В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 31
Текст из файла (страница 31)
По формуле (32) находим спектральную плотность Я(а) ~ К (т) К () 1е1Л„ Подставив сюда 1 К (г) = — ~ Яе(а'] е"а тоаи и переменив порядок интегрирования, получим 1 (' Я (а) — ) Зе (в — в') Зе (в') г(а' 1 — Ят(а') Я (а — в') г(в'. 2п,) Б частности, спектральная плотвоать процесса т) (1) ех (() будет определяться формулой 1 Я (а) = — Я (а') 3 (а — а') Ыв'. ч 2и Интегралы, фнгурируюшиа в формула (60), называются инпыгрпламя сеераки дауа функций 81 (в) и Зе (в) или престо сверткон двух функций Яг (а) и Зт (эг), Таким образом. спвитральвая плотность произведения ануа некоррелированныл 153 т,) /гбгу / т ~ггг/ / l т () а) ) ~~~~ т(т/» /2® Щ~ /у аг Ь/ ах Рнс.
2.23. К вычислению ии/еграла саер/кн двух функций )/(1) и )з(() Нетрудно убедитьея, что если (/ (() н (т (() равны соответственно нулю вне интервалов (ат, Ьт) и (аз, Ьз) (рис. 2,23, б), то функция ) (Г) равна нулю зне ин. терзала (о/+ аз, Ь„+ Ьз). Если (е (г) есть прямоугольный импульс: )з (() ! при 1 г ( ( о и (з (() = О при 1 ( ! ) а, та .ч-« 1 Г 1 ((О ) 1/(т) )г (г т) /(т= — ~ 1(г) лт (2.3.62) 2с ) / г 2а / — а представляет еобой «скользящее среднее значение« функции ) ((), Пример 2.3.3. Текущий спектр «тамно//ари«го проц«оса. Пока/кем, что спектральную плотность 5 (/а) стационарного з широком смысле процессе $ (() с коваризционной функцией К (т) для достаточно больших Т можно определить через текущий спектр (36): "( д 3()=М( — (Р,П )(~, (2.3.63) Модуль текущего спектра согласно (38) равен гг 11 рт ()з/) )з = рг ()е/) рг П/о) = 1 ~ 6 (С) 6«(Р) е 1"" / ) /((/Ы'.
Ъо Отсюда находим д — (гт()ш))з=~$ (() й«(т) е )и и г) /((+~6 (т) з«(г ) е-)и<у-/'1,2, з з 154 стационарных в широком смысле случайных процессов равна интегралу свертка спектральных плотноотей перемножаемых процессов. Вычисление интегралов свертки вида / (г) = )/ (() ' )« (г) = ~ )/ (т) 1« Š— т) /(т часто упрощается, вели воспользоваться еледующнм приемом: Образуем функцию ) ( г) н переместим ее вправо по оси т на величину ((рис. 2.23, а).
Площадь, получевная перемножевием функций (т (т) и ( (( — т), дает функцию, определенную интегралом (61). Взяв математическое ожидзние от обеих частей етого равенства, получим д М ~ — (»чг()м) (з~= ~ К (т) е Пю пт-(-~К(т') е )"~ »(т' ~ дТ -г о г К (е) е )ет»(т. -т (2.3.64) Полагал здесь Т достаточно большим, приходим к формуле (63).
Пример 2.3.4. Спектральная плотность случайной последовательности взаимяо пезависямых импульсов. Случайный процесс $ (Г) представляет собой последовательность импульсов в общем случае разной формы, следующих друг ва Уз Уа»г Рл Г3 Р -772 т, Рис. 2.24. Случайная последовательность иепере. крывающихся импульсов (2.3.66) Очевидно, что если неперекрывающиеся импульсы воздействуют на какую- либо инерционную систему, го на выходе системы, кан правило, получаются перекрывающиеся импульсы. В случайной последовательности перекрывающихся импульсов условие (65) не выполняется для всем или чаоти импульсов, т. е. „+т„„)йю р бт, Оказывается, что для ряда импульсных олучайныв процессов проще сразу вычисли«в спектральную плотность, а не корреляционную функцию.
Наоборот, корреляционную функцию следует находить из обратного преобразования Фурье от спектральной плотнозти (20), Вычислим спектральную плотность стационарной последовательности взаим. но независимых неперекрывающихся импульсов, пользуясь формулой (4!), в которой Т/2 Ртй'ю)= ) ч(г)' — пз (2.3.66) 166 другом через некоторые промежутки времени. Еоля форма импульсов извеотна, го случайными могут быть отдельные параметрм импульсов: высота илн «амплитуда» Ат, длительновть т„, время появления Г, и др. (рио. 2.24).
Случайные импульсы могут быть неперекрываюшимнся и перекрывающимися. Под перекрытием импульсов понимается возможность полного или частичного наложения разных импульсов друг на друга. Если в случайной импульсной последовательности никакиа два импульса не налагаются друг на друга, то зто есть последовательность яеперагрмвающихся импульсов, В последовательности неперекрываюшихся импульсов отдельные импульсы должны иметь конечную длительность х,.
Условие отсутствия перекрытия импульсов можно определить неравенством (»+т (( +г» я=0,1,2„... — спектральная функция у«еченнол Р«ализакии импульсного случайного процесса $ (Г), т. е. реализации на конечном временном интервале ( — Т>2, 772] относительно произвольно взятого начала отсчета времени. Пусть усеченная реализация ч (!) содержит п импульсов.
Пронумеруем отдельные импульсы в порядке их следования на оси времени. Если г — момеат времени начала ч-го импульса, то — Т/2 < Г! < Г« < Г» « ... Г„ ! < Г„ < < Т>2. Отметим, что длительность интервала Т завйсит от и, т. е. Т = Т„. Если через 6 = Г ! — Г обозначить длительность интервала между двумя соседними импульсами, то « Т„= ч)'„6,. (2.3.67) »=! Произвольный одиночный импульс последовательности обозначим через А,з (1 — Г, т„), где з„(1, «„), г ~<1 <1, +х„ з (! — 1, т ) = «+ н.
» (2.3.68)' где Г>()ы, т )= ) з,(Г, т )е !в~>ГГ (2.3.70) — спектр типового импульса последовательности. Очевидно, что квадрат модуля спектральной функции равен 1(рг()ы))с=рт()ы) Рг()>е) = 156 Предполагается, что функция з, (1, ч ) является детерминированной. Чтобы по- нятие «амплитуды» А, имело смысл, примем, что максимальное значение з«(6 т„) равно единице. Следовательно, случайный харантер рассматриваемого одиноч- ного импульса заключается в том, что его «амплитуда» А, длительность т, и момент появления 1 являются случайными величинами. Сравннтельно просто и математически корректно можно выполнить вычис- ления по формуле (41) при следующих предположениях относительно парамет- ров импульсов н всей импульсной последовательности.
1. «Амплитуда» А и длительность импульса т не завися! от интервала д, е между соседними импульсами. Совместная плотность вероятности случайных величин А, и ч, з также плотность вероятности 6 не зависят от времени и одн. иаковы дла всех нцпУльсов последовательности, т, е, Рз (А„ч„) = Р (А, ч), Р (6«) Р (т!) прв разных значениях ч. 2. Параметры разных ампульсов А„и ч, а также 6, взаимно независимы, т. е, случайные величины А, г, 6», и = 1, 2, ..., и, н А„, ч, дв, Р=1, 2„,, л, прн р чь ч независимы.
Во многих практических задачах параметры импульсов последовательности оказываются зависимыми. Спектральные плотности таких последовательностей импульсов часто можво вычислить с помощью теории марковских пронессов (! 71. Представим раесматриваемую реализацию ч (!) случайных неперекрываю- щихся импульсов в виде суммы С(Г) = ~~ А„з(! — Г, т ), «=! Подставив зго выражение в (66), имеем « Рт (1«е) = ~~. А Р! ()в, т ) е (2.3.69) «=! в з = Х ...) '1 Ав~(()ы тт)~ ()ы' тв)е н=(т=! где через г* обозначены комплексно-сопряженные функции, При вычислении математического ожидания выражения (71) необходимо иметь в виду, что число импульсов л растет с увеличением длительности реализация Т н, следовательно, нельзя независимо и произвольно задавать величины Т и л.
Если задаться постоянной длительностью реализаций Т = сопя(, то будет случайным образом изменяться число импульсов л в разных реалива. цнях. Наоборот, если считать число импульсов л фиксированным, то при статнвтическом осреднении по полному ансамблю реализаций в общем случае нужно учитывать различные длительности Т равных реализаций, Поступим следующим образом. Будем пока считать число импульсов л фиксированным и вычислим сначала условное математическое о)кидание М (! Ет ((ю) 1з( и). Тогда можем написать и а М() гт()а) (~( л)= ~Ч~ 'т' М(А А„рг()ы т ) л*()ы т ) )" (~н-~т)) и=! ~=! По предположению случайные параметры импульсов А, т и д для разных импульсов взаимно независимы.
Если в двойной сумме выделить л одинаковых слагаемых с равными индексами (м т) н л (л — 1) слагаемых с разнымн индексами (р ~ т), го с учетом ранее принятых допущений получим М (!Рг () ы)/з ! л) =л М(А' (Р! ()ы,т))!)+М (А Р,()а, т )) Х и ь )(М (А„Р',() ы. „)) ~ ~ М ( '"( 'н " )) и=! 1 (вч ч) Из рассмотрения рис, 2,24 находим рв ( (в -(ч) )г ехр ()ы(б +бв ! + ...+бт+!)), р ) т, гхр( — )(а (б„+б ! + ...+()» ь!)), м ~ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
