В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для гауссовских процессов всевысшие кумулянты в формулах (1.3.49) и (1.3.58), начиная с х, и хдд„ равны нулю. Поэтому гауссовские процессы могут отличаться друг от друга только характером математического ожидания и видом корреляционной функции (спектральной плотности). Следовательно, корреляционная теория дает полное описание гауссовских процессов. 2. Для гауссовских процессов некоррелированность значений процесса тождественна их независимости.
Пусть значения гауссовского процесса $ (1) в моменты времени 1„ йм ..., д„ некоррелированы, т. е. Кг (1„, (,) = О при р ~= ч и Ль (Г„, (я) = Р1((„), )д, ч, = 1, и. В данном случае формула (1.4.42) о учетом введенных обозначений (5) примет вид р. (х„..., х.; 1д, ", 1~) = р (хд; () " р (х ' "а) = 182 ю ., г.г - ... ! я г Е ( а ) (2.5.9) Следовательно, если рассматриваемые значения гауссовского процесса некоррелированы, то они и независимы. Нетрудно убедиться в обратном: если значения независимы, т.
е. справедлива формула (9), то эти значения некоррелированы, поскольку й1 (1я тг) =М (ггпу ((гг) — тт (1гг)) [$ (1ч) тт (тг))) -'О, р чь т. 3. Для гауссовских процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают. Предположим, что выполняются условия тг (1) =та =сонэ(, И1 ((„, 1,)=И1()1,„— 1„!)=йа(т„, ) = Рт гЗ (т„, ), р, т= 1, п, т.
е. математическое ожидание не зависит от выбора момента времени и является постоянным, а корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения интервала между рассматриваемыми моментами времени. Тогда по определению гауссовский процесс является стационарным в широком смысле. Однако он будет одновременно стационарным и в узком смысле, так как при этом характеристические функции (6) и плотности вероятности (1.4.42) не будут изменяться при любом сдвиге всей группы точек г„гм ..., 1„вдоль оси времени на произвольную постоянную величину. При этом п-мерная плотность вероятности нли характеристическая функция гауссовского стационарного процесса зависит только от и — 1 интервалов времени т „, — !1„— г, ), поскольку один из рассматриваемых моментов времейи (ь (м ..., г„ можно принять за начало отсчета времени.
Для гауссовского стационарного процесса формулы (1.4.42) и (1.4.43) несколько упрощаются и их можно записать так: рп (хь ..., Хп) = (2ЯР1 ) — и/г ) г ! — 'г' Х х ехр — '~' а~„(х„— тт ) (х, — тт), (2.5.! 0) 1 2й !г ! 21 л о„( гь .... ~ г~- г(~, ~ г.— а 1 1 Рг ~ Г$ (т~гг ) бГгбг 2 й,, (2.5. 1 1) Здесь )г) — определитель матрицы, составленной из нормированных корреляционных функций, 1ЗЗ 1 г» (т„) ... г» (т,„) г» (т„) 1 ... г» (тг„) 1'» (тгг ) = г» (т,„), гщ, — — 1, г (2„,) г» (т„г) ...
1 (2.5.12) в. определи- а„, — алгебраическое дополнение элемента г»(т„,) теле [г[. Приведем явные выражения для одномерных и двумерных плотноетей вероятностей и характеристических функций гауссовского стационарного процесса, которые легко получаются из основных формул (10) и (11): р (х) = ехр Ф (1 О) =,ехр () иг» д — Р» дг), 1 2 (2.5.13) (2.5.14) 1 р,(х,, х,;т)=, х 2иР '~/1 — г»1 (т) (х — т» )2 — 2г» (т) (хг — т )(х,— т )+(х — т )21 2Р„[1 — г' (т)1 Ф, ()61, )621т) = ехр ! )т» (61+ 62) — — Р» [6[+ 2г» (т) 61 дг+ 62)).
2 (2.5.16) Применительно к стационарному процессу $ (1) выражения для моментов (1.4.46) примут вид М [$(11) $(1) $(1) $(14)) =Р»(тм) Л»(т.г)+Л»(тг) й»(т42)+ +)т» (тгг) )т» (141)+ Я» (221)+)4» (243)+)4» (231)+%» (т42)+ +Я» (т )+)т» (т42)) т»+т~»,. (2.5.17) откуда при т„= т4„— — 0 (т. е. тт = т„= т41 = т„= т) получим М [ Р (1) Р (1 + т) ) = Р»1 + 2)7~ (т) + 2[Р» + 2Я» (тН иг»1 + и[. (2 5 17 ) Характеристическая функция (6) позволяет сравнительно просто вычислять многомерные моменты гауссовского стационарного процесса. Предположим, что математическое ожидание процесса равно нулю (т» — — О), т.
е. будем рассматривать центрированный процесс 5 (1) = $3 (1). Для центрального и-мерного момента т = (тг + тг + + ... + т„)-го порядка согласно определению (1.3.57) можем написать М [$"'(1)В" ((а) "БЪ(1 )) = = ( — 1)' Фг()61. *...)63) [„,е 3 ° (2516) где в в е Ое„.... (4)-Ф ()е;в= р( — т т вр(„)вов). 2 (2Л.19) На основании известного разложения е — = ~ ( — 1)'"х"'lи! выражее)=О ние (19) для характеристической функции можно представить в виде бесконечного ряда 1)в) Г в л '1 в) Ф„()6; 1)= ~' ~ ~' '~~ йо (т(о) б( б„~ .
(2.5.20) -о дв Гв 1в)2 х ~ ~ ~~з~ йо (т(о) б( бо~ ддв' ... ддлв вве О(=О 1 Рассмотрим частный случай, когда и = 4 и все т( = 1: М (оьо (1 ) ь о((2) $ ((о) Ово (14)) = 1 д' 4 4 4 4 З дд) ддв дев дд, Х Йо (тм) б( бь б(01(вве О.=О (2.5.21) Отличными от нуля будут только члены, для которых 4 Ф й чь 1 чь ). Всего будет 24 таких члена, вклад каждого из которых равен )4'О(т(о))41(тп)/8. Так как )42(тга) = )44(то(), то можно показать, что М Йо((4) 2 ((2) Ба((в) ~(14)) = Таким образом, характеристическая функция представляет собой ряд, каждый член которого содержит переменные б в разных комбинациях в с разными степенями.
Если б( входит в степени меньше т„ то в результате выполнения дифференцирования по б( (18) член о 6„ будет равен нулю. Если же показатель степени б( больше т(, то аоответствующий член будет также равен нулю, поскольку после дифференцирования нужно полагать 0(= О.
Следовательно, в выражении характеристической функции Ф„()Ф; 1) интересующий нас центральный момент определяет слагаемые ряда (20), которые содержат сомножитель 6',"б,* ... бв . Из (20) видно, что это может иметь место только при т= Ы2. Даже в этом случае имеются слагаемые, которые не влияют на вычисляемый момент. Кроме того, если т — нечетное число, то соответствующий момент для гауссовского процесса равен нулю. Поэтому при вычислении нашего момента нужно учитывать только члены с и = М2: = Рз (тзд) Рд (ч«з)+Яд (тзд) )~г (тзз)+)7д (таз) )тзд (с«д) (2.5.22) Зто выражение, как и следовало ожидать, совпадает с (17) при лд з —— О. 4. Условные плотности вероятности значений гауссовского случайного процееса являются нормальными.
Для гауссовского процесса нз очевидного соотношения р„(хм ..., хв( хз.~ы ..., хз) р„(хд, ..., хз))р„» (х»+д, ..., х ) (2.5.23) следует, что в правой части стоит отношение двух показательных функций, причем показатели зтих функций есть квадратичные формы относительно хо Это отношение является показательной функцией; показатель есть поливом второй степени относительно х„..., хв. Следовательно, выражение (23) представляет собой нормальную плотность вероятности (1.4.63), которая определяется й + (1/2)л (й + 1) параметрамн: М (зд1хз+и " х ), М (яд 5»(ха+и..., х„), д, /=1, ..., й, Зти параметры зависят от ха+„..., х„.
5. В результате линейных преобразований гауссовских случайных процессов получается также гауссовский процесс. Если на вход линейной системы с импульсной характеристикой й (1, т) воздействует гауссовакий случайный процесс $(1), то при выполнении надлежащих условий интегрируемости процесп Ч(1)=-~й(1, т) 5(т) (, (2.5.24) получающийия на выходе системы, будет также гауссовским (см. с.482).
Справедливо и обратное утверждение: если каждый линейный функционале от $ (г) есть гауссова случайная величина т( (1), то $ (1) является гауссовским случайным процессом. Это важное свойство часто принимается за исходное определение гауссовского процесса $ (1) [27). Можно сказать, что гауссовские процессы обладают свойством «устойчивоати» по отношению к линейным преобразованиям (28). 6. При нелинейных преобразованиях свойство гауссовости утрачиваетая. Если гауссовский процесс $ (1) подвергается нелинейному преобразованию, например, вида т1 (д) = 7 (д, я (1)), где 1 — нелинейная функция относительно $, то процесс т( (д) будет негауссовским.
В частности, в результате перемножения двух гауссовских процессов получается негауссовский процесс (см. (3.3.17)). Однако если негауссовскнй случайный процесс с временем корреляции т„воздействует на инерционную линейную систему (с постоянной времени ч,), то процесс на выходе такой системы приближается к гауссовскому (плотность вероятности стремится к нормальной). Зто приближение тем лучше, чем сильнее выполняется неравенство т, )) т„(см.
р 5.!0). Укажем, что при рассмотрении функциональных преобразований гауссовских отационарных процессов и необходимости получения ко- "функционалом называется математический закон, в силу которого каждой функции соответствует значение числового параметра. 1зз личественных результатов в дополнение к разложению (1.4.36), во многих случаях оказывается полезным следующее разложение двумерной нормальной плотности вероятности: Р,(хм хз) =о-' '~' — Ф<"+» [=г[Ф<"+м ( ~') з (Я). (2.525! ~о/ в=О Здесь математическое ожидание процесса принято нулевым, Ф (х)— интеграл вероятности (1.4.5); Фои (х) — производные и-го порядка от интеграла вероятности, которые табулированы до а = 20 [11[. Это выражение легко получается из (1.4.36), если.
учесть, что производные от интеграла вероятности просто выражаются через полиномы Чебышева — Эрмита (1.4.37): Ф<"+и (х)=( — 1)" Ф' (х) Н (х). (2.5.26) 7. С помощью линейного преобразования коррелированные значения гауссовского случайного процесса можно привести к некоррелированным. Заметим, что если корреляционная матрица (1.4.39) является диагональной, т. е. все [7„, = 0 при 9 Ф ч, то совместно гауссовские случайные величины являются некоррелированными. Поэтому линейное преобразование, в результате которого корреляционная матрица для преобразованных величин будет диагональной, приводит к совместно гауссовским некоррелированным величинам. Методика приведения матрицы к диагональной форме о помощью линейного преобразования известна [37[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
