В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Учитывая важную роль, которую в теории марковских процессов играют процессы с независимыми приращениями, кратко рассмотрим их основные свойства. Процесс Ч (!) называется процессом с незаеис мыми прираи(ениями, если для любой последовательности моментов времени !» 1„..., 1„... значения Ат[((,), АЧ ((,), ..., Ат[((х), ..., где АЧ ((;) = т[((;.г1) — Ч ((;), являются взаимно независимыми. Процесс с независимыми приращениями называется однородным, если распределение случайной величины Ач (т,) зависит только от разности Г; ы — 1; н не зависит от (; и (,+, в отдельности.
Функция распределения любого однородного процесса с независимыми приращениями безгранично делима. Это означает, что если некоторый отрезок времени И„Й разбить на й равных частей И (]т'Аг = = ! — 1,), то для характеристической функции Ф (]б, ( — (,) приращения процесса з! (!) имеет место равенство ' Ф (]6, г — (е) = [Ф (]6, А()]~, где Ф (]О, И) — характеристическая функция приращения процесса т! (() на отрезке И. Можно показать [51, 52[, что любую случайную величину, распределенную по безгранично делимому закону, можно представить в виде оуммы независимых друг от друга гауссовской случайной величины и бесконечного числа (континуума) пуассоновских величин. При этом логарифм характеристической функции приращения однородного процесса с независимыми приращениями в достаточно общем случае имеет вид 216 1пФ(1Ф, Д1)=Дфоп'т — — Ф'(16+ ') (е1е'ч — 1) п(Т)Л'~, (2.6.121) 2 где ш — и-мерный вектор; б — матрица порядка п х и; и (Т)— скалярная неотрицательная функция п-мерного аргумента 7.
Первые два слагаемых в квадратных скобках формулы (121) характеризуют гауссовскую составляющую, а последний член — пуассоновскую составляющую приращений процесса с независимыми приращениями. Гауссовская составляющая, которую далее будем обозначать Дч ((), распределена по нормальному закону с вектором математических ожиданийй тД« и матрицей дисперсий (1ДС Приращения Дч (г) можно рассматривать как приращения некоторого гауссовского процесса ч (г), который называется винеровским процессом.
В дальнейшем, не нарушая общности, будем считать ш = 0 (в уравнениях (119), (120) известное математическое ожидание воздействующего процесса всегда может быть учтено при записи функции г (Х, 1)) и гауссовскую составляющую записывать в виде Дч (г) = бДч (г), (2.6.122) где б — матрица порядка и Х к; ч (() — стандартный к-мерный винеровский процесс с нулевым математическим ожиданием и матрицей дисперсий 1Дй Размерность А и матрица б выбираются (задаются) так, чтобы бб' = б. Пуассоновскую сося«авллющую приращений процесса с независимыми приращениями далее будем обозначать через Ду (г).
Эту случайную величину можно представить по-разному. Следуя 160, 5П, запишем ее в виде Ду (() = ~ С (7, ()ч («(7, Дг), (2.6.123) где С (Т, г) — и-мерная детерминированная функция, а ч (А, Д()— случайная величина, принимающая значения О, 1, 2, ..., к, ... и распределенная по пуассоновскому закону Р (ч=к)= ехр( — Х(А)Д1), м Х(А)=~ я(У)ду. Здесь А — некоторая часть пространства интегрирования в (121). Интеграл в (123) определяется следующим образом.
Разобъем пространство интегрирования в (121), (123) на Ж взаимно неперекрывающихся множеств А„А«, „Ак. Обозначив Ут «среднюкв точку множества Ап определим интеграл (123) как 216 Ду(()=1пп ~~~~ С(уп () ч(Ап Д«), У~~~ 1 Случайные величины ч (А„И), ч (А„Лг), ..., ч (Ан, А() и ч (А, гтг,), ч (А, Ит), ..., ч (А, Иь) независимы между чобой, если множества А„А, ...,Ан, на которые разбивается все пространство интегрования, и интервалы времени'Лг„г»г„..., А(„не пересекаютоя. "..лучайная величина ч (А, И) называется пуассоноеской случайной мерой с параметром ) (А). Можно показать 1511, что для распределения Лу (1) справедливо соотношение р (Лу) = (1 — рб() б (Ау) + рб()г (т (т) б [Ау — С (у, ())г(у + (д() где р = )п ( т)аТ; й ( т) = и ( т)/)т.
(2.6.124) Распределение (124) можно интерпретировать следующим образом: случайное приращение Лу равно нулю с вероятностью 1 — рИ + о (гтг) или принимает значение, лежащее в интервале (С( т', г), С (У + ЛУ,1)1 с вероятностью рп ( т)ЛИ т' + о (гтг, Л'т). Процесс Лу (7) можно рассматривать как приращения некоторого процесса с независимыми приращениями у (г). Этот процесс характеризуется тем, что в течение малого интервала времени (1, 1+ Аг) он остается постоянным с вероятностью 1 — )«А(+ о (Лг) или с вероятностью 1»А(+ о(А() получает приращение С (Т, 1), где т' — случайная величина, распределенная по закону й ( т'). При этом вследствие малости И и произвольности С (У, г) изменение процесса у (1) должно происходить скачком. Поэтому такой процесс называется скачкообразным.
Так как у (7) — процесс о независимыми приращениями, то интервалы времени между скачками т„т„..., тю ... и «амплитуды» этих скачков С ( тт), С (Ут), ..., С (Уд), ... образуют независимые друг от друга последовательности независимых случайных величин. При этом число скачков, происшедших за время т, распределено по пуассонов- скому закону р (lг, г) = ~Я ехр ( — рт), Уг = О, 1, 2...
)» Процесо т) (8) называетоя стохастически непрерьиным, евли для любого а) О 1пп Р (Ц т1 (8 + Ж) — т1 (1) )) ) е) = О, ьг-в.ь где Ц )) — норма вектора, равная, например, корню квадратному из суммы квадратов его составляющих. Учитывая приведенные свойства составляющих процессов с независимыми приращениями, можно показать, что они являются стохастически непрерывными. Процесс »1 (1) называетея непрерывным(или усиленно непрерывным), если для любого в) О 1пп — Р ( )) т) ((+ А() — Ч (1)!) ) е) = О. ьг о аг 217 В противном случае процесс называется скачкообразным или часто равд»иным.
Можно показать [51), что гауссовская составляющая процесса с независимыми приращениями является непрерывной, а пауссоновская — чисто разрывной. Лля процессов с независимыми приращениями, по крайней мере формально, можно ввести понятие произвэдных по времени Я (Г) = — ((), Г (Г) = ~ 7 ((), в (11 = ~ Ч Ф). ~11 Ж й По определению производная по времени от винеровского процесса называется белым гауссовским шумом.
Это гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей М (1» (1)ЬР (Г + т)) = 15 (т) для <стандартного» белого шума или М (Й (1)в[» (1+ т)) = (15 (т) для производной от ч (1). Производную по времени пуассоновской составляющей процесса о независимыми приращениями можно интерпретировать [511 как поток 6-образных импульсов г(1)=С(т'„) 6(1 — Г„), (2.6.125) где Гм 1», ..., 1» — случайные моменты появления этих импульсов, которые определяются параметром (». Таким образом, достаточно общее описание динамики непрерывнозначных марковских процессов можно получить с помощью дифференциальных уравнений — Х(Г)=Р(Х, 1)+6(Х, 1) Ы(()+г(1), (2.6.126) ~Ы <(Х (1) = Р (Х, 1)г(Г + 6 (Х, 1)сЬ (1) + г(у (1) = = Г (Х, 1)<И + б (Х, 1)г(т (1) + ) С (Х, У, 1)т (г(»', г(1), (2,6.127) где нуассоновская мера т(А, И) характеризуется функцией п(У[1, Х), а процесс г (1) определяется выражением (125).
Сразу же оговорим, что уравнения (126), (127) понимаются в смысле Стратоновича [48) (см. ниже). Эта оговорка связана с тем, что понятие производных по времени от процессов с независимыми приращениями введено довольно формально. Поэтому в правую часть уравнения (126) входят случайный процесс в1 (г), который имеет бесконечную дисперсию, и процесс г (г), принимающий бесконечные значения при 1 = 1<. В силу этих обстоятельств уравнения (126), (127) назыаакпся стошстическими дифференциальными уравне»шями в отличие от обыкновенных дифференциальных вида — Х(()=Г(Х, Г), Х(Г<)=Х<.
Как известно, решение обыкновенного дифференциального уравнения (128) можно записать в виде Х (1) = Х<+ ) г (Х> г) г(т. Здесь под интегралом (он называется интегралом Коши — Римана) понимается предел суммы с Ф вЂ” ! Р(Х, т) дт = !пп ~ч„зР (Х (т;), б) Л1, (2.6.129) ы «е о=а где пг = 1~-н — (и го< !1< "< !н = й В математическом анализе показывается, что такой предел существует„если функция Р (Х, !) удовлетворяет условиям Липшица. По аналогии решение стохастического дифференциального уравнения (127) можно представить в виде Х (!) = Хв+ ) Р (Х, т) дт+ ! б (Х, т) дч(т)+ + ~ ) С (Х, У, я) т (дУ, с!т), (2.6.130) т. е, как функция верхнего предела этот интеграл представляет собой скачкообразный случайный процесс, который изменяется скачком в случайные моменты времени гь 1„..., (ю ...
иа случайные значения С (Х (!1) '~'м !1)* С (Х (!я)« '!(я, !я)« " э С (Х ((ь)1 Ую !ь) Интеграл от гауссовской составляющей в (130) можно определить по-разному. В математической литературе используется определение интеграла, данное японским математиком К. Ито. Стохастическим интегралом в смысле Ото называется предел сходящихся в среднем квадратическом интегральных сумм вида 8* (!) = ~ б (Х, т) с(* ч ( е) = =1.!.ш ~', б(Х(1,), 1д (ч(!г ы) — У(тд). "к=о (2.6.131) 2!з но для этого нужно определить, что здесь следует понимать под интегралами от случайных процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
