В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(2.6.38) Введение производящей функции (35) позволяет свести разностное уравнение (34) от двух переменных и и ) к разностному уравнению (37) только от одной леремеиной А Этот прием аналогичен использованию преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, а производящая функция является дискретным аналогом характеристической функции для непрерывных процессов. Общий метод решения однородных линейных разностных уравнений типа (37) состоит в подстановке Р! (з) = Л), определении корней получающегося характеристического уравнения и постоянных общего решения из граничных условий (38). Проделав соответствующие выкладки, для производящей функции вероятностей поглощения получим ° =(-'Г ( ЛЛ вЂ” ) — ЛЛ вЂ” )) (1-'; зг — е) — ег ( ЛЛ вЂ” ) — ' — Л)à — ) — )) Р! (е)= — ~ Р ~) ( лл-) — лл ') (!-(-ег — з) — ж( лл з — л)г з) (2,6,39) ич д ) дР! (е) ч.,= —,Р) (е)+ — Р,(е)-~ ааз (2,6.41) 205 где корни характеристического уравнения даются выражением Л) т (е) =(! — з (1 — р — 4) ~ 1/(! — е (1 — р — 4))з — 4р))ез) (2ре) Вероятности ))п~ могут быть получены разложением (39) по степеням зп с помощью довольно громоздских вычислений (17).
С использованием свойств про* наводящей функции (35) могут быть просто найдены компоненты веиторов мате. матического ожидания (25) н дисперсии (26) времени до поглощения д та.= — Р! (е)), Дискретные марковские процессы Пусть по-прежнему скалярный случайный процесс О (г) может при- нимать только дискретные значения От, 4)„..., Ьк, но смена этих значе- ний происходит не в фиксированные, а в любые случайные моменты времени (обобщение на многомерный случай будет дано в следующем разделе). Для вектора-столбца безусловных вероятностей и матрицы веро- ятностей перехода аналогично (8) введем обозначения Р (1) = 1Р, (()! = ! (Е (() = ба)1, П ((„г) = !п,„((„1)! = !г (В (1) = б„)6 ((,) = 6!)1, 1, й= 1, К, 0((о(й (2.6.42) Очевидно, что введенные вероятности неотрицательны и удовлет- воряют условию нормировки р„(г) > О, ~ р, (1) = 1, о=! (2.6.43) к п)~(1щ 1))0, ~я~ и!ь((щ ()=1, 1=1, К, (2.6А4) о=! Кроме этого, для вероятностей перехода аналогично (12) справедливо уравнение Колл!егорова — Чзалгена П((о 1+ И) = П((о ()П (( (+ И) 1) (о И) О.
(2.6.45) Характерное свойство дискретных марковских процессов, для которых. смена состояния может происходить а любые случайные моменты времени, состоит в том, что для малых приращений времени И вероятность п„ь того, что текущее значение не изменится, превышает вероятность изменения этого значения, т. е. пзь (1, 1+ И) = 1+ аьь (1)И+ о (И), пь! ((, 1+ И) = аь! (1)И + о (И), (2.6.46) где символом о (И) обозначены члены выше первого порядка малости относительно И, т.
е. 1нп !о (И)/И) = О. Это свойство называется ы- о свойствоы ординарности 1171. Согласно (44) из (46) следует, что (2.6.47) азз(()= — ~~Р„аз)(1) (О, аь;(1) =-О. /ч*з 206 Например, для среднего времени до поглощения иа начального состояния От в рассматриваемом примере из (39) и (40) при г + 0 получим. о(р — о+г) ~( о )г-к ~ о )1-к1 1 — 1 С помощью (41) и (39) можно получить аналитическое выражение для дисперсии времени до поглощения, которое здесь не приводится из-за его громозд- кости Кроме того, имеют место очевидные равенства П (~(ь ~0) 1> П (1, 1+ Л() = 1 + А (1)И + о (И), (2,6.48) (2.6.49) — П(йь О=- — А (1о) П((о, 1), 1) 1о.
в>(> (2.6.52) Лля безусловных вероятностей состояния аналогично (11) справедливы соотношения (>) П ((о ()р (((() (2.6.53) Р (1 + Аг) = 11~ (1, 1+ А() Р (1). (2.6.54) Из (54) и (49) для безусловных вероятностей состояния получим дифференциальное уравнение —,"„Р(1) =А (1) Р(1), (2.6.55) решение которого при А (1) = А '= сопз1 согласно (51), (53) имеет впд Р (() = (ехр (А' (1 — 1(>)1)Р (Ее), (2.6.56) Лискретный марковский процесс называется однороднвия, если матрица вероятностей перехода П (1„1) зависит только от разности т=1 — го, т е.
П (>о> >) = П (1 >о) = П ("г). (2.6.57) 207 где А (1) называется л(отрицай инфинитивил(альных вероятностей перехода. Подставив (49) в правую часть уравнения (45) и перейдя к пределу при И-» О, получим уравнение Колмогорова — П 0о 1) =П (((» 1)А(()> (2.6.50) общее решение которого с начальным условием (48) при А (1) = А = = сопз1 имеет вид матричной экспоненты П ((„1) = ехр!А (1 — 1,)1.
(2,6,51) Аналогично (51) решение уравнения (50) с помощью замены переменной по времени может быть также получено при А (1) = 7" (1)А, где 7(г) — произвольная скалярная функция времени: а рн ((= -> [А1/(.(.~~. Лля произвольных матриц А (1) решение уравнения (50) в принципе можно отыскать методом последовательных приближений [37). Лискретный марковский процесс остается марковским и в обратном направлении времени. При этом наряду с уравнением (50), часто называемым прямым, справедливо также обратное уравнение Колл(его- рова 14з (46) следует, что для однородного дискретного марковского процесса матрица инфинитизимальных вероятностей перехода А не зависит от времени и уравнения (50), (55) имеют решения (5!), (56).
Классификация состояний однородного дискретного 'марковского процесса полностью аналогична классификации состояний однородных цепей Маркова (нужно только вместо числа шагов и рассматривать интервал времени ! — (,). Соответственно различают эдгодические и поглоц[аюи~ие дискретные марковские процессы. Для эргодического дискретного марковского процесса существует стационарное (равновесное) распределение вероятностей состояний Р, которое определяется из К вЂ” 1 уравнения А'Р = 0 (2.6.58) и условия (2.6.59) Если обозначить через б = я Р' матрицу, у которой каждая строка равна вектору Р"' вероятностей стационарного распределения', то аналогично (29) можно ввести фундаментальную матрицу эргодического дискретного марковского процесса Е = (! — П + б) т = (б — А) т.
(2.6,60) Тогда для матриц математического ожидания !ты[ и дисперсии Ыы) времени первого достижения состояния д! из О, справедливы следующие соотношения [361: М1 = [ты[ = (Е5аа — Е + б) ба Ф (2,6.61) П = !ды[ = 2 [МА~абаз [ 5Мг — Е (5М,)эя) — МтМм (2 6 62) где Я=У вЂ” б. Для однородных дискретных марковских процессов с поглощением матрица вероятностей перехода (57) аналогично (20) может быть записана в канонической форме и (!) [ О (г) (2.6.63) П = ! + 1пп [П (!) — !17! = ! + А = С->О+ (2,6.64) Х = (! — (!)-г. (2.6.65) В этом случае элементы фундаментальной матрицы поглощающего процесса дают среднее время до'поглощения, проведенное в состоянии д! при начальном состоянии йы а сама фундаментальная матрица аналогично (2!) равна Можно также показать (361, что для статистических характеристик поглощения справедливы выражения И, = й( (21Ч~ — 1) — И,~, (2.6.66) В= й(К, (2.6.67) т„= Х$ (2.6.68) т, = 2)Чт, — (т,)еп (2.6,69) 41 (1) = ехр (٠— 1)Л, (2.6.70) К (г) =  — 14ь) (1)К, (2.6.71) Очевидно, что такая аналогия однородных дискретных марковских процессов с цепями Маркова не случайна.
Это объясняется тем, что согласно принятой классификации к дискретным марковским процессам относится, в частности, процесс в непрерывном времени с состояниями дп ..., дк, смена которых происходит в фиксированные моменты времени г' = пТ (и = О, 1, ...), а на интервале [ (и — 1)Т, пТ) значение процесса постоянно. Не претендуя на строгое математическое изложение, покажем, что такой дискретный процесс может быть исследован аппаратом теории цепей Маркова.
Лействительно, так как смена значений происходит в фиксированные моменты времени, то А (1) = А б (1 — пТ), п = О, 1, ..., А сопз1. Для- матрицы одношаговых вероятностей перехода соответствующей цепи Маркова аналогично (61) получим П = П (1) = ехр (А). (2.6.72). Это означает, что если задана инфинитизимальиая матрица А однородного дискретного процесса и моменты смены состояний точно известны, то такой процесс всегда может быть описан цепью Маркова с матрицей вероятностей перехода (72). Отметим, что обратное, вообще говоря, неверно. Если задана цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода П, то описать ее с помощью дискретного процесса с матрицей А можно ие всегда.
Это связано с тем, что А=!пП, (2.6.73) а матричный логарифм определен только при условии (Х; — 1~ ( 1, 1 = 1, К, где Х~ — собственные числа матрицы П. дискретные марковские процессы находят широкое применение в теории массового обслуживания (38 — 40) и теории надежности (41— 431, Они также используются в качестве моделей дискретных сообщений и помех в теории оптимальной нелинейной фильтрации (44)„ для математического моделирования систем связи о многостанционным доступом !46! и для решения многих других задач. Отметим, что если интересоваться статистическими характериптиками случайного времени между сменами состояний дискретного мар. ковского процесса, то можно прийти к понятию точечного процесса 20в Пример 2.6.2. Процесс рождеввя н гибели.
Рассмотрим дискретный марковский процесс 6 (1) со счетным числом состояний О, 1, 2,:... 1,,:., который в случайные моменты времени может скачкообразно переходить в соседние состояния (т. е. значение процесса 6 (О может измениться на ~!). Такой процесс вазываечся нропессом рождения н гибели, так как в частном случае он хорошо описываег статистическое поведение популяции бактерий !461. Вероятвости перехода процесса рождения и гибели удовлетворяют следующим соотношениям; п) 1+1 (г, (+Аг) =Х ° (1) А(+о (А(), 1,; (г,(+б 0=1 — !ху (()+и1 (1)) ш+. (А(), (2.6.74) ЛА1 1(1,1+А()=рг (1) и+О(АП. из (49) следует, что инфинитизимальная матрица А (г) в данном случае имеет трехдиагональную ленточную структуру (такве матрицы часто называют кон- тинуавтами !46)) и элементы втой матрицы равны — !х, Я+91 (1Н )=гп1 х. ((), й=(+1; рг (б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
