В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ОБщие ОпРеделения, метОды ОписАния и клАссиФикАция Общие определения На практике приходится часто встречаться с такими случайными величинами, которые зависят от времени (или каких-нибудь других аргументов) и поэтому в процессе одного наблюдения (эксперимента) изменяются случайным образом с течением времени. Можно привести 9! Кривые распределения при ра) 0 являются гиперболами порядка п = — д (или и = — А для Р, ~ О), начинающимися с конечного значения в точке х = Ь, и монотонно убывающими до нуля при х -~. оо (х -+ — оо).
На диаграмме рис. 1.14 Х1 типу соответствует кривая, являющаяся продолжением кривой для типа Х1 внутри области типа У1. ХП тип. Он представляет собой частный случай 3-образного бэта- распределения, когда в выражениях (6) и (7) !( = 0 или в (17) и (18) !(' = О. При этом формулы для определения величин а, Ь, через моменты неприменимы. Поэтому формулу для распределения записывают с использованием параметров (), и р (х)— ! М 2о Уз+6! Г (т+!) Г (! — т! — —, — с(УЗ+!1!+ ! о(Уз+!! -(-Ув, )+х 1 о(УЗ-(-!1, — УЬ ) — х~ +УЗ, ) <х<сУЗ+6, У8, ), (1.5А8) где т = Урх7(З + р!), с = Унх. ХП типу распределения Пирсона на диаграмме рис. 1 14 соответствует прямая 5 (З, — 6 !)! — 9 = О, как это следует из (18) при г(' =О.
Эта прямая нанесена на диаграме штрихом. Форма кривой распределения не имеет особенностей по сравнению с обычными кривыми Л-образного распределения, приведенными на рис. 1.15. Укажем, кстати, что кривыми Пирсона описываются случайные процессы в некоторых физических системах. Разным типам распределений Пирсона можно поставить в соответствие стохастические дифференциальные уравнения, описывающие поведение систем [17!. Если случайная величина $ изменяется от нуля до единицы и если она имеет математическое ожидание т, и второй начальный момент т„ то бета-распределение имеет вид р (х)= Ьн+Р'! хо -' (1 — х)" -', (1.5.49) г (н,! г (и,) следующие конкретные примеры: осциллограммы напряжения собственных шумов радиоприемного устройства, атмосферных, индустриальных и других помех; амплитуда и фаза принимаемого радиосигнала, прошедшего через турбулентную среду, обусловливающую замирания сигнала; ошибка сопровождения самолета по дальности радиодальномером; колебания давления, температуры, ьлажности и скорости ветра в какой-либо точке атмосферы; колебания почвы, зарегистрированные сейсмографом и др.
Во всех подобных случаях говорят о случайном процессе. Случайный процесс характеризуется тем, что какая-либо физическая величина изменяется в некотором пространстве, причем это изменение управляется вероятностными законами. Конкретный вид случайного процесса (т. е. его фактическая запись, например, в виде фотографии или осциллограммы) в определенном опыте называется реализацией случайного процесса. В качестве синонимов употребляются также термины «траектория случайного процесса» и «выборочная функция». Лля формального обозначения зависимости случайного процесса (наблюдаемой величины) от аргументов применяются случайные функции.
Будем обозначать случайные функции буквами греческого алфавита с указанием в скобках аргумента, а их реализации малыми буквами латинского алфавита. Случайной функцигй $ (т) называется такая функция, которая при любом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Это означает, что при неизменных условиях опыта значения $ (т), т = сопз(, в реализацияхе, полученных для нескольких полностью идентичных систем, будут различными. В этом состоит существенное отличие случайной функции от детерминированной, значение которой однозначно определяется значениями аргументов. Очевидно, что если физические причины случайного характера, порождающие рассматриваемый случайный процесс, отсутствуют полностью, что в действительности никогда не имеет места, то случайная функция переходит в детерминированную. Случайная функция может зависеть не от одного, а от нескольких аргументов (например, скорость ветра зависит от времени и пространственных координат).
При записи случайной функции обычно указывается область ее задания, т. е. область возможного изменения аргументов. В радиотехнике наиболее часто приходится оперировать со случайными процессами 9 ((), зависящими от одного аргумента — времени. При этом под случайным (стохастическим, вероятностным) процессом обычно понимается электрическая величина (ток, напряжение, напряженность поля и др.), изменяющаяся случайно во времени. Однако наряду со случайными процессами 9 (т) возникает необходимость рассмотрения случайных функций нескольких переменных, получивших название случайных полей или многомерных сигналов. В качестве переменных при этом выступают координаты пространства и время. *Реализацнн 5 (»), фактически полученные н результате наблюдения, янляются обычными, а не случайными функциями, 92 В зависимости от того, какая случайная функция рассматриваетея (скалярная или векторная), различают скалярные и векпюрные случайные поля.
Количество переменных в принципе может быть любым, однако на практике наиболее интересными оказываются случаи е двумя, тремя и четырьмя переменными. Естественно, что пространство задания случайной функции может представляться в любой системе координат. Введем следующую классификацию: !) скалярный случайный процесс $ (г) — случайный процесс, область значений которого есть множество в пространстве действительных чисел; 2) векторный случайный процесс $(г) — случайный процесс, область значений которого есть множество в соответствующем координатном пространстве; 3) скалярное случайное поле $ (г, г) — случайный процесс, область значений которого есть множество из действительных чисел в соответствующем координатном пространстве; 4) векторное случайное поле 9 (г, Г) — случайный процесс, представимый в виде компонент, являющихся скалярными полями.
Здесь под вектором г понимается п-мерный вектор со своими проекциями в избранной системе координат. Например, если выбрана прямоугольная система координат, то $ (г, г) = $ (х, у, г, (), для полярной системы координат $ (г, г) = $ (р, ф, г). Так как в случае векторного поля и функция, и аргумент являются векторами со своими компонентами, то большое значение имеет выбор системы координат. Векторы 9 и г могут рассматриваться в единой системе координат или в разных.
Переход нз одной системы координат в другую осуществляется по известным правилам линейной алгебры. Пусть, например, имеется векторное поле 9 (г), не зависящее от времени. Предположим, что век- тоР 9 задан в системе кооРДинат х, У, г, а вектоР г в еиетеме хм У„г,. Тогда можно записать $ (г) = [ $„(хо Уь г,)л зе (х„У„г1), $, (х„У„, гт)1. Видно, что векторное поле представимо в виде компонент, которые являются скалярными полями.
Случайные процессы (и соответствующие случайные функции $ (г)) можно классифицировать по разным признакам: 1) по характеру реализаций х (г), т. е. в завиаимости от возможных значений, принимаемых случайной функцией $ (г) и аргументом й 2) по виду введенных ниже отдельных вероятностных характеристик, которыми описывается случайный процесс.
Приведем здесь классификацию по первому признаку (классификация по второму признаку будет дана позже, где вводятся соответствующие вероятностные характеристики — см. рио. 2.5). В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество значений принимают случайная величина $(г) и ее параметр Г, различают следующие пять основных видов случайных процессов. Дискретная случайная последовательность (дискретный процесс в дискретным временем) — случайный процесс, у которого область значений и область определения — диекретные множества. В данном случае время г пробегает дискретный ряд значений гь, [м ..., Го „гм, и случайная величина х, = $ (г;) может принимать лишь дивкретное 93 множество значений х„х„..., хь, ..., х„. Множества значений (1,) и (хь) могут быть конечнымн или бесконечными; в по леднем случае М-~ ао, К-~ оь. Процессы такого вида непосредственно встречаются на практике (случайное подбрасывание монеты, радиотелеграфия, радиолокация и др.), а также могут быть получены квантованием по уровню и по времени непрерывно изменяющихся процессов с непрерывным временем.
Такое квантование часто применяется при машинной обработке различной информации. Случайная последовательность (непрерывный процесс с дискретным временем) — случайный процевс, у которого область значений — непрерывное множество, а область определения — дискретное. Такой пропроцесс отличается от процесса первого вида лишь тем, что теперь случайная величина $(1~), 1 = 1, 2,..., М, может принимать бесконечное число значений.
В качестве примера можно указать временные выборки пз непрермвного случайного процесса. Дискретный 1'разрывный) случайный процесс (дискретный процесв с непрерывным временем) — елучайный процесс, у которого область значений — дискретное, а область определения — непрерывное множество. В этом случае $(1) может принимать дискретные значения х„, й = 1, 2, ..., К, а время 1 — континуум значений: 1~ (О, Т), где Т— длина временнбго интервала„на котором задан процесс $(1).
Примерами могут служить показания счетчика числа случайно появляющихся частиц, результат квантования непрерывного случайного процесса только по уровню и др. Непрерывнозначный случайный процесс — случайный процесс, область значений и область определения которого — непрерывные множества. В данном случае $ (1) принимает значения из некоторого непрерывного пространства и аргумент 1 изменяется также непрерывно, причем реализации процесса могут иметь разрывы первого рода.
Если подобные скачки отсутствуют, то такой процесв называется непрерывным. Процесс называется комплексным, если он принимает комплесные значения. Случайный точечный процесс (поток) представляет собой последовательность точек, расположенных случайным образом, например, на оси времени. Такие точки могут соответствовать различным событиям (например, моментам времени наатупления отказов в какой-либо системе или аппаратуре, временам поступления требований или заявок на обслуживание и др.). Характер временных реализаций перечисленных процессов показан на рис. 2.1.
Помимо пяти основных видов возможны разнообразные, более сложные, смешанные виды случайных процессов. Например, при рассмотрении радиосигналов с разными видами комбинированной модуляции часто приходится встречаться со случайными процессами вида $ (1)= = Р (1, 3,, (1),1,(г)), где Р— детерминированная функция первого аргумента си параметров Х,(г) и Х,(1), представляющих собой случайные процессы. Если один из параметров, допустим ь, (1), является дискретным случайным процессом, а другой ь,(1) — непрерывнозначным случайным процессом, то результирующий процеса $(1) можно наЯ4 хв хг х, Я Спонсаноя поспеасаспгельнсспгь га гг сг Яаснрехнся псспепаоспгельнссхь ~И) хь хг х, га р,санрвхныа прсеесс Непрврыаныс прснесс са тоха гг й Не~рерыснсвногныа прсресс гсненнын процесс Рнс. 2.К Основные вены случайных пронессов звать случайным процессом (сигналом) дискретно-непрерывного или смешанного вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
