В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 23
Текст из файла (страница 23)
За основу определенний эргодичности принят следующий факт. Аналоги соответствующих вероятностных характеристик процесса определя'отся временным осреднением реализации за конечный интервал времени (О, Т) и затем устанавливаются условия, при которых дисперсия получающихся временных средних зна» чений стремится к нулю при Т-» оо. Стационарный случайный процесс Е(1) обладает эргодическим свойством относительно математического ожидания, т. е. 117 (2.1.78) М (Е(1)) =и«= Иго — 1 $(1)М, г 7,1 о если и только если выполняется равенство т 1пп — 1(1 — т )Д«(т)йт=О, (2.1.79) т Т)1 Т! а где )7 «(т) — корреляционная функция процесса.
Стационарный процесс Е(1) обладает вргодичвским свойством относительно корреляционной функи,ии, т. е. т )т«(т) = Игп — ( (Е(1) — т«) (Е(1+ т) — т«1 й(, (2Л.80) т Т если и только если выполняется соотношение г Ит — ( 11 — — 1)сч(т')йт'=О, (2.1.81) т т,"~ т7 а где )сч(т') — коререляционная функция процесса т((1) = Е(1+ т)Е(1). Стационарный процесс Е(1) обладает вргодичгским свойством от- носительно одномерной функции риспредгленил р (х), т.
е. г" (х) = Иш — ~ т((1) й(, т1 (1) = ~ г 1 0 при $(1))х, (2.1.82) т Т г' [ 1 при $(1)(х, а если и только если выполняется равенство* т Ит — ~ (1 — 1 (р,(х, х; т) — р1 (х)) йт = О. (2.1.83) т-, Т,11 Т1 о Заметим, что'для выполнения равенства (79) необходима стационар- ность процесса $(1) лишь в широком смысле, а для выполнения соотно- шений (81) и (83) — стационарность в узком смысле. Условия эргодичности процесса налагают дополнительные требо- вания на вероятностные характеристики стационарного процесса.
По- этому не всякий стационарный процесс является эгродическим (в том или ином смысле). Например, рассмотрим случайный процесс $(1) = Асов(соз(+ Ч~), где амплитуда А и начальная фаза ~р — независимые случайные ве. личины, принимающие различные множества значений для разных 'Это равенство, конечно, выполняется, если 1нп с (х, х; т) = На, (л), т. е. если случайные величины $ (1+ т) и Е (1) оказываются независимыми для больших т. Равенство (79) заведомо выполняется при 1ип й (т) = о, т, е.
ко1да $ (т+ т) н я (О при увеличении е становятся некоррелированными, 118 реализаций. Если фаза чг равномерно распределена в интервале ( — и, и), то математическое ожидание и корреляционная функция (рассчитанные осреднением по ансамблю) равны тг —— О, )тз(т) = М (Аг) х х сов (агат)!2. Следовательно, процесс $(1) стационарен в широком смысле. Однако он не будет эргодическим, так как упомянутые характеристики, рассчитанные осреднением по времени, будут другими: и[ = = О, гх1 (т) = (А52) соз ыгт, где А, — одно из возможных значений, принятое случайной величиной А в рассматриваемой 1-й реализации, с использованием которой выполняется временнбе осреднение.
Изложенная выше классификация случайных процессов (последовательностей) наглядно показана на рис. 2.5. Каждый из перечисленных частных видов случайных процессов, в свою очередь, можно дополнительно классифицировать в зависимости от формы частных характеристик, описывающих процеса. Например, за основу классификации можно принять вид корреляционной функции (широкополосные и узкополосные процессы), характер плотностей вероятностей (гауссовские, негауссовские и другие процессы) и т.
д. Такая классификация будет приводиться позже, при рассмотрении частных видов случайных процессов. 2.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ На с. 108 указывалось, что при решении практических задач часто оперируют с математическим ожиданием и корреляционной или ковариационной функцией случайного процесса. Их определения для действительного случайного процесса даются формулами (2.1.31)— (2.1.34). Для комплексного случайного процесса Ч (1) аналогичные формулы имеют следующий вид: т; (1) =.- М Д (1)) = ) хр (х; 1) дх, йз (1„ 1,) = М ([~ (1,) — тг ((,)1 [$' ((,) — лг1 ((г))) = [хг — лге ((г)1 [хг — гл[ ((г)[ ог (хг, хг', (и (г) дхг Нхг, (2.2.2) Кг(1„(г)=М(з((г)$ ((г))= ~ ~ х,хгр,(х„х,;1п1г)(х,йхг= = йг ((1 1 )+ щг(11) ть((г) (2.2.3) где звездочкой отмечены комплексно-сопряженные функции. Очевидно, что соответствующие определения и результаты для вещественного процесса получают отсюда автоматически, положив мнимую часть соответствующих случайных величин равной нулю.
Из последней формулы видно, что ковариапионная функция отличается от корреляционной наличием детерминированного слагаемого глг(1,) тг (1,). Если математическое ожидание процесса тг(1) О, то коаариационная и корреляционная функции совпадают. Поэтому 119 ковариационная функция по сравнению с корреляционной содержит дополнительную информацию лишь о математическом ожидании случайного процесса.
Значения случайного процесса Е (!) в рассматриваемые моменты времени (1 и !2 называются некоррелированными, если !г 2 (1„!2) = О, т. е. К 2 (И1, ! ) = т 2 (! ) п12 ((2). (2.2.4) Рассматриваемые два значения называются ортогональными, если К Ф ((1, (2) = О. (2. 2.5) Пусть имеются два не обязательно действительных случайных процесса в (!) и ч (!) с корреляционными функциями к! (1„!2) и )1„(!„ !2) или ковариационными функциями К2 (1„12) и К„(1„!2) соответственно.
В дополнение к ним теперь можно рассматрйвать две взаимные 'корреляционные или ковариационные функции )~$Я (~1~ (2) М (12( 1) п1$ (~1)1 1Ч (~2) 1'1ч (!2И) )2чг ((1~ (2) ™ (1ч ((1) п12 (!1)1 122* (!2) — т2 (!2)!) (2.2. 6) или КВ1 (!ь (з)=й! 6((1) Ч*(!2))г К22(11 !2)= й( ("!((1) $'(!2)) (2 2 7) Следовательно, корреляционные свойства между выборочными значениями влучайных процессов $ (!) и Ч(!) в два различных момента времени задаются корреляционной или ковариационной матрицей !'Н~й ~2)ЛИ(! ~) 1 1' К~(~ ~~)КЬ( !)1 )4ч2(!1~ (2) !(ч(!1~ !2), "К22 (!1 !2) Кч(!1 !2) В общем случае, если нужно задавать корреляции (ковариации) для двух процессов в п моментов времени или для совокупности п разных процессов в два м(змента времени, то потребуется корреляционная (коварнационная) матрица размером и х и. Два случайных процесса $ (!) и Ч (!) называются некоррелированными, если взаимная'корреляционная функция для двух произвольных моментов времени равна нулю: Йтч((„!2)=О, т.
е. г(2ч(1„!2)=т2(!1)тч" (1,). (2,2,9) Процессы 2 (!) и В (Г) называются ортоеональными, если ковариационная функция равна нулю: К,ч(!1, !2) = О. (2.2.! О) Разумеется, что применительно к случайным процессам остаются справедливыми результаты (1.3.7!) и (!.3.72), дающие физически наглядную интерпретацию корреляционной функции. В ряде случаев оказывается целесообразным вместо )г 2 ((„!2) или !1 2„((„(2) рассматривать соответственно нормированную корреляционную функцшо гг(!1, й) или нормированную взаимную корреляционную функцию Г2 (!1> !2) = Я! (!1, 12)Я' ):!! (!1) ):!! (!2), (2.2.! 1) !20 г~ч (!о !.,) = йьч (!„1,)ф Вз (С,) 71„(тз).
(2.2.12) Эти функции количественно характеризуют степень линейной зависимости между соответствующими значениями одного или двух процессов. Перечислим основные свойства корреляционных функций. При этом следует иметь в виду, что й!((и ГД=РЫ((„тз), г;(!и т,)=гм((ь (,). (2.2.13) Поэтому все свойства взаимной корреляционной функции Язв (Гм т,) распространяются на корреляционную функцию !с'т (Гм (,). !.
Корреляционная функция обладает (так называемым эрмитовым) свойством йзч И, (з) = Ка (1, т ), гтч И, !з) =гчт И., (г) (2 2 14) В справедливости этих равенств можно убедиться на основании определения взаимной корреляционной функции (6). Отсюда следует, что корреляционная функция вещественного процесса $ (!) является симметричной относительно своих аргументов: )~з(! ° (з) = !ть((м !т). (2.2.15) 2. Лля корреляционной функции справедливо неравенство Коши— Шварца ! %1ч И» гд ! ~~ Ь( (! Е Иа) ! ) ь! (! т! Из) ! ) = 7!! А) 7!ч (!з)» ! ггч Иь Гт)! ( 1. (2.2.! 6) Пусть математические ожидания процессов $ (!) и ц (!) равны нулю и Х вЂ” вещественная переменная. Тогда из очевидного неравенства м(! уг,)+ М;„(1„1,) п(1,) !',) > 0 имеем Ь((6(!!)+) %ч(!! (д Ч(!2))(В ((1)+ькзч ((т !ь) т! (г2))) = = М (! $ (Г ) ! + !" (х'зч (гп (а) Г А) т! Ю+ Йзч (! !з) $ (! ) П* ((т)! + + )' Я; (!и ! ) !' ! и (и ) Г) = М (! В (! ) !') + 2! Я: (1, г ) !'+ + ).'! К, (1и !з) (з И (! и(!Д !') ~ 0.
Этот квадратный многочлен неотрицателен для любого Х. Поэтому дискриминанг этого квадратного уравнения не может быть положительным, откуда и еледуют неравенства (!6). 3. Равенства ! гс!я И~ (г) ! = )~ В! ((Д Е>т (Сз), !гзч (!» (Д ! = 1 (22.17) имеют место тогда и только тогда, когда существуют такие поатоянные числа а ~ О и Ь, что рассматриваемые значения случайных процессов с (1,) ип ((,) е вероятностью единица связаны линейной зависимостью т! (!з) = а $ (1Д + Ь. (2.2.18) !2! [у е Для доказательства этого факта воспользуемся выражением для нормированной взаимной корреляционной функции (12) в следующем виде: Гг (гь !)=М(Г(г )и (()), (2.2.!9) где Г(!) и т[ (!) — нормированные случайные величины: Е(!)=[вЯ вЂ” те(!)[!)е0~Я, т[(!)=[и(!) — те(!)[Д~ О„(!).
(2,2,20! Если выполняется условие (18), то е (Е,! — т, (ед) а($*(О) — т„" (О)) а ] а-, 0 г! ч ((м (г) = М )lеОг(й) [а[1 беРд ! [в[ — 1, а(0. Предположим теперь, что [геч ((и г,) [ = !. Пусть, например, процессы $ (!) и В(!) вещественные и ге„((ь (,) = !. Тогда М (Д ((г) — й((е)! ') = 2 [1 — ге е ((е (е)[ = 0 Но дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда с вероятностью единица рассматриваемая величина является постоянной, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
