В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(2.3.5) 6(х,, хз;1)= ') р,(хп хз; а)е-~"мг(т. 139 Видно, что спектральная плотность стационарного процесса с не равным нулю математическим ожиданием отличается от спектральной плотности соответствующего центрированного процесса лишь наличием дискретной линии на нулевой частоте. Имея это в виду, можно сказать, что формулы (1), (2) и (3), (4) являются равнозначными. Эти формулы были получены независимо советским ученым А. Я. Хинчииым и американским ученым Н. Винером и поэтому называются формулами Винера — Хинчина. Укажем, что спектральную плотность 5 Д) стационарного в узком смысле случайного процесса $ (Г) можно выразить непосредственно через двумерную плотность вероятности р,(хм хз; т), Лля этого введем преобразование Фурье от этой плотности относительно тп По определению К (т) = ~ ) х,хьов (х„х,; т)г(х,г(х«.
Подставив зто выражение в (1) и изменив порядок интегрирования, получим 5(7)= ) ') х,хв ) Рв(х„х„т)е-1'"1" птг(х,г(ха= хгха 6 (хм ха( 1) пхгг(ха. Поясним теперь физический смысл спектральной плотности. Если понимать под $ (1) случайный (флюктуационный) ток или напряжение, то величины 3 (1) и 5в (() в формулах (1) и (3) будут иметь размерность энергиие. Полагая в формуле (4) т = О, имеем П=)7(О)= ) Я Е37'.
(2.3.3) Эта формула показывает, что дисперсия («полная энергияв) стационарного центрированного случайного процесса равна площади под кРивой спектРальной плотности. ВеличинУ 5« Д)Н1' можно тРактовать как долю «ввергни», сосредоточенную в малом интервале частот от 7 — (г(1/2) до 7' + (г(1!2). Правомерность такои интерпретации будет дополнительно оправдана на с. 492 результатом (5.2.19): если на вход стационарной линейной системы с безразмерной комплексной частотной характеристикой К ()го) воздействует стационарный в широком смысле случайный процесс $ (() со спектральной плотностью 31 Д), то спектРальнаЯ плотность Яч Д) пРоцесса «1 (1) на выходе системы в стационарном режиме определяется формулой Яп Ч) = 8; У) ~К (12п1) Г (2.3.7) Эта формула показывает целесообразность введения в рассмотрение спектральной плотности случайного процесса.
Аналогичная формула справедлива н для детерминированных процессов. допустим, что линейной системой является идеальный полосовой фильтр с безразмерной комплексной частотной характеристикой, изображенной на рис. 2.17. Тогда дисперсия процесса на выходе такого фильтра с учетом-(6) равна 1+М/2 7уч — — ) 5ч()) г(7= 2 ~ 31(7) ф) О. (2.3,8) и-ы/т Если рассматриваемый фильтр узкополосный (Ь1 (((в) и апектральная плотность Зй (7) внутри полосы Ь( непрерывна, то 0„— Л а Д)Ь|. (2.3.9) *Но многих случаях вго не твк, например, когда ч (О описывает случайные колебания ковффипиентв усиления, случайное время запаздывания отраженного сигнала, частотные илв фавовые флюктуации сигнала и т, д, 140 и го Рис.
21т. Амплитудно-чюлотаая характеристика идеааваого полосового фильтра (2.3.1 1) Я ( 1) ~ Д(т)Е12л1тг(т Я (Г) Учитывая четность спектральной плотности, формулы (3) и (4) можно записать так: Яв(г)= ) К(с)соз2гтгМт=2) К(к)соз2гт)Мк, (2.3.12) о *Именно етим свойством оправдываются определения корреляционной и ко- еариациоииой функции комплексами процессов формулами (2.22) и (2.2,3).
141 Перечислим основные свойства спектральной плотнооти. 1. Спектральная плотнооть стационарного процесса (вещественного или комплеисного*)-неотрицательная величина: 5 Ц) ) О. (2.3.10) Это свойство непосредственно иледует из выражений (8) и (9). Если допустить, что Б Д) ( 0 в некоторой полосе частот, то дисперсия выходного процесса будет отрицательной, что невозможно. Свойство неотрицательной определенности спектральной плотности, как и аналогичное свойство (2.2.21) корреляционной функции, является характеристическим или определяющим. Его значение базируется на следующей теореме (ее можно назвать теоремой существования случайного процесса с заданной спектральной плотностью). Пусть задана неотрицательная функция Я Д) или, что эквивалентно, иеотрицательно определенная функция К (т).
Существует стационарный случайный процесс й (г), имеющий спектральную плотность 5 0') или корреляционную функцию Й (т). Одно из доказательств этой теоремы путем построения гауссовского процесса с заданной корреляционной функцией было приведено на с. 123. Лва других доказательства будут даны в примере 2.3.1. 2. Спектральная плотность стационарного в широком смысле случайного процесса есть все~да вещественная функция (поскольку К ( — т) = К» (т)), причем для вещественного процесса она является четной фуницией частоты.
Так как корреляционная функция )т' (т) вещественного процесса есть четная функция аргумента, то И(ч) = ~ 5«(0 соз 2п~т4 = 2 ~ 5з ()) соз 2пГтг(1. (2.3.13) Следовательно, спектральная плотность и корреляционная функция вещественного етационарного в широком смысле случайного процесса связаны друг с 'другом взаимными косинус-преобразованиями Фурье.
Поскольку корреляционная функция вегцественного процесса есть вещественная функция аргумента, то из(12) видно, чтоспектральная плотность является также вещественной функцией частоты. Л«Ю Рис. 233. Иллюстрзция зависимости между длительностью корре. ляцнонной функции и шириной спектральной плотности 3. Корреляционная функция )т (т) н спектральная плотность 8, Д) стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр Яз ()), тем «уже» корреляционная функция )т (т) и наоборот (рис. 2.18).
Этот результат количественно выражается в виде прапципа или соотношения неопределенности. Поскольку соотношение неопределенности носит весьма общий характер, то докзжем его в общем виде, не связывая поки с норреляционной функцией и спектрзльной плотностью. Пусть з (Г) — некоторая абсолютно интегрируемая вещественная функция времени вместе со своей производной з' (1) = оз (11!ой прнчем з (т) достаточно быстро убывает нз бесконечности (по крайней мере зз(б О прн г -ь со быстрее, чем возрвстзет ! П).
Обозначим через Е,((ы) преобразование Фурье фуниции з (О: 1 Е, (1ы) = ) з (1) е 1ш оц з (1) = —, Г Р, (1«з) е1~ см. (2.3.14) 2п,) Известно, что для двух вззимных преобразований Фурьесправедливо равенство Пврсеваля зз(Е)дт= ) (Е«((ш)1«бм=Е, (2.3.15) где Š— ввергни сигнала з (б. Условимся, квк и в (2 2.33), кврзктеризоввть «длительность» вещественной функции з(т) величиной т, ) О, определяемой формулой «=1 «-~~'иеа/ 1 згй 7- 1 иеа/ 1 'ии. «з|п 142 Аналогично определим «про!яженностьз функцви Р, (/ш) по чаатоте величиной Ав ! »ч-1 ! -з)'!». ° 11»» ! !».«»» .«=«»ьу.»ь Здесь м О в силу того, что для вещественных функций (сигналов) спектральная функция Р«()в) симметрична относительно начала координат. Поскольку модуль ! Р, (!«м) ! ае зависит от смешения во времени, то в (16) можно положить /= О. Имеет место следующее соотношение неопределенности! и, А/») 1/4п, Ь/,=Лв,/2а.
(2.3.18) Докажем его, Полагая в выраженняк (16) н (17) г =. 0 и а = О, имеем !!/2 / ,— ! т„дм„=~ ~ /« за (/)»(/ ) мз ! Рв ()м) (з»/м~ ~ ) ! Р«()ш) !" »/в~ ° (2.3.19! Известно, что )» з' (/) е !»»~ »(/= )мР, Пм). Согласно равенству Парсеваля можем напвсать (/)!'»"/= ) ю'(Р. (рл)!'с!ю. С учетом этого равенства выражение (19) првнимает вид »» 11/2 / ! «» С»с,=~ ! Ы зз (/)»(/ ! (з' (/))з»// ~ ~ ~ ! Р, ()м) )з»(в~ 1/ Д вЂ” 1 т,Ьм,) ) !з(/) з' (/)»(!~~ ~ )Р,()м) )зг(е) (2.3.201 Если здесь выполнить интегрирование по частям (и = !, Ло з (Оз' (/)»/О, учесть при этом указанную выше быстроту убывании зз (О на бесконечности, а также равенство (15), то получим требуемый результат (18): т»Ла«) 1/2.
Из (11-9) следует, что в выражении (20) имеет место знак равенства, если з'(/) = ал (/), т, е. при з (/) = С ехр (а/'/2), С = аопз(, а = аопз1 ~ О, (2.3,21) Безразмерную величину т, Ь/«иногда называют базой сигнала. Импульс гауссовской формы (21) карактерен тем, что для него бава сигнала минимальна в рав нв 1/4п, Для сигнала любой другой формы бава может быть только больше этой величины. Повторив приведенные выше рассуждения, нетрудно убедизьоя, что соотношение неопределенности (18] применимо к корреляционной функции и спектральной плотности стационарного процесса, если выполняютси сформулированные выше условии (в чаатности, /«з (т) ~ О при т ~ й-~ быстрее, чем возрастает ! т !).
0»но примет вид <2.3.22) ив Л!э) 1/4л. где «„— алема корреляции процесса (2,2.36); 143 Применим к первому сомножителю в правой части, заключенному в квадратные скобки, неравенство Шварца — Буняковского (П-8), поло!кив / (/) = з' (/), 9 (/) = '/з(О: (т — т) 11» (т)с1т ~ «1«г (т) с1т «г— «= к 11> (т) ат ) 11» (т),1« Ь1 — аффекта«ноя ширина спектральной плотности; (1 1) Яг ()1П1 ) 13> 111 л( а )«в 7= (2.3.23) (2.3.24) хо (1) п( 3; (йа1 Для вешественных случайных пропессов 7 = 0 в силу равенства (!11.
Рис. 2.19. Соотношение между односто. Рис. 2.20. Эффективная ширина а), ранней 5,', (Д н двусторонней Яо(1) и ширина спектральной плотности на спектральными плотностями уровне 0,55» Д1 Заметим, что во всех предыдущих формулах спектральная плотность Яо (7) опРеделена длЯ положительных и отРицательных значений частоты, причем согласно (11) для вещественных случайных пропессов 5о (1) = оо ( — 1).
В отличие от такого двустороннего «математического» спектра введем односторонний «физический> спектр БХ д), отличный от нуля лишь при положительных частотах 7 ) О (рис. 2.19): 3о Ч) = Зе ()) + Ба ( — ~) = 23о Ч) (2 3 25) Тогда из (12) и (13) получим следующие окончательные формулы Винера — Хинчина: Б+(У)= 4 ~ К(т) соз2п7тс(т, )) О, (2.3.26) 1( (т) = ~ 3+ (Л соз 2пУт4, 7') О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
