В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 34
Текст из файла (страница 34)
) - — ' ( ~ [ ~ ( и*, а -' ~"+~ ~ ~ ~и] х (2п)~ Х е~ ('х "+ "г ") г(ик йпг. Здесь внутренний интеграл представляет собой прямое преобразование Фурье (пространственный спектр) Я(и, и„)= ~ ) $(х, у) е '(" '~"гг) пхну, (2.49) а внешний — обратное преобразование Фурье ь (х, у) = — ~ ~ Я (и„, и„) е ("* "+ г ") Ии„ ди„. (2.4. 10) Приведенный анализ справедлив для полей любой мерности. В общем случае, если задано поле $ (г), где г — л-мерный вектор, то пару преобразований Фурье можно записать следующим образом: Я (и) ~ $ (г) е-мг дг (2А.11) $(г)= 1 Я(п)е~"'Щ (2.4.12) (2к)" где интегрированиеведется поп-мерномуобъему; и = и„, ию ..., и„— вектор волновых чисел; г = х, у, ..., п — вектор и-мерного пространства; и г = и„х + и„у + ..: + и„и — скалярное ' произведение векторов и и г.
В частности, если задано поле вида $ (х, у, 1), то его проапранслгвеьно-времанной спектр определяется выражением Б(и„, им го)= ~ ~ ~ $(х, У, Г)ехР( — 1(и„х+и„У+оЯ)Х Х Нхг(уиг. (2А, 13) 170 Обратное преобразование Фурье в атом случае имеет внд 9(х, у, 1)= 1 ~ ~ Я(и„, ив, ш)х (2п)о,) Х ехР (1 (и, х+ и, У+ шг)) с$пх г(из г(ш. (2.4.14) Укажем на одно важное свойство многомерного преобрззовання Фурье.
Если воле, например 9 (х, у, 1), может быть представлено про- изведением (2А.15) 9 (х, у, Ю) = $, (х)$, (у)В, (1), то, как нетрудно убедиться прямым вычислением, Я (и„, и„, ш) = Зт (пх)Бо (из)Зз (ш). (2.4.16) о У-У а) Рис. 2.29. Пространственная дельта-функция (о) и ее амплитудно-частотный спектр (б) Справедливо н обратное утверждение, т.
е. если спектр поля представляется пронзведеннем Я, (пх)Зз (из)Яз (го), то поле также имеет внд произведения одномерных функций по соответствующим координатным осям $т (х)$з (у)$з (1). Лля иллюстрации применения многомерного преобразования Фурье прнведем пример. Пример 2.4.1. Спектр пространственной дельта-функции. Цель на экране радиолокатора с разверткой по координатным осям х и у фиксируется в виде ярко светящейся точки.
Требуется найти спектр пространственных частот отметки цели. Двумерный сигнал в виде яркостной отметки удобно аппроксимировать пространственной дельта-функцией (рис. 2.29, и) ( со при х=хоо У=уо ° 1(х, у) =6 (х — хоо у — Уо) =( (2.4.17) ( О при х+ хо Уча уз. Воспользовавшись прямым преобразованием Фурье (9) и учтя свойство пространственной дельта-функции (1-391, получим б(пх* "з)= ) ) б (х хо у — Уо) е " а)ахау (хи + ии — 1(хои +и,и ) (2.4.18) 171 Отсюда видно, что амплитудно-частотный спектр ! о (пх, пя) ~ = 1 является сплошным и равномерным на всей плоскости волновых чисел (рис.
2.29, о), В том случае, когда поле задается не в прямоугольной, а в другой системе коордвнат, его спектр имеет составляющие волнового числа в соответствующих координатных осях. Например, если поле $ (р, ~р) задано в полярных координатах р и ор, то спектр можно представить в виде Я (л, О) = ~ ~ $ (р, тр) е- ~ Ыо+во> с(рйр. (2.4.19) Очень часто для решения различных практических задач требуется рассматривать спектр конкретного поля в разных системах координат. Например, если изучение морской поверхности ведется при помощи радиолокационной станции с радиально-круговой разверткой, то удобно пользоваться полярными координатами. Напротив, применение РЛС бокового обзора предполагает использование прямоугольных координат. Как известно, переход от прямоугольных координат к полярным и обратно выполняется в соответствии с форму- лами х=ряоз~р, у=рз1пор, (2.4.20) р = Ухх + у', ~р = аге1я (у/х).
(2.4.21) )для аргументов спектральных функций (9) и (19) можно написать аналогичные зависимости и„= Асов О, и„из(п О, (2.4.22) а-у,*т,'„, в-„,ч<,,~~~, (2,4.23) В случае двумерного поля его спектр в прямоугольных координатах связан со спектром в полярных координатах зависимостью 8 (ия, ия) = Я (Й, О) !.Уя1, (2.4.24) где я'я — якобиан преобразования (3.2.46). Подставив новые переменные (20) и (22) в интеграл Фурье (9), имеем Б(я, О)=) ) й(р, ор)ехр( — 1р)с(созОсозср+з(пОз1п~р)) рс(риф.
о о Если функцию $ (р, ср) предетавить в виде $ (р, ~р) = 1 — яд (р)ея'о, то оп 5 (Й, О) = 1 " ~ ~ д (р) ехр ( — )рй соя (ор — О) +)и~р) р~(рс(от. ой Обозначим ~р — О = а и запишем спектр в комплексной форме Б (йг О) = Б (й) е~ао. Тогда Б (й) = 1 " (г ~ у (р) ехр ( — )рй соя а+ )иа) рдрсЬ. бо Учтем, что (2.4.26) спектр так же, как и в (16), выражается произведением 5 (я, О) = 5, (А)5, (0). Перейдем к определению спектральной плотности случайного поля. Подобно тому, как в случае детерминированного поля сущезтвует однозначная связь между спектром пространственных частот 5 (и„ил) и полем $ (х, у), для случайных полей имеет место аналогичная взаимосвязь между пространственной ковариационной (корреляционной) функцией и спектральной плотностью.
Пространственно-частотную спектральную плотность 5 (и) однородного случайного поля ч~ (г) определим как преобразование Фурье от ковариацнонной функции К (Ьг) 173 -л о ,7„(рй) = — ехр ( — )рй сов а+ 1па) аа 2Л есть функция Бесселя п-го порядка.
Поэтому 5 (й) = 2н ) р,)„(рй) у (р) ар. (2А.26) Полученный интеграл дает связь между спектром в полярных коор- динатах и функцией д (р) и называетая преобразованием Ганкеля (Хан- келя). Существует обратное преобразование Ганкеля у(р)-~й.(„(р й)5(й)йй, Если поле $ (р, ~р) обладает вращательной симметрией, то и = О, д (р) = $ (р) и пара преобразований Ганкеля принимает внд 5 (й) = 2п ~ р )в (р й) $ (р) йр, (2.4.27) $(р) ~И,(р я) 5(я)ая.
(2.4.28) о Преобразования Ганкеля обладают рядом свойств, аналогичных свой- ствам преобразований Фурье (26). Таким образом, для полей, обладающих свойством вращательной симметрии, целесообразно пользоваться полярными координатами (р, ~р). Преобразование Фурье (19) в этом случае целесообразно заме- нить преобразованием Ганкеля, что позволит перейти от двумерной задачи к одномерной. В том случае, когда поле, заданное в полярных координатах, мож. но представить произведением й (р, Е) = 6, (рД, (Е), К(Ьг)= — ' ( 5(и)е1 ь~йп (2.4.30) (я )и Формулы, аналогичные (2.3.33), для случайных полей имеют вид Юр(и)= ~ Я (Ь г)е-1"'йЬг, (2.4.31) гг(Ь г)= — ~ Я,(и)е1" "йи 1 (~ )л (2.4.32) где Я (Ьг) — корреляционная функция однородного случайного поля.
Из (32) непосредственно следует связь между дисперсией поля и его пространственной спектральной плотностью )~ (0) 3 ( ) й . (2.4.33) (ап)" Необходимо иметь в виду, что интегралы, входящие в написанные формулы, п-мерные. Лля двумерного поля (и = 2) можно записать 5,(и„, и„)= ) ) )((Ьх, ЬУ)е '("' '+ н ") йЬхйЬУ, (2.4.34) Я (Ьх, ЬУ)= ~ ) Ян (и„, ин) е'(" "~"н «) йи„йин, (2А.35) (2п)а й о н 1) = )((О» О) = — ) ) Яр (и, и„) йи„йин. (2.4.36) Спектральные плотности Л (и) и 8, (и) характеризуют распределение «энергии» поля по спектру пространственных частот.
В дальнейшем мы не будем делать принципиального различия между 8 (и) и 3, (и), имея в виду очевидное соотношение между ними типа (2.3.34). Используя свойетво четности корреляционной функции, формулы (31) и (32) можно записать в вещественной форме. 8 (и) = 2 ~ й (Ьг) соз (ц. Ьг) й Ь г, (2.4.37) 174 Я(и)= ~ К(Ьг)е 1"'йЬг, где и — вектор волновых чисел; и ° Ьг — скалярное произведение векторов.
Обратное преобразование Фурье в данном случае имеет следун>щий вид: )г(Лг)= — 1 5 (и) сон(п.Лг) с(п, (2н)а (2,4.38) или для двумерного поля 8 (и„, и„) = 2 ) ~ )с (Лх, Лу) соа (и„Лх+ и„Лу) с(Лх~(Лу, (2.4.39) о о )( (Лх, Лу) = — 1 ( Я (и„, и„) аоз (и„Лх+и„Лу) с(и„с(ин.
(2.4.40) (Ин)я .),) е о Рнс, 2.30. Спектральная плотность лвунерного поля — ) г,ьл ~,„ь,,= — '~а.на~~, о44н о где 3 — максимальное или какое-либо другое характерное значение спектральной плотности. На рис. 2.30 приведен пример двумерной спектральной плотности 8е (и„, ин) и показана эффективная ширина спектра. Когда заданы два однородных и однородно свяэанцых поля $ (х, у) и т) (х, у) с известными взаимными корреляционными (ковариационными) функцияыи )т'гн (Лх, Лу) и )с'яг(Лх, Лу), то применение к последним преобразования Фурье дает взаимные спектральные плотно- сти 5гн(и„,ин) = ) ') йгн(Лх, Лу)е 1(""~"+"наа)~(ЛхнЛу, (2.4.43) 175 а л Ана По аналогии с одномерным спектром можно ввести аффективную ширину спектра Ли„определив ее формулой Л це ' ( 3е (1г) с(п. (2.4.41) (кн)" 5т ц Если для двумерного поля выполняется условие Б (и, ин) = = Я (и„)Я (ин), то говорят об эффективной ширине спектра пространственных частот вдоль соответствугощих координатных осей.
Например, (и и ) — ~ ~ Д„г (Ьх, ЬУ) е Д "» а"+"в а") г(йхг(ЛУ. (2.4.44) На основании обратного преобразования Фурье имеем Лая (Ьх, ЬУ)= — ( ~ 5йя (и„,и„) е '(" "+"а ") г(и„г(ии, (2.4,45) (2п)а )тнд (цх цу)= — ( ~ 5яд(ии,ив)е '("»а +"ва")г(и„г(и„, (2п)а (2.4.46) Так как взаимная корреляционная функция не обладает свойствами корреляционных функций и не обязательно должна быть четной, то не всегда ее можно представить в вещественной форме. Пример 2.4.2.
Спектральная плотность суммы двух полей. Пусть авданы . два однороднык и однородно свяаанных поля 4 (х, у) и Ч (х, у) со своими пространствениымв корреляционными функциями )(д, Нч, Ягч, й„ы В результате наложения полей образуется новое поле ьМ У) С (». У) + П (» У) (2.4.47) Нужно найти свявь корреляционной функции мй (Ьх, ау) и спектра 5С (и„, ив) с заданными. Корреляционная функция суммарного поля равна ЯС (Ьх, оу) Рд (Ьх, Ьу)+Я„(лх, йу)+Я (йх, Лу)-).
+йяа (Лху Лу). (2.4.46) По формуле (34) находим спектральную плотность 5С(и., ив)=54(аи, ив)+5„(и„, ив)+5(,„(и,, ив)+5„1(и», ив). (2А.49) Если поля я (х, у) и Ч (л, у) ие коррелированы между собой, то Рйч (Ьх, Лу) Я„д (Ьх, Ьу) О и й( (Ьх, Ьу)=йд(дх, Ьу)-~)(, (йх, Лу), (2.4.60) 5((и„, ав) 54(в„, ав)+5, (и, ив). Вти формулы справедливы для суммы любого числа некоррелированных между собой полей провавольной мерноати, Частным случаем однородных полей является изотропное однородное поле. Однородное случайное поле й (г) являетвя изотропньиа, сени корреляционная функция )с й (Лг) этого поля вавивит только от модуля (Ьг( и не вавиеит от его направления, т. е. евлн Яа(Ьг) )с (г,— г,) =)с (Лг). (2.4.51) Если условие (51) не выполняется, поле называетвя анивотропныж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
