В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 37
Текст из файла (страница 37)
6. Оптимальной оценкой значения гауссовского случайного .процесса (по критерию минимума среднего квадрата ошибки) через предыдущие значения процесса является линейная оценка, как и в случае совместно гауссовских случайных величин. При этом для случайного процесса остаются справедливыми формулы (1.4.56) и (1.4.57). Отметим, что этим свойством обладают также сферически инвариантные случайные процессы 6 (1), представимые в виде [29[ 6 (1) = А $ (1), (2.5.27) где $ (1) — гауссовский случайный пропеао о нулевым математическим ожиданием; А — не зависящая от $ (г) случайная величина.
Если Р (А = О) = О, то реализации случайного процесса т[(!) обладают многими свойствами гауссовских процессов. 9. Гауссовские случайные процессы с дробно-рациональной спектральной плотностью являются одновременно марковскими !17!. Гауссовские случайные процессы наиболее часто встречаются на практике и поэтому занимают особое место среди других случайных процессов. Большинство встречающихся на практике электрических случайных процессов, таких, например, как дробовой шум, тепловые флюктуации„собственный шум типового радиоприемника до детектора, атмосферные и космические шумы, представляют собой суммарный эффект большого числа сравнительно слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты времени.
Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей плотность вероятности !37 суммы неограниченно приближается к нормальной е увеличением числа слагаемых независимо от того, какие плотности вероятности имеют отдельные слагаемые. При этом важно лишь, чтобы влияние отдельных слагаемых на сумму было равномерно малым (приблизительно одина- КОВЬ1М). Рассмотрим два примера, представляющих самостоятельный интерес. Пример 2.5.!. Оптимальная экстраноляция гауссовского стационарного процесса. Требуется получить оптимальную зхстраполяционную оценну гауссовского стационарного процесса С (Г+ Л) в момент времени Г+ Л, предполаГая ИЗВЕСТНЫМ СтатИСтИЧЕСКОЕ ПОВЕдсинс ПрОцЕССа Прн — са ( Н ~ ~Л ПРИМЕМ для простовы математическое ожидание процесса нулевым (т.
= 0), поскольну для гауссовского процесса оптимальная оценка [по минимуму среднего квадрата ошибки) является линейной, то будем искать оценку в виде процесса на выходе стационарного линейного фильтра с импульсной характеристикой и (г), удовлетворяющей условию физической возможности (и (г) = 0 при г ( 0): $(г+л) =~ $ (г — х) и(х) г(х= ) 5(р) и(г — д) ну. (2.5.28) Оптимальная характеристика И (Г) по аналогии с (1.4.56) определяется из условия ортогональности ошибки располагаеиым данным; Отсюда для определения И (Г) получаем интегральное уравнение Винера — Хопфа: Дд (1+Л вЂ” П) =( йд(à — х — С') И (х) Дх, (' ~((„(2,5.29) а или )Гд (и+Л) ) Кд (з — х) И (х) Нх, т=( — 1' ) О. (2.5.30) Если импульсная характеристика линейного экстраполирующего фильтра определена ив этого уравнения, то согласно (1.4 57)минимальное значение среднего квадрата ошибки даетея формулой и, ([кг.>ч-)ке-е~(е~*(кг.~я[= о =)гз (0) — ) )сд( — Л вЂ” х) И(х) ох.
(2,5.31) Формулы (30) и (31) оетаютоя в силе и для случая текущей фильтрации, т. е, при Л О. Заметим, что уравнение Винера — Хопфа (30) допускает следующую внтерпретацию: Интеграл справа представляет собой реакцию линейного фильтра И (т) на входной еигнал Я, (т) (рис, 2.33). Каи следует ив уравнения (30), эта реакция равна гг (Г+ Л) и получается сдвигом г( (т) на Л. Это справедливо только при т ) 01 при т ( 0 выходной сигнал не равен )г (т+ Л). Очевидно, что в отсутствие наблюдения средний квадрат ошибки равен И((5з (Г-)-Л)) =й~ (О) =)) .
188 НаЛИЧНЕ НабЛЮдЕиня На ИНтЕрВаЛŠ— со ( р ( Г уМЕНЬШаЕт СрЕдНИй Кнадрат ошибки на величину ) Яд( — ь — х) Ь(х) г(х=~ Я (Х+х) 6(х) пх, а (2 5.32) Рис. 2.33. Иллюстрация оптимальной экстраполяции гауссовского стационарного процесса Согласно (1 4,52) условное математическое ожидание М (в (О[ в (Гт)) пропорционально $ (гг): м [ь (г) [ $ (гт))= аз (гт). это условное математическое ожидание является оптимальной оценкой $ (Г) прв заданном я (11). Поэтому в соответствии с формулой (1.4.56) разнооть я (г) — ьй (гг) ортогональна (а при та = 0 и независима) е ээ (11): М( 5(Г) ЬВ(тгнй(гз))=0, )7 (ГФ (з)=ЬЛЬ((з (г) (2 5 33) Кроме этого, условная дисперсия $ (1) при заданном 5 (гт) совпадает а миниму- мом среднего квадрата ошибки, определяемого формулой (1,4,57)1 эш=м[[5(г) — ь~(гв)) )=м([5(1)-ь5 (11)[5((Ц= -)7, (1, 1) -5711 (1.
11). (2.5.34) При найденных значениив Ь и зйип записываем ияшресующую наа условную плотность вероятнооти р (х1 с[5 (1г) =хг) =(2гвэ ш)-1/з екр [ — (х — Ь)зууаз,п[, (2.5.35) При нахождении условной плотности вероятноети для $ (1) при фикснро. ваинык аначеиияк $ (11) и 51(1з) поступаем аналогично. При этом придем к формуле (1:4.59). Воспольаовавшвев формулами (33) и (34), применительно н етацнонариому процессу $ (1) получим ы [5 (1+д) [а Щ-5 (г) )7, (д)ай (0), 1)1 11+М11 10 М И~ (1+3) -5 (1) )71 Р4')71 (Ю = =)1, (0) — г~ (Ц7)71 (0). 159 представляющую собой реакцию системы Ь (т) при т = — ь (рис.
2:33), Пример 2.5.2. Условные плотности вероятности и оптимальные оценки. Используем принцип получения оптимальных оценои гауссовского процесса для вычисления условных плотностей. вероятностей, Предположим, что гауссовский процесс $ (Г) имеет нулевое математическое ожидание (гл (г) = О) и заданную корреляционную функцию )7. (г„г ). Получим выражение условной плотности э вероятности р (х, 1[ $ (Гг) = хг) Если рассматривать только те реализации стационарного гауссовского процесса $ (Г) а нулевым математическим ожиданием, которые в ааданвый момент времени г имеют одно и то же фиксированное значение (риз. 2.34), то их математическое ожидание в момент времени Г+ Л пропорционально Я (Л).
Для малым аначений Л имеем я (Л) г" (0) Лз )(' (Л) Л, (0) г, (0) ' 2 ' 4 г, (0) — — ! + — ° —, )г (О) — — ээ — )(" (О) Лз, т, е. условное математическое ожидание в зависимости от Л изменяется по параболе, а дисперсия пропорциональна Лз. Аналогичные результаты можно получить и для случая, когда фиксировано ие одно, а несколько значений случайно.
го процесса. )У~9(й А) Ф)~ Рис. 2.34. Поведение условного математического ожидания и условной дисперсни гауссовского ста- ционарного процесса Наконец, получим плотность вероятности экстраполированного на Л значения гауссовского процесса з (г + л), предполагая известным статистическое ПОВЕДЕНИЕ ПрсцЕССа дО МОМЕнтз Л т.
Е. При †3 Р ~ Л Прн ЭТОМ ГауССОВСКИй процесс 3 (Г) по-прежнему считаем стационарным е нулевым математическим ожиданием, Докажем, что М( ((+Л)! $(( )в ( (() ) $(г — х) А(х) Их, (23.30) з где Ь (() — решение уравнения Винера — Хопфэ (30). Действительно, интеграл справа представляет собой наилучшую оценку $ ((+ Л) в зависимости от предыдущих наблюдений в (г'), Р ~ й Поэтому разность 3((+Л)-( а((- ) Л(х) Ы 'з ортогонзльна располагаемым данным, т, е, 3 (Р) прн Р ( й Но по предположе. нвю математическое ожидание процесса равно нулю. При этом указанная разность не коррелирована и не зависима от $ (р): м(ар~.ч — ) ~В-*>асз~*~ейг1,г<ь )- з †.
Г 0 + э -.Х Й с~ -з . с) ~ )- с Кроме того, м(/1Ф-п~м~*прни<~ [-(~р-и мг., 1о так как подыятегральное выражение навесит только от предмдущия значений, Отсюда я следует формула (36). Таким образом, плотность вероятности экстраполированного значения $ (1+ Х) гауссовского стационарного процесса в предположении, что известно поведение $ (П) при К ~ й является нормальной с математическим ожиданием (36) и дисперсяей с.„=и[[~[«.н 1~8-е.и~.~[- о =А'1(0) — [ йй (1+а) Ь (л) ол. (2.6.37) о Последнее соотношение написано с учетом (31) и (33), Ясно, что импульсная характеристика а (1), условное математическое ожидание и дисперсия будут зависеть от ь, Некоторые дополнительные сведения о гауссовских процессах будут приведены в 3 3.3. Белый шум и его модели Рассмотрим стационарный случайный процесс п, (1), корреляционная функция которого равна дельта-функции, умноженной на некоторую постоянную величину Уо/2 (рис.
2.35)' )~ (т) = Вь (т) = Л'о 6 М2. (2.5.38) Как известно (см. приложение 1), дельта-функция равна нулю всюду, за исключением точки т = О, где 6 (О) = оо, причем интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему особую точку т = О, равен единице. Отсюда следует, что рассматриваемый случайный процесс характеризуется тем, что значения и, (1) в любые два несовпадающих, но сколь угодно близких момента времени не коррелнрованы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
