В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

В том частном влучае, когда $ (г) =* г" (1,Х„Хг), т. е. параметрыХги вг независят от времени, а являются случайными величинами, процесе $ (ь) называется неазидетерминироеаннылг. В общем случае это процесв, реализации которого опиоываются функциями времени заданного вида Р (г, Х„Х„..., Х„), содержащими один или невколько случайных параметров г = (л„Х„..., "ь,„), не зависящих от времени. Классификация случайных полей является более разнообразной в зависимости от разных комбинаций характера областей значений, принимаемых как компонентами самого поля $, так и компонентами вектора г и времени й Описание случайных процессов н полей Так как влучайный процесн 3 (г) или скалярное елучайное поле 3 (х„ у) при фиксированных значениях аргументов представляют собой случайные величины, то для их описания (задания) применяютея те же вероятностные характеристики, что для случайных величин, а именно: плотности вероятности (законы распределения), функции распределе- 9$ (2.1.2) Р (х,; г,) г(х, = Р (х, < « (1,) ( х, + йхг).

(2.1.3) ния вероятностей, характери- 1»г) а Гтд стические функции, моментные и корреляционные (кумулянтные) функции. Напомним их определения (см. 2 1.2, 1.3), овязи между ними п)(г) ш(г,) и основные свойства. и Функция распределения и плотность вероятности. Лопустим, что имеется большое число У полностью одинаковых систем (рип. 2.2), обД1 ' ' м)' ' ' разующих некоторый «ансамбль». Пусть все системы работают одновременно при 1У одинаковых условиях. На выходе этих систем наблюдается процесс $ ((). Если к рис 2.2. Ансамбль ндвнтичнык систем каждой системе подключить одинаковые регистрирующие приборы (например, осциллографы) н на всех приборах в один и тот же момент времени (, отсчитать мгновенные значения, то получим отличающиеся друг от друга величины хп1 (г,), х<'-> (г,), ..., х<"> ((,), Выделим из общего чиила У те а, (х,; г',) величин, значения которых в момент времени Г, меньше или равны заданному числу х,.

При достаточно большом У относительная доля и, (х„1,)/У величин (систем), удовлетворяющих этому условию, будет обладать ататиотической устойчивостью (группнруется около постоянного числа) и может рассматриваться как вероятнооть того, что при 1= 1» случайная функция $ (() находится ниже уровня х,: Р Д ((») ( хг) = Р(х; () ~ п (х„; Гг)/У, У -~ оо. (2.1.1) Функция Р (х„' 1») сить одномерная Функция распределения вероятности. Слово «одномерная» подчеркивает тот факт, что рассматриваются значения случайной функции в один, фиксированный момент времени'". Производная от функции распределения вероятностей д Р(х,; г,) = — Р(х,; (,), дх» соли она существует, есть одномерная плотность вероятности случайной функции (процесса).

Безразмерная величина р (х,; (,) дх, равна вероятноити того, что елучайная величина $ (Г,) будет заключена в интервале х, ( $ (1,) ( х, + г(х,: 'Ив (1) следует, что функция распределения вероятностей случайной величины я = $ (й) зависит от аргумента й квк от параметра.

В записи вто отражено «ем, что основной аргумент ««отделен от параметра й точкой о нанятой, 96 Правую часть этого равенства можно интерпретировать как относительную долю систем Лп, (х,; /,)/У, отсчеты которых в момент времени /, попадают в горизонтальное окно (х„х, +дх,). Одномерная плотность вероятности, как и функция распределения, является важной, но не полной характеристикой случайного процесса. Она дает представление о процессе лишь в отдельные, фиксированные моменты времени, не указывая, например, как значения $ (/,) в момент времени /, влияют на дальнейшее поведение процесса при /, ) ) /, Можно сказать, что одномерная плотность вероятности характеризует процесо«статически» и недает представления о динамике его развития.

Более полными характеристиками случайного процесса являются двумерная функция распределения вероятности и двумерная плотность вероятности, которые характеризуют вероятностную связь между значениями проне са в два произвольных момента времени /, и /м Двумерная функция распределения вероятности и двумерная плотность вероятности определяются так. Возьмем два момента времени /, и /,. Пусть значения процесса на выходе систем в эти два момента времеви есть хгы (/,), хоп (/,), ..., х~н ' (/,) и х< » (/,), хби (1,), ..., х<н > (/,).

Подсчитаем относительную долю систем и» (х„х,; /„ /,) / Л/, отсчеты которых в момент времени г, не превышают х, и в момент времени /, не превышают х,. Тогда для достаточно большого числа систем /(/ функция г» (х» х» /» /») = и(» (/,) ( хд» (/») ( х») " и» (хо х»' ,/о /»)/д/ (2.1.4) называется двумерной функцией распределения вероятности. Производная от этой функции р, (х„х,; 1„ /») = д» Р,(хь х,; /„ /»), (2.1.5) дх, дх называется двумерной плотностью вероятности. Безразмерная величина р, (х„, х„ /„ /«) дх, дх» определяет вероятность совместного выполнения двух неравенств: х, ( $ (/,) < х, + дх» и х» < 3 (/») ( х, + с(х, т.

е. р (хм х»;/м/»)с/х» дх» = Р (х» <»э (/») < х«+ Ыхмх ( 3 (/») < х + + дх»). (2.1,б) Здесь правая часть при больших й/ представляет собой относительную долю систем Лп, (х„х,; /ь /») / й/, отсчеты которых в момент времени /, попадают в горизонтальное окно 1х„х, + дх,) и в момент времени /, — в окно (х, х, + дх,).

В общем случае двумерная функпия распределения или плотность вероятности также не дают исчерпывающего описания случайного процесса. Они позволяют судить о связи между вероятными значениями случайного процесса лишь в два момента времени. Более полное и де. 4 з»«. »»в 9( тальное описание случайного процесса дается многомерными плотностями вероятности (функииями распределения). Платность вероятности р„(х„х„..., х„; 1„1„..., 1„), называемая п-мериой, определяет вероятность того, что значения случайного процесса з(1) в и моментов времени 1„1„..., 1„заключены соответственно в малых полуинтервалах (х„х, + Йх,),..., (х„, к„+ «(х„); эта вероятность равна р„(х,, х„; 1„..., 1„)»(х, ...

дх„. Плотность вероятности р„(х,,..., х„; 1,, ..., 1„) позволяет судить о связи между вероятными значениями процесса в и произвольных моментов времени. Таким образом, случайный процесс в общем случае описывается с помощью и-мерной плотности вероятности (фуикции распределения) и тем детальнее, чем больше и. Лва случайных процесса, у которых все конечномерные функции распределения совпадают, называются эквивалентными. Из приведенных определений следует, что плотности вероятности р„(х„..., х„; 1„..., 1„) и функпии распределения вероятностей Р„(х„..., х„; 1„..., 1„) случайного процесса $ (1) (не считая небольшой разницы в обозначениях) полностью аналогичны совместным плотностям вероятности р„(х„..., х ) и функциям распределения вероятностей Р„(х„...,х„) совокупности и случайных величин $о..., $,. Плотности вероятности р„(хы ..., х„; 1„..., 1„) и функш»и распределения вероятностей Р„(х„..., х„; 1„..., 1 ) по-прежнему связаны однозначными зависимостями вида (1.2.26) и (1.2.27), причем плотность вероятности случайного процесса р„(х„..., х„; 1„..., 1„) удовлетворяет прежним условиям: 1) неотрицательиости (1.2.26), 2) нормировки (1.2.29), 3) симметрии и 4) согласованности (1.2.30).

В частности, последнее условие с учетом разницы в обозначениях примет вид р»(х» - хм 1м" ю1г») ) '" ) Рь (хм" хт хл-»1," х« 1„...,1„) дх +, ...е(х„, т(п. (2.1.7) Однако изучение случайных процессов не сводится к изучению совокупности случайных величин, а имеет некоторые принципиальные особенности. Как следует из (7), интегрируя и-мерную плотность вероятности случайного процесса по «лишним» аргументам, всегда можно найти все другие плотности вероятности меньшей кратности т «- п, Но само наибольшее значение и для случайного процесса ничем не ограничено. По-видимому, исчерпывающим было бы описание случайного процесса одной плотностью вероятности максимального порядка, если бы она существовала. При непрерывном изменении аргумента 1 такого конечного максимального порядка в общем случае не существует.

Здесь можно отметить два частных, но очень важных и наиболее изученных класса случайных процессов, для которых и-мерные плотности вероятности р„, и ) 3, выражаются через двумерные плотности вероятности р;. это гауссовские 8 2.5) и маяковские (4 2.6) процессы 98 Часто бывает интересно знать вероятность того, что случайная функция обладает тем или иным свойством (например, $ (1) < й для всех 1 в некотором интервале или вероятность того, что я (1) непрерывна, дифференцируема или интегрируема в этом интервале). События такого рода не определяются конечномерными распределениями процесса Иначе говоря, иногда можно найти два случайных процесса, каждый из которых задан некоторой функцией $ (1), имеющих одно и то же семейство конечномерных плотностей вероятностей.

Пусть $ (1) — случайный процесс а известными конечномерными плотностями вероятности. Возникает вопрос, при каких условиях существует такой процесс $ (1), что $ (1) и $ (1) эквивалентны, т. е. Р ($ (1) = $ (1)) = 1 для любого фиксированного момента времени (~ Т, и реализации процесса я (1) с вероятностью единица обладают определенными свойствами регулярноати (например, дифференпируемости и др.). Если такой процесс 9 (1) существует, то естественно изучать 3 (1) вместо $ (1), используя получаемое при этом упрощение.' Приведем определение одного свойства регулярности, называемое ' сепарабельностью процесса П8, 191.

По определению сепарабельная,~ функция может быть в известном смысле восетановлена по ее значениям, на некотором счетном, всюду плотном множестве точек. Случайный процесс называется сепаробельным, если с вероятностью единица его реа-' лизации обладают указанным свойством. Лля сепарабельных процессов вероятности упомянутых множеств однозначно определяются конечномерными распределениями.

Лж. Луб показал! 19), что для любого случайного процесса $ (1) можно найти эквивалентный ему сепарабельный процесс $ (1). Для совместного вероятноетного описания двух или нескольких случайных процессов вводят совместные функции раапределения и плотности вероятности. Так, для двух процеасов $ (1) и 9 (1) их определяют при помощи следующих соотношений: Р „.„(х„..., хп, д„..., д„;, Г„, 1„, 11, ..., С„) = (2П.8) =РД(11)<к„..., Е(1„)<х„, 11(11)<д» ..., т1(Ф;„)<д ), Р„+ (х„..., х„, д„..., д; 1„...,1„, Г,, ..., Г ) дх, ...

Характеристики

Список файлов книги