В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Графики корреляционной функции и спектральной плотновти изотропных полей обладают вращательной вимметрией. Поэтому двумер- $76 ные изотропные поля удобно задавать в полярных координатах, а трехмерные — в еферических. В этих случаях и корреляционная функция, и спектральная плотность становятся функциямн одной переменной.
Для случайного двумерного поля спектральная плотность выражается через корреляционную функцию формулой (34). Переходя в ней к полярным координатам и учитывая, что якобиан преобразования равен р, получаем спектральную плотность »« 5 (й, 0) = ~ " («(Ьр, Ь~р) ехр ( — 1 Ьр й (соз О соз ЬЧ~+ (2.4ЛЗ) чп 0 з(п Ь~р)) рддр«й~р, Выполнив и ования, аналогичные сделанным при получении формулы (2~ для изотропного поля получим следующее выражение спектрально плотности: 5(й)=2л~ Ьр,1,(йрл)Н(Лр)АЛр. ' (2.4Л2) Обратное преобразование Ганкеля будет иметь вид Й (йр) = ( М,(бр й) 5 (й) «И. о Если поле анизотропное, то желательно иметь количественную оценку степени отличия поля от изотропного.
С этой целью вводится понятие ковф4»ициента анизотропности поля А. Для уяснения его смысла обратимся к рис. 2.31, на котором показаны угловые спектры поля Я (О) для изотропного и анизотропного полей. В случае изотропного поля вероятностные характеристики не зависят от направления, и угловой спектр Я, (О) представляет собой прямую ливию. Для анизотропного поля его свойства зависят от направления, и угловой спектр Я, (О), показывающий распределение энергии поля по направлениям, выражается некоторой кривой. Формально функция Я„(0) может рассматриваться как некоторый процесс, состоящий из «постоянной составляющей» Я (О) и «перемеиной составляющей». Интенсивность переменной составляющей будем оценивать средним квадратич- ческим отклонением Б„(О) от Г(0): 2« ~ [5, (О) — 5 (О)] 30 ° (2.4.54) Коэффициент анизотропности поля представляет собой отношение А оз/Б (О), А ) О.
(2,4.53) Для изотропного поля переменная составляющая процесеа Б, (О) отаутетвует, оз = 0 и А = О. Чем больше величина коэффициента гнизотропноати, тем сильнее завизят вероятностные характеристики поля от направления. Пример 2.4.3. Случайное поле е вкспоненциальяой корреляционной функцией. Пусть задано поле $ (х, у) с вкспоненциальиой корреляционной функцией (рис.
2.32) )7(бх, Лу)=Ос ~а(ах(+а~а"'~. (2.4.56) Вычислим спектральную плотность такого поля, Рис. 2.31. Угловой спектр изотропногв ба(0) н анизотропного ба(0) по- лей Рис. 2.32. Экспоненциальная корре. ляционная функция (и) и соответствующая спектральная плотность (б) поля Для этого воспользуемся формулой (34): 5(их, ии) =)7 ) ~ е ~аах<+алай ) (" «+~ива) юИхий = Г О -о(( "и'+ч'*ю .~ ( <ъ ч'*~и,1„ с о Ръ~ч ~дт ( р~ъ ч е Выполнив интегрирование, получнм 40ай ~ (ихг из) (аз+ и*) (йа+из) (2.4.57) График спектральной плотности приведен на рис, 2,32, Предположим, что рассматриваемое двумерное поле с зкспоненциальной корреляционной фуннцией является изотропным.
В этом случае удобно поле задавать в полярных координатах $ (р, ф). Корреляционная функция в силу изо. тропности поля является функцией одного переменного: )7 (Ьр) =))е (2.4 .58) Знак модуля в показателе вкспоненты можно опустить, так как в полярных иоордиизтзх йр не может быть отрнцательиым. Найдем спектральную плотность 8 (й), для чего воспользуемся преобразо.
пением Ганкеля (27): 3 (й) = Я П ~ брие (йр й) е аае б (йр). 178 После интегрирования получим 4Р ')lп Г (3!2) 5(й) = г ( г.(.Ы)г/г (2.4.59) где Г (3/2) — гамма-функция. Видно, что каждая ив функций )( и 8 аависит от одного аргумента в симметрична относительно оси ординат. Таким обравом, изучение корреляционных или спектральных свойств нвотропных случайных полей сводится к аналиау одномерных функций, являющихся более простыми по сравнению с многомерными. Пример 2.4.4. Спектральная плотность случайного поля с гауссовской кор. реляционной функцией. Еслв задано поле $ (х, у) о корреляционной функцией )((Дх, Лу)-Ре-1"'"*+яви'1 (2.4.60) то вычисление спектральной функции дает следующий результат: г (аль*+ 1ии Ьх) г (аауг+(ии Ьу) 3(и„, иа) Р ) е " г(бх )" е в г(ар, пР 8(ии, и )= е Уий Видно, что случайное поле с гауссовской корреляционной функцией имеет также гауссовскую спектральную плотность.
2.6. ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАВНЫЕ ПРОПЕССЫ В дополнение к принципу классификации случайных процессов, изложенному в начале 2 2.1, укажем другой подход к классификации, из которого будет ясно, какое место занимают гауссовские процессы среди других случайных процессов. После этого приведем определение гауссовского процесса и перечислим его характерные свойства. 0 классификации случайных процессов При перечислении методов описания случайных процессов указывалось (с.
98), что последовательность функций распределения Е„(х„..., х„; (гг ..., г„) или плотностей вероятностей р„(х„..., х„; („..., („), п= 1, 2, 3, ..., представляет собой своеобразную лестницу: с ростом п они описывают случайный процесс последовательно все более детально. Однако многие физические процессы оказываются не столь сложными, чтобы для получения исчерпывающей информации о них требовалось знание всех р„; часто бывает достаточно знать лишь одномерную рг (х; () или двумерную р, (х„х,; (ы гг) плотность вероятности.
Если эти плотности вероятности содержат все сведения о процессе, то по ним можно найти многомерные плотности вероятности. Отметим, что , при решении многих научно-прикладных задач вообще не возникает необходимости обращаться к многомерным плотностям вероятности. Сложность описания случайных процессов, т. е. наибольший порядок п-мерной плотности вероятности, дающей достаточно полное описание случайного процесса, можно положить в основу классифи- 179 кации случайных процессов. По-видимому, простейшим классом являются случайные процессы, полное описание которых достигается указанием одномерной плотности вероятности р, (х; Г), следующим классом являются процессы, описание которых дается двумерной плотностью Вероятности р, (х„х,; (!» (,) н т. д.
Приведем несколько примеров, когда для полного описания случайного процесса достаточно задать одномерную плотность вероятности. Предварительно укажем, что многомерная плотность вероятности детерминированного процесса в (г) = Г (с) дается выражением в р„(хм ..., х; („.... („) = П 6 (х,— ~((с)), (2.5.1) с-! а случайной величины Л с плотностью вероятности р (Л) — выражением » †! р„(Лс, ..., Л„)= р (Л!) П б (Л; — Л,+!). (2.6.2) с=! Рассмотрим частный вид квазидетерминированного процесса в одним случайным параметром з (() = г (с, Л), где г" (с, Л) — детерминированная функция своих аргументов и Л вЂ” случайная величина. Укажем, что по определению нвазидетериинированньслс называется процесс, реализации которого описываются функциями времени заданного вида в (с, Л„Л„..., Л„), содержащими один или несколько параметров Л = (Л„..., Л„), не зависящих от времени. Ясно, что исчерпывающее описание процесса з (с) = г (с, Л) дается плотностью вероятности р (Л) случайного параметра Л.
Действительно, при фиксированном значении параметра Л функция ~ ((, Л) является неслучайной, и согласно (1) записываем условную плотность вероятности р„(х„..., х„; г„..., („! л) = П б (х, — г" (гь л)). ! Безусловная плотность вероятности равна р„(хм ..., х„; с„..., Г„)= ) р„(хм ..., х„; 1„... Г„(Л) р(Л) с(Л= = ') Р (Л) П б (х; — )'((н Ц) с( Л. (2.5.3) » 1 Имеетая неаколько моделей случайных процессов, значения реали« зацнй которых в несовпадающие моменты времени г„см ..., („вчитаются независимыми, и, следовательно, для таких процессов многомерная плотность вероятности равна произведению одномерной плотности вероятноати' »» Рп (х!» "° ° хп1 Г!» ° ° (в) =. П Р (Ю Гс).
(2 6.4) ! Конкретным примером такого процесса может служить белый шум, описанный ниже. В пределе (при (с+! — (! -»- с»с») равенство (4) выпол- 180 няется для большинства реальных процессов. В частности, оно обычно выполняется для процессов на выходе физических систем с конечной постоянной времени т„если г!+! — г! ))т„! = 1, 2,, п — 1. Более широкий класс случайных процессов определяется двумерной плотностью вероятности р, (х„х,; т„га). Здесь можно привести несколько примеров (например, квазидетерминированный процесс а двумя зависимыми параметрами з (1) = 1 (т, Л„Ле) и др.). Однако мы укажем два типа случайных процессов из этого класса: гауссовские и марковские.
Оии наиболее хорошо изучены и широко используются при решении радиотехнических задач. Марковские процессы будут рассмотрены в й 2.6. Приведем определение гауссовских процессов. Гауссовские процессы и их основные свойства Вещественный случайный процесс $ (1) называется гауссовским, если для любого конечного множества моментов времени г„г„..., г'„ случайные величины 3! = $ (1,), ..., й„= $ (1„) имеют совместную нормальную плотность вероятности (1.4.40), (1.4.42) или характеристическую функцию (1.4.41), (1.4.4о). Поскольку теперь случайные величины $в = $ (йв) зависят от выбранного момента времени 1в, то левые части указайных формул целесообразно обозначить р„(х„..., х„; 1„..., 1„) и Ф„(10„..., 16„; г'„..., 1„), а математические ожидания дисперсии, и корреляционные функции пти !л$ (!в) ! [и(!в)[ ой хЪ с'1(!в) й4 [[ь(!и) пгй((и)[ [' )с~ =)тт =)(1(гв ! )=М [[я(!в) пт1 (гв)[[ь(гт) пт1 (!")И= (255) =У ))1(1„)1)1(1,) гд(Ф~, 1,), р, т 1,п.
После такого уточнения обозначений применительно к гауссовским случайным процессам формулы (1.4.40) — (1.4.43) сохранят свой вид. Для примера перепишем формулу (1.4.43) ГРа(10 " 10 1(М" ° 1 ) Отметим, что фигурирующая в показателе квадратичная форма Я (д„..., д„) является неотрицательной*, т. е.
'Если для всех действительных значений переменных х!...„х„ и я(ххах. ° .~ хп)= '~~ а„„х„х )О„аи,— а П, тлц то форма 9 называется неотрицательной квадратичной формой. Если знак равевства имеет место только тогда, когда все х равны нулю, то форма Я нааыва. ется положительно определенной, 181 Это следует из того, что для любых вещественных О„..., д„математическое ожидание неотрицательной величины не может быть отрицательным: Если принять математическое ожидание процесса нулевым (лдд (г) = О), то, воспользовавшись обратным преобразованием Фурье (1.2.38), можно показать [81, что квадратичная форма в показателе формулы (1.4.42) является также неотрицательной: Я, (хм ..., х„) = ~' — "' хях,) О. (2.5.8) жч=~ Для положительно определенной квадратичной формы Я этот результат следует из того факта, что квадратичная форма Я, является обратной форме Я.
Известно, что если (~ — положительно определенная форма, то и 9, также положительно определенная н наоборот. Формула (6), а также (1.4.42) позволяют указать несколько важных свойств гауссовских процессов. 1. Гауссовский случайный процесс исчерпывающим образом определяется указанием математического ожидания тд(1) и корреляционной функции дд д ((д, 1,). Действительно, в выражения для характеристической функции и плотности вероятности входят только математическое ожидание и корреляционная функция. Если на основании каких-либо соображений известно, что случайный процесс является гауссовским, то его а-мерные плотности вероятности и характеристические функции однозначно определяются математическим ожиданием и корреляционной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
