В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Поэтому К финальных. вероятностей следует определять из К вЂ” 1 уравнений (18) и уравнения (19). Классификация состояний цепи Маркова производится в зависимости от того, может ли процесс из данного состояния попасть вдругое данное состояние. Состояние 6! называется невозвратным, если существует такое состояние Оа (й ~ /) и такое число шагов п, что пр, (и) ) О, но пю (т) = = 0 для всех т.
Все остальные состояния называются возвратными. Таким образом, из невозвратного состояния с некоторой вероятностью всегда можно за какое-то число шагов перейти в другое состояние, однако вернуться из этого другого состояния в первоначальное невозможно. Возвратные состояния предполагают возможность и обратного перехода, причем число ша~ов при прямом и обратном переходах может быть произвольным.
Если существуют такие состояния Ов и бю что для них при некоторых и и т выполняются условия и!ь (и) ) 0 и па! (т) ) О, то они называются сообщающимися. Очевидно, что если 6; сообщается с бд, а ба с б„то 6! сообщается с бо Зто обстоятельство позволяет разделить множество возвратных состояний на подмножества сообщающихся состояний.
При этом состояния„принадлежащие различным подмножествам, не сообщаются между собой. Множество возвратных сообщающихся состояний называется вргодическим. Цепи, состоящие из единственного эргодического множества, называются эргодическими венями. Если, начиная с некоторого достаточно большого п„все элементы матрицы П" положительны для всех и) п„то такая цепь называется регулярной вргодической цепью Маркова. Лля такой цепи после достаточно большого количества шагов процесс может находиться в любом состоянии независимо от начального значения. Если никакая степень матрицы П не является положительной матрицей (различные степени содержат нули на разных местах) и с увеличением степени расположение этих нулей циклически повторяется, то такая цепь называется циклической вргодиче!ной цепью Маркова.
Лля такой цепи можно перейти из каждого состояния в любое другое только при некоторых специальных значениях числа шагов и. Отметим, что для циклических цепей предел (17) не имеет места, так как последовательность П" не может сходиться. Однако в [30! показано, что в этом случае последовательность П" суммируема по Зйлеру и финальные вероятности Р в этом смысле существуют, Если для любого и вероятность и!д (и) = 6!ю где бт — символ Кронекера, то состояние 6! называется поглои!аюи(им.
Наличие в цепи Маркова поглощающих состояний, после попадания в которые случайный процесс уже ие меняет своих значений, радикальным образом изменяет характер процесса по сравнению ео случаем отсутствия 201 таких состояний. Если среди всех состояний цепи Маркова имеется хотя бы одно поглощающее и в него можно попасть из любого другого состояния, то такая цепь называется поглощающей. Предположим, что в цепи Маркова имеется Е поглощающих и К вЂ” Е невозвратных состояний. Пронумеруем сначала все поглощающие состояния (0„...,0ь), а затем все остальные (бь „..., бк), Тогда матрицу одношаговых вероятностей перехода можно представить в канонической форме (2.6.20) где 1 — единичная матрица, порядок которой Е х Е определяется числом поглощающих состояний; 0 — матрица размером Е х х (К вЂ” Е), все элементы которой равны нулю; Π— матрица размером (К вЂ” Е) х (К вЂ” Е), которая описывает поведение процесса в множестве невозвратных состояний до перехода в поглощающие состояния; [1 — матрица размером (К вЂ” Е) х Е, которая характеризует переход из невозвратных состояний в поглощающие.
Следуя [30[, введем следующие обозначения: и, — время, проведенное в состоянии бз до поглощения; Т вЂ” полное число шагов до поглощения; Ьы — вероятность поглотиться в состоянии О,, исходя из 0; при и-ь- оо; Ьы — вероятность того, что процесс когда-нибудь побывает в б„выходя из 06 т — полное число невозвратных состояний, в которых процесс побывал до поглощения; М; Я и В; ([)— математическое ожидание и дисперсия функции 7 при условии, что начальное значение процесса равно 06 $ — вектор-столбец, все элементы которого равны 1; А, — матрица, полученная из А возведением в квадрат каждого элемента; А„г — матрица, полученная из А заменой всех элементов, не лежащих на главной диагонали, нулями. Можно показать [30), что в этих обозначениях основные статистические харатеристики поглощающей цепи определяются соотноше- ниями И = [М; (и;)[ = Д вЂ” (1)-*, И, = [О~ (пД[ = И (2Ил„— 1) — Имэ В=[бы) = ИР, Н = [А„[ = (И 1)И;„;, т,= [М,(Т)) = И$, т, = [Е1~ (Т)[ = (2И вЂ” 1)т, — (т,),, р = [М~ (т)[ = (ИИлл')~.
(2.6 21) (2.6.22) (2.6.23) (2.6.24) (2.6.25) (2.6.26) (2.6.27) Матрица И, определяемая формулой (21) и играющая важную роль при нахождении остальных характеристик процесса, в теории поглощающих цепей Маркова называется фундаментальной. Если Р (О)— начальное паспределение для поглощающей цепи и Р' (О) состоит из 202 последних К вЂ” Е компонент вектора Р (О), т. е. Р' (О) дает начальные вероятности среди невозвратных состояний, то 1Мв ((")1 = Р' (О) Щ (7)1.
(2.6.28) Равенство (28) позволяет найти статистические характеристики (21), (22), (25) — (27) для произвольного начального распределения невозвратных состояний поглощающей цепи Маркова. Для эргодических цепей Маркова также можно ввести фундаментальную матрицу вида Х=(1 — Б+Сг) ', (2.6.29) где 6 — матрица, каждая строка которой равна вектору Р' финальных вероятностей (17).
Обозначим через М, = (ты) и 0 = Ы!т) матрицы, элементы тгт и ды которых есть математическое' ожидание и дисперсия времени первого достижения состояния бт, нз начального состояния д; (все состояния предполагаются возвратными). Зти матрицы могут быть получены с помощью (29) по формулам 1301: М3 — — (1 — У+ Ехала) Пнс, (2.6.30) 11= Мт (2Хле бк — 1)+ 2 (ХМт — Е (ЖМт)л ) — Мг Мт (2 6 31) где Š— матрица, у которой все элементы равны единице. Применение аппарата теории цепей Маркова оказалось весьма плодотворным при анализе работы устройств цифровой обработки радиолокационной информации 1311, цифровых систем фазовой синхронизации 1321, для описания помех в каналах связи [331, при синтезе оптимальных приемников систем передачи цифровой информации 1341 и при решении других практически важных задач.
Формулы (21) — (27) и (29) — (31) удобны для расчетов на ЦВМ. Получение аналитических результатов при больших значениях К вЂ” Е по формулам (21) — (27) и больших значениях К по формулам (29)— (31) затруднительно, что связано с трудностями обращения матриц высокого порядка. При наличии в простой цепи Маркова одного или двух поглощающих состояний в случае, когда матрица вероятностей перехода имеет трехдиагональную ленточную структуру (у нее могут быть отличны от нуля только элементы, стоящие на главной и соседних с ней диагоналях), некоторые статистические характеристики поглощающей цепи можно получить аналитическими методами решения разностных уравнений с помощью производящей функции.
Покажем это на примере решения задачи о случайных блужданиях между поглощающим и отражающим экранами 1351. Пример 2.б.!. Одномерные случайные блуждянич. Рассмотрим одномерные дискретные случайные блуждания чвстипы нэ некотором ограниченном отреэке (с, 4 оси О, представляющие собоя простук) однородную цепь й!эрковэ с конечным числом состояний дм ..., Юн (рис. 2.38). Пусть в некоторые дискретные моменты времени Г = !, 2, ..., п, ... воэможны переходы иэ любого состояния бг б (с, д) в три ближэйщие состояния д,еь йп дз, с вероятностями п; г+т —— = р, н = ! — р — Ч, н! т т = Ч. Примем, что движение частицы огрнничено в точке с поглощающим, в в гочне г! упругим жестким экранами(!71.
Наличие 203 экранов означает, что если частвпа попадает в поглощающее состояние 01, то иа етом движение заканчивается (вероятиость перехода пп —— 1), а если она попадает в состояние дк, то в следующий момент времени частица с вероятностью г попадает в состояние Ок 1 (т. е. и, = «) либо с вероятностью 1 — г остается в точке И (т, е. пк к = 1 — г). Требуется вычислить статистические характеристики поглощения иэ проиэвольногэ начального состояния 01 ~ (с, г(), в частности вероятность поглоще.
нвя эа и шагов: )!">=Р(й,~с,..., Еь а~е, О„= )О„=О;). (2.6.32) Длн веронтнэсти поглощения (32) при и = 0 имеем очевидное равенство й (э1 Г 1 при 1=1, ( 0 прв /ф1. Рис. 238. Дискретные случайные блуждания при наличии отражающего и поглоща- ющего экранов Оно означает, что частица, находящаяся в положении с, поглощается в момент времеви и 0 с вероятностью единица, Матрица вероятностей перехода размером К Х К в этом случае имеет вид 1 0 0 О Вероятнэсть (32) поглощения за л шагов из начального состояния 01 может быть вычислена с помощью соотношения (16), в котором нужно ооложять Р' (0) = йч1, где йч — вектор, у которого равны нулю все элементы, кроме $, = 1.
ОЧЕВнднэ, ЧтО В даииОМ СЛуЧаЕ 1)а1 = рг (Л). ОСтаЛЬНЫЕ КарантЕрнстиКИ поглощения могут быть получены по формулам (21) — (28). Однако, как уже отмечалось, при больших значениях К эти вычисления становятся громоздиими и могут быть выполнены только на ЦВМ. Чтобы нолучнть некоторые статистические характеристики поглощения аналитически, поступим следующим образом, Пусть А„означает событие апоглощенне произошло 'в точке с в момент Г = пм Тогда 11(э1 = Р (А„( Оэ = 01), Если иа первом шаге частица перешла в состояние 01+а, то для осуществления события А„ необходимо, чтобы произошло событие А„ т при начальном уело.
вин Оэ = О «.т. Поэтому вероятность того, что частица перешла в состояние Оуч.а и событие А„ произошло, равна РР (А„ х ) Оэ = 01+а). Учитывая всэ возможные иа первом шаге переходы, получаем 204 Р (Ап 16о =О)) = РР (Ап-т! Оо = О)+т) + (1 — Р— Ч) Р (Ап-т ! Оо = ОД+ +ор(Ап-)16 =Ог — )). Согласно (32) зто означает, что искомая вероятность поглощения удовлетво- ряет разностному уравнению (г =Р))!и) ) +П вЂ” Р— о) ))щ )+о()п,, )=2, )( — 1. (2.6.34) Для уравнения (34) согласно (32), (33) имеют место следующие начальные и гра.
вичные условия: 71)=! при п=0, при и+О, — (! — г) )л .+г)л ) при и ъ' 0 (2.6.35) Решение разностного уравнения (34) с начальными и граничными условия- ми (35) можно получить с помощью производящей функции. По определению производящая функция еероягппоегпей поглощения за и шагов равна '~ )(и) и (2.6.36) п=з Умножив обе части уравнения (34) на еп и просуммировав по всем и, для Р (з) получим разностное уравнение Р)=е (РР)хат+(1 — Р— 4) Р)+РР! (2.6.37) Аналогично из (35) найдем граничные условия для уравнения (37) Р)=1, Р =е [(1 — г) Рл+гРл )].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
