В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 30
Текст из файла (страница 30)
4 2,б) предельная плотность вероятности (при Т сь) случайной величины ч 5 (ы) является зкспоненциальиой рч (у) =ехр ( — у/5о (ш))Иа (ы), у) О. причем математичесное ожидание и дисперсия равны соответственно т иа = 5 (ш), 0 = 5' (ы). Отсюда следует, что увеличение длительности реалипи зацни не позволяет уменьшить дисперсию, она всегда остается конечной при любой частоте, для которой 5а (е) Ф О. Поэтому сама величина 5г (в) не может служить разумной оценкой спектральной плотности. Аналогично спектральной плотности 54 (ю) одного процесса $ (1) определяется взаимная спектральна плотность двух стационарно связанных случайных процессов й (Г) и Ч (1) как прямое преобразование Фурье от взаимных корреляционных функций 5;ч(ш)= ) Кьч(т) е-1~т г(т=Ячз(ю), (2.3.43) На основании обратного преобразования Фурье можем написать Кйч (т) = — ~ 51ч (ю) е1"'Ьо.
(2.3.44) 1 2п Полагая здесь т = О, имеем — 1 51ч(ю) "ю=Кьч(0)=М(~(1)т1*(1)), (2,3,45) 2п,1 Если $ (1) есть случайное напряжение на каком-либо элементе устройства и Ч (1) — ток, протекающий через этот элемент, то величина Кзч (0) равна средней мощности, выделяемой на данном элементе. Если процессы $ (1) и т) (1) ортогональны (2.2.10), то Веч (ю) = 0 и наоборот. В этом случае согласно (2.2.45) имеем о а+ и (ю) = о Е (ш) + оч (ш), (2.3.46) Отметим, что в отличие от спектральной плотности одного случайного процесса, которая является действительной функцией частоты, взаимная спектральная плотность двух стационарно связанных процессов является обычно комплексной функцией частоты.
Рассматривая спектральные плотности 5 1(ю) и 5ч (ш) стационарных центрированных процессов $з (1) и Ч,(1) на выходе идеального узкополосного фильтра (см. риа. 2.17) и пользуясь частным случаем неравенства (2.2.16), а именно Я ее (0))з ( )т е (0)гт ч (0), нетрудно доказать, что взаимная спектральная плотность при каждой частоте удовлетворяет неравенству ) 51ч (ш))а51( ) 5ч(ш). (2.3.
4?) 149 Если спектральные плотности 5т (а) н 5, (а) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то иногда вводят в рассмотрение функцию частотной когерентности между процессами $, (1) и 11, (Г) 122): т1л (а) = (51 ч (а) !в(51 (а) 5„(а), 0 ( у~в (а) ( 1. (2 ЗА8) Функция частотной когерентности аналогична квадрату нормированной взаимной корреляционной функции стационарно связанных процессов Примеры определения спектральных плотностей Рассмотрим несколько примеров вычисления спектральных плотностей.
Если корреляционная (ковариационная) функция стационарного процесса известна, то нахождение спектральной плотности процесса сводится к формальному вычислению прямого преобразования Фурье по формулам (1), (3) или (32), (33). Так, например, воспользовавшись формулой (ЗЗ), находим спентральиые плотности случайных процессов с корреляционными функциями (2.2.66), (2.2.70), (2.2.76) и (2.2.84): 5(а) = 2 ~е-в" соватйт= 4Л[(2Л)'+ав) ' 5(а)= 2 весЬ Лт сов Лт сование = = — ~весЬ + весЬ л Г л(а — Л) л(а+Л)~ 2Л ~ ях вХ т (2.3.49) (2.3.60) Я() 2~(3 — — ) ~ =т! л~ лиц лле (235л гтч (т) 17тл (т)Г ~-~$ 7)л Если процессы $е (1) и Пе (1) не коррелированы, то функция коге рентности равна нулю; при линейной связи между процессами она рав на единице. Действительно, пусть стационарный в широком смысле процесс $, П) ееть процесс на входе линейной системы о постоянными параметрами„а П (Г) — процесс на выходе линейной системы.
Для стационарного состояния, когда справедлива формула (7), получим !К Па) РЗ„(а) тй(а) =, =1. 51 (а) ~ К Ва) Р Бг (а) Следовательно, функция частотной когерентности может принимать промежуточные значения между нулем и единицей, когда процессы $, (Г) и П, (1) связаны нелинейной зависимостью или когда выходной процесс П,(Г) определяется нетольковходным процессом й,(Г), ио и какими-либо другими воздействиями.
В случае линейных систем величина П вЂ” у(„(а)) служит мерой той ~асти дисперсии процесса Пе (Г), которая на частоте а не зависит от входного процесса й, (1). '11 пАй Я (в) = —" ~ соз вз исоа ввс(т = — "16 (в+в )+ 6 (в — вз)1. (2 3 52) 2,) 2 При записи последнего выражения была иипольаована формула (1-24). На рив. 2.22 изображена корреляционная функция (2.2.70) и епектральная плотновть (50). Она имеет при в = Л один макаимум, равный 5 „(Л) = (тс/2Л) (1 + зеп)> я) = 1,7>Л.
Высота максимума обратно пропорциональна его положению. Однопараметричеикой апектральной плотноитью (50) илн суммой таких плотностей можно моделировать спектр речи (231. асс) Ат' а 7 2 5 4 ю а) б) Рис. 2.22. Корреляционная функция (и) и спектральная плотность (б) Лополнительные примеры спектральных плотностей, соответствующих другим корреляционным функциям, будут приведены в 32.9 и в табл. 5.2. Рассмотрим несколько самостоятельных примеров. Пример 2.3.1. Определение процесса с заданными спектральной плотностью и плотностью вероятности. Пусть задана неотрицательно определенная функция частоты 3 (ю), Нужно определить стационарный случайный процесс $ (0, имеющий 5 (ю) в качестве спектральной плотности. Приведем два метода решения этой задачи. 1.
Рассмотрим линейную стационарную систему с комплексной частотной характеристикой К Вю) = (/Ь !ю) е!в !в> Если спектральная плотность Я (ю) удовлетворяет условию физической возможности вида (5.1.3), то при надлежащем выборе функции В (ю) линейная система будет физически осуществима. Предположим, что на вход этой линейной системы воздействует белый шум и (!) о постоянной спектральной плотностью ви (ю) = = 1 (см.
й 2.5). Тогда спектральная плотность 3 (ю) стационарного процесса й (О иа выходе аиотемы по формуле (7) равна Яй (ю) 8я (ю) ) К 0ю) 5=3 (ю). Таким образом, получен стационарный пропесо $ (!), имеющий спеатральную иле~вость 3 (ю). 2. Рассмотрим квазидетерминировапный процесс вида $ (!) ш„+ А соа (о>1+ <р), (2,3.53) аде и, детерминированная функция времени; А, ю и ф — независимые елу чайные величины о заданными плотностями вероятности рл (А), А ) О, дл (ю) Р„( — ю), Р, (ф) 1/2п ф с ( — и, и), Данный пропесс является более !5! 1 = — М(Аз) ~ ра (в) созвтг<в. (2.3.54) Это выражение показывает, что рассматраваемый процесс (53) стапионзрен а широком смысле, если тилько гл не зависит от времеви.
Можно показать (24), что з втот процесс стационорен и в узком смысле. Учитывая, что плотность вероитнооти р„, (в) являетсв по условию че~ной функцией, и сравнивая выражение (54) с формулой (33), получаем, что спектралв ная плотность процесса ~з (П определяется равенством 5<в)= М(Аз) ри<в). Следовательно, если ваять рз, (в) 5 <в)/пМ (Аз), <2.3.55) то случайный процесс $з (О будет иметь заданную спеитральную плотность Ь (в).
Кроме етого, случайный процесс 5з (<) может иметь также и требуемую одномернук1 плотность вероятности, Покажем ото. По определению (1.2.!5) находим карзктеристическую функцию Ф ()д) =М (ехр <!Ад соз (в<+гр))) = ) ЛА ) О — ) ЕХр ()АО СОЗ <В<+С~)) р,! (А) ра (В) Гар= с<А ) <а (Ад) р ! (А) ри <в) йв=) /о <АО) рд (А) оА, (2.3.56) 'о о где хз (х) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Зная карактеристнческую функцию, по формуле (1.2,23) находим одномерную плотное~а веро'- ятности процесса р(х)= — ч ()6) е !охаб —,оо(А) г<А ),/о(АО) е» зо" об= о "р„(А) дА )х<<А, )/ !з «з <х! , (2.3.57) 152 обжим, чем в примерок 2.1.1 в 2.1,3. Найдеы математическоеожидание и корреляционную функцию процесса о ()), Очевидно, что матемазичееиое ожидавве равно гл независимо от вида плот.
нос!ей вероятностей А и а, ави каа ! — соз (вг +~р) йр О. 2 Рассматривая пеитрировоивый вроцесс Вр (<) й (<) — ю, аакодим аыражеы аие для корреляциавной фуницви рз <а) М (А сох <вг+гр) А сов <в! )-вч+гр))= ! — М (Аз) <соз вт+саз (2в<+вт+2ф) р, (в) г<окяр= 4п .) Заметим, что одномерная характеристическая фувкпия Ф (16) = /, (Аб) ол (А) дА ) Ге(46) — АНА с представляет кобой прямое пРеобразование Фурье — Бесселя функции рл (А) т А.
Обратное преобразование Фурье — Бесселя имеет анд Рл л(4) с ) Ф()5) 6~о (4.6) г(6. 4,) (2.3.58) с Это соотношение позволяет определить плотность вероятности случайной «амплитуды» 4 по заданной плотности вероятности р (») негодного прапеооа. Длв етого ау>кис предварительно найти характеристическую функцию, соответствующую Р (х), и затем результат подотавить в (58), Пример 2.3.2. Спектральная плотность произведения двух стационарных некорр ллрованных процессов. Пуоть случайный процесс х (Г) равен проиввеаению двух стационарных в широком сыыале некоррелнраванных процессов хг (1) н Ие (Г + те): (2,3. 59) $ (гг те) ег (Г)$х (г + ге), где те — фиксированная величина. Коварнацнонцая функция пропесаа х',(й те) равна К(т) Кг (т)К (т), где К; (т) — коварнационная функция процесса И~ (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
