Ее можно определить по-разному. Одно из определений дается формулой (24). В качестве другого используемого определения укажем следующее: й~.=~ 5.а~На.), (2.3.28» о где 5, (1о) — значение спектральной плотности при некоторой характерной частоте 1« (рис. 2.20). Обычно за 5, (1«) берут макаимум спектральной плотности или ординату, соответствующую точке симметрии.
Иногда указывают ширину Ь|о „спектральной плотности на уровне 0,85о+ (Я. При качественном рассмотрении характера спектральных плотностей (например, приведенных в табл. 5.2) можно выделить два класса: 1) спектры, значения которых заметно отличны от нуля только в узкой полосе частот Ь1, тесно сконцентрированной около частоты 1 )) )) Л(, и 2) спектры, не удовлетворяющие этому условию.
Стационарный случайный процесс, спектральная плотность которого сконцентрирована в узкой полосе А~ около частоты 10 (2.3.29) принято называть узкополосным случайным процессом. Если это неравенство не выполняется, то процесс не является узкополосным. Количественную меру узкополосности процесса можно определить по-разному, в зависимости от рассматриваемой задачи.
В некоторых случаях степень узкополосности можно характеризовать просто величиной Л1',/~„а иногда целесообразно оперировать с другими критериями узкополосности. При вычислении спектральных плотностей узкополосных случайных процессов часто бывает полезной формула, следующая из (12). Если корреляционной функции 1«о(т) соответствует спектральная плотность 5«1((), то спектральная плотность 5, ()) для корреляционной функции 1«о (т) = 1«1 (т) соз 2п1о т (2.3.30) равна 5оп (Р) = — (5ое О+ 1о)+ 5оз (У вЂ” Рой 2 (2.3.31) В дальнейшем для краткости будет использоваться следующая запись основных формул Винера — Хинчина (1) — (4): 5(оо)= ~ К(т)е — 1 'йт, К(т)= — ( 5(«о)е1" йоо, (2.3.32) 2п 5о(оо)= ) й(т)е 1"«йт, й(с)= ~ 5о(со)е1о«йв.
(2.3.33) 1 2п 14$ При этом нулевой индекс будем часто опускать, помня прн этом очевидное еоотношение 8 (ы) = ~ь (о) + 2пт'6 (в), (2.3. 34) которое следует из (5) и (1-25). Вместо спектральной плотности Юь (в) можно рассматривать нормироеанную к единице спектральную плотность зо (ы) = ~о (<>Ю> (2.3.35) где Р— дисперсия рассматриваемого процесеа. Разделив правые и левые чаети формул (ЗЗ) на Р, получим, что нормированная спектральная плотность и нормированная корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса связаны парой взаимных преобразований Фурье' е,(со)= ~ г(т)е ~ 'сЬ, г(т) = — 1 е„(в)е1"'йо (2.336) 2я или согласно (26) и (27) ее+(7)= 4т (т)соя 2лУчдт, г(т) = ) е+ (1")соя 2пгтс(7", 7) О.
(2.3.37) ь Заметим, что нормированная спектральная плотность удовлетворяет тем же уеловием (1.2.4), что и плотность вероятности: еь(ы)=.бз ~ сьев)дую=1. При этом нормированная корреляционная функция связана с нормированной спектральной плотностью соотношением (36), совпадающим с точностью до постоянного множителя 1/2п с выражением (1.2.15).
Этот факт позволяет рассматривать нормированную спектральную плотность в качестве аналога плотности вероятности, а нормированную корреляционную функцию — в качестве аналога характеристической функции. Поэтому выражения нормированных спектральных плотноатей (см. табл. 5.2) по крайней мере формзльно можно использовать в качестве плотностей вероятностей. Наоборот, некоторые из выражений для плотностей вероятностей (например, приведенных в табл. 1.1), удовлетворяющих условию (11), можно рассматривать в качестве' нормированных спектральных плотностей и соответственно выражения характеристических функций — в качестве нормированных корреляционных функций. Пользуясь подмеченной аналогией, можно ввести начальные и центральные моменты двусторонней и односторонней спектральной плотности, определив их формулами, аналогичными (1.3.11) и (1.3.12). В отличие от спектрального анализа детерминированных сигналов спектральная плотность случайного процесса не дает возможности восстановить какую-либо реализацию процеааа, так как она есть осредненная характеристика и не содержит еведений о фазах отдельных 146 (2.3.40) спектральных составляющих.
Можно указать несколько различных по характеру случайных процессов, имеющих одинаковую зпектральную плотность и корреляционную функцию. Поэтому эти две характеристики описывают случайный процесс явно неполно. В задачах практического определения спектральной плотности стационарного случайного процесса приведенные определения спектра (1) или (3) во многих случаях нельзя признать простыми и экономичными. Они предполагают предварительное определение ковариационной или корреляционной функции, что само по себе сопряжено с трудоемкими вычислениями или измерениями, особенно для быстроосциллирующих корреляционных функций (см.
табл. 5.2), которые часто встречаются в радиотехнике. В этом отношении представляются естественными два предложения: 1) попытка определить спектральную плотность по одной реализации достаточно большой длительности и 2) определение (измерение) спектральной плотности с помощью соответствующих спектроанализаторов, т. е. путем «пропускания> стационарного случайного процесса через частотно селективные устройства («спектральные окна>) с последующим измерением нужных выходных величин (см.
9 5,4), Рассмотрим здесь только первое предложение и сразу оговоримся, что оно оказывается неоправданным. Введем для реализации $ (1), 0 ( г ( Т, стационарного случайного процесса $ (1) с нулевым математическим ожиданием (т > — — О) глекуи(ий спектр (спектральную функцию) т Гт()ь>)=-~$(Г)е ' 'г(1, (2.3.38) 0 а также периодограмму, определяемую формулой Бг (а) = ) Гг 0 со) ~Ч Т, (2.3.39) Записи (38) и (39) носят формальный характер. Текущий спектр и периодограмма являются случайными функциями частоты: для разных реализаций одного и того же стационарного процесса $ (1) конечной длительности Т они изменяются случайно от одной реализации к другой. Некоторый физический смысл и значение периодограмме придает следующее утверждение: если выполняется условие ~ 1«Я(т)(йт(оо, то справедлива формула >>(а')= 1пип — М(! гг (1«>) 1').
(2.3.41) г Т Докажем это. Запишем правую часть выражения (39) в виде двой- ного интегралш Вг(м)= — $ Б(ч>)е и"'> с(т>~я(т )ек ялт,— и т3 гси = — Ц~( )$(~) т ~ о тт М(5т(о)))= — ( ~)с(то — т)е-)е)т* ")г(тог(тд. т3 о о Сделаем в интеграле справа замену переменных (рис. 2.21) т = '22 — тд. Го = (тд + *2)Ж (тя = (о + Я(2~ тд = (о — т12). Учитывая четность корреляционной функции (2.2.28) и выполнив интегрирование по т„ получим т т цт)/2) МРт(о)))= — ~ й(т)е-1'Ж ~ )(го —— ! т — т ) т))2 т.
Т ) )11 = ~ (1 — — ~ Н (т) е )о'то(т = ~ )с(т) е — 1 'Дт— )" ) — т т — — ~" ! т()С(т) е — )е'г(г. 1 т 1 (2.3.42) При Т-ь оо первый интеграл стремится к спектральной плотности (3), а второй к нулю, так как согласно (40) подынтегральное выражение ограничено. Этим завершается доказательство формулы (41). Отметим попутно, что из (41) следует свойство неотрицательности (10) спектральной плотности. Так как 5т (о)) неотрицательная величина, то ее математическое ожидание также не может быть отрицательным.
Формулой (41) часто пользуются при вычислении- спектральной плотности различных импульсных случайных процессов. Следует иметь в виду, что в ней нельзя менять местами операции интегрирования и перехода к пределу. т тт т Т Отметим, что если для корреляционной функции стационарного процесса выполняется условие аргодичности, то для спектральной плотности вргодическое 4)ис. 2.21. Область интегрирования 148 Возьмем математическое ожидание от обеих частей этого равенства и учтем, что, во-первых, в данном случае допустима перестановка местами операций математического ожидания и интегрирования и, во-вторых, корреляционная функция стационарного процесса удовлетворяет условию (2.2.25), т. е.
д)с (г„го) = К ()2 — )д). В результате получим свойство не имеет места. При увеличении длительноети реализация Т периодограмма 5г (ы), являющаяся случайной величиной, ни в каком веронтгостном смысле не сходится к какому-либо определенному пределу'и поэтому не может быть использована в качестве оценки спектральной плотности. Пользуясь формулой (3.2.2), можно показать, что для гауссовского стационарного процессе $ (Г) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
