В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Аналогично тому, как оценивается длительность импульса, вре- 126 (2.2,38) где ! т= ( тр-„'(т) дт( ( р (т) дт. При таком определении т„аналогично среднему квадратическому отклонению относительно «среднего времени» с. Таким же образом можно определить интервал корреляиии для однородного поля. Так, если ориентироваться на выражение (37), то Лг„= — ~ ~ р! (Лг) ) ~((Лг), 2« (2.2.39) где р1( Л г) — нормированная корреляционная функция, и интегри- рование выполняется по и-мерному объему.
Лля двумерного одно- родного поля $ (х, у) интервалом корреляции является плошадь (Лх Лу)„= — ~ ~ ) р» (Лх, Лу) ! Н(Лх) д(Лу), (2.2.40) 1 Левую часть этого равенства можно представить в виде произведения (Л х Л у)„= Лх„Лу„, где Лх„и Лу„— интервалы коррелящ и вдоль координатных осей х и у, определяемые по формулам вида (37). Отметим, что взаимная корреляционная функция двух совместно стационарных в широком смысле вещественных случайных процессов 5 (1) и Ч (1) является вещественной и не обладает свойством симметрии: если $ и 1) поменять местами, то Йгч (т) = 7«ч; ( — т), г»„(т) = гч; ( — т), (2.2.41) Полезно иметь в виду неравенства, ограничивающие абсолютное значение взаимной корреляционной функции: )71„(т)(Р»(0))7ч(0)=Р»Р, 2)Ягч(х)( Р»+Рз.
(2,2А2) 127 мя корреляции можно определить по-разному. Так, можно условиться для коэффициентов корреляции обоих типов под временем корреля!(ии т, понимать величину ч.= — ~ 1рз(т)1(т=~!р«(т)!!(т. ! г (2.2.37) а Геометрически т„равно основанию прямоугольника с высотой р! (0) = = 1, имеющего ту же площадь, что и площадь, заключенная между кривой ~ ре(т) ~ при т) 0 и осью абсцисс (рис. 2.7, а). Время корреляции т«л можно определить иначе: как длительность функции ~ р! (т) ) при т)л 0 на уровне 0,1. Иногда время корреляции целесообразно характеризовать величиной т„, определяемой формулой Эти еоотношения следуют из очевидного неравенства, аналогичного приведенному на с.
!24: М(Д(Г)+Рл~((+ г)[о) =Из(0)+2)Я~ч(т)+).ой„(0)) О, где Х вЂ” произвольная вещественная переменная, и принято, что математические ожидания процессов $ (г) и Ч (г) равны нулю. Укажем некоторые простые свойства, корреляционных (ковариапионных) функций.
Ковариационная функция суммы двух стационарных и стационарно связанных в широком смысле случайных процессов з (() и т[ (() (2.2 44) т )т~(т) = Й ~ з(Г) э0 — т) ой. (2.2.49) о Здесь 7' — интервал времени, на котором иаолюдается сигнал, А — постоянный коэффициент, т — временной сдвиг сигнала. Функция )т, (т) характеризует степень .вязи (корреляции) вигнала со своей копией, сдвинутой по времени на т, и обладает некото- 128 ~(г) = $(~) +ч(1) на основании определения (7) равна КС (т) = М ([о (Г) + Ч (1И [с' Д + т) + Ч' (Г + т) Ц .= = Ко(т)+ Ко (т)+ Кзо (т)+ Кга(т).
Если процессы $ (() и Ч (Г) ортогональны (10), то К,(.) = К;(.)+ Кч(.). (2.2.45) Приняв математические ожидания процессов з (г) и Ч (Г) нулевыми, получим, что формула (44) будет справедливой и для корреляционной функции. Ковариационная функция произведения двух указанных процес- сов не может быть выражена через двумерные моменты этмх процеа- сов. Однако евли процессы $ (() и Ч (г) независимы, то случайные вели- чины $ (Г) и $ ((+ т) будут независимы в Ч (г) и Ч ((+ т).
Поэтому для независимых процеваов К, (т) = м ( й (г)ч (()1 [с* (г + т) + ч* (г + т)1) = = М Д (()Г (( + т))М (т[ (Г)Чо (( + т) ) = К: (т)К „(т), (2.2.46) 1 (() = $ (1)ч (1). Если ь (г) = а (1)$ ((), где а (() — детерминированная функция, то Кт (гм 8 ) = а ((1)а" (цо)Ко (т). (2.2.47) Отметим, что в задачах оптимального приема импульсных сигналов з (1) на фоне помех приходится иметь дело а операцией г (г, (т) = [о ) з (()з" (1 — т)аг (2.2.48) о или для сигналов з (С), являющихся вещественными функциями вре- мени, рыми свойствами корреляционной функции (она имеет наибольшее значение при т = 0 и убывает а увеличением т).
Поэтому функцию )(, (т) часто называют корреляционной функцией детерминированного сигнала. йналогично можно определить взаимную корреляционную функцию между двумя детерминированными сигналами з, (г) и з, (г): т Й„м(т) = гг ~ зг (г) зз (г — т) г(г. (2.2.50) о Рассмотрим несколько примеров вычисления корреляционных (ковариационных) функций !17, 20, 21). Пример 2.2ЛЬ Корреляционные характеристики пуассоновского процесса (см. а 2.7). Пусть в случайные моменты вреиени М происходят некоторые события, число которых в интервале вреиени ! определяется законом Пуассона рх(1)=(Л1) е ~'/й! а=о, 1, 2,.... 1> О, (2 2 Ы) причем число событий а неперекрыаающихся интервалах времени независимо, Определим целочисленный пуассоновский процесс лг (1) следугощим образом: лг (О) = О и У (19) — лг (1,) Равно числУ собьпий (точек) в полУинтеРвале (1г, гз), Реа гнзации такого процесса представляют собой ступенчатые кривые (рис.
2.8, а) с единичными скачками в точках 1ю !Тля двух заданных моментов времени 1о и 1ь, 1о > 1ь, приращение процесса лг (1 ) — лг (!ь) имеет пуассоновский закон распределения Р (Лг(га) Н (!ь) =гь) =(Л (!а 1Ь)1 е а ь !М (2 2 52) В соответсгвии с характеристиками закона Пуассона имеем м (н(г.) — н (!а) ) = л (г.-!ь), (2.2.53) М ((гт (га) — Лг (га))~) =Лз (га — га)'+Л (!а — гз). (2.2.54) Если 1„> гь > 1, > гю то случайные приращения Лг (1„) — Лг (!ь) и Лг (1,)— — !т' (!г) независимы и, следовательно, м ((гг (га) гг (гь)1 (лг (ге) л! (гвц) =лз Уа 19) (1с гг) (2 2.55) если же го > гс > 1ь > 1г, то интервалы (гь, га) и (1а, 1,) перекрываются и выражение (55) оказывается несправедливым.
Используя записи лг (!а) лг Уь) — (лг Уа) л (ге)) +Р Уе) лг (гь)) лг (!е) — лг (!г) = Р! (!г) — гк (гь)1+ (и (!ь) — гг (!гП, из (54) и (55) получаем 51 (1Лг (!а) Лг (гь)) Р' (!е) Лг Угу) = Л (!о !ь) Ие га) +Л (ге !ь) (2255) где (1 — гь) — длина перекрывающихся частей интервалов (1ь, 1а), (1г, г ). Таким образом, случайные приращения пузссоновского процесса стационарны и независимы (на неперекрывающихся интервалах). положив в (53) ! = г, гь = О, находим математическое ожидание целочисленного пуассоновского процесса м (лг (1)) = ла (2.2.57) йпалогично из (56) при 1„= !г, га = 1, гь 1г — — О получаем выражение ковариационной функции (2.2.53) 5 Заа.
956 129 ! лг л'11 "' -1 Л!г+Л 1,1,. 11«,. Приведенные выше раесуждення применимы н к неоднородному пуассонов. скому процессу (когда плотнооть точек Х (1) аавнснт от времени) в той лишь рааняней, что вместо Л ((я — (т) нужно подставлять ~ Х (1)од Прн атом формулы (57) н (5В) примут внд М 1А) (1)) =) Л (т) бе, о Г хг„о ~лва~ ~~(~на~, 5(г) (2.2.59) (2.2.60) гу4 Рис. 29. Случайный двоичный сигнал 4~=() ф гх ьа уг уггг й а) л® 7/е Рис.
2.8. Целочвсленный пуассоновский процесс (а) н приращение процесса (б) Пример 2.2.2. Коаарвацнонная Функции случайного двоичного сигнала. Вычислим коварнацнонную функцию случайного двоичного сигнала 3 (Г), сформнронанного на основе простого пуассоновского потока упорядоченных временнйх точек (Гь, й = О, 1, 2 ...) следующим обравом: ь (О 1, если число шчен в интервале (О, О четное, н $ (О = — 1, если число точен в интервале (О, О нечетное (рис. 2.9).
так как события (г точек в (О, 1)) прн раалнчных л О, 1, 2, ... несовмес« гны, то вероятность наличия четного числа точек в интервале (О, О согласно (51) равна оь (1)+Ре (Г)-(-... =е ш 1+ — +... =е г сЬЛ(. 21 Аналогично вероятность получения нечетного числа точен в интервале (О, () равна 1ВО Прв гт ( ге алесь нужно поменять местами гг и ге. Можно показать Щ, что для фиксированного а ) О приращение пуассонов- ского процесса (рна. 2.В, б) а (() = [У (1+ е) — А( (Г)1(а имеет следующие характеристика: М (и (Г)1 = Л, (2.2.61) Лх, ((г †(,1 ) а, )( ((т, (я)= "=( ' (2.2.62) )ь ),(Л~а) (Л (г, Г Огеа 1(г ( д, «)+Р,«)+,..=е хг [Л1+ — +...~ е 'зЬ Л1. (Л()з 31 Следовательно, Р (5 «) =1) =е Ыей Л(, Р (с «) = — 1) =е ю зЬ Л1. По этим вероятностям находим математическое ожидание м (ч «)) =1 ° Р (с «) =1) — 1. Р (с (П = — 1) =е лг (с)т л( — з(т л1) =е, тхг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
