В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Хо ЕЙ (2 6.156) д4,, с начальным условием (143) и граничным условием и (Х !!Хо го) = 6 Хо (2.6. 157) 224 Как функция аргументов Х и 1 она удовлетворяет прямому уран* нению — и (Х, ! !Хо» 1о) = Яс»в (и) + Мс', к (и)» Х Е ()» (2 6.158) дс Ра(1! Х. 1,) = 1 п(Х,)1Х~ 1о) (Х(1.
Как функция аргументов Х, и со эта вероятность удовлетворяет уравненисо Понтрягина — — Ра (11 Хо (о) = Мс"„х, (Ра) +-1Сс.', х, (Ра), Х Е (1» (2,6,161) дсо о начальным условием ) 1, если Х, Я Й» ( О, еели Хо Е )с, (2.6.162) и граничным уаловием Ра (! ~ Хо (о) = О, Х, Я Г. (2.6.163) Вероятность того, что траектория процесса, начавшаяея из точки Х, хотя бы один раз за время ((о, 1) покинет облаать Й (побывает в области Ь'), равна С,)а (1 ~ Хо, 1 ) = 1 — Ра (1 ~ Х„(,), (2,6.164) Уравнения (142), (148), (153) и (161) являютоя интегродифференциальными уравнениями в частных производных. Как известно, рецептурных методов решения подобных уравнений нет (исключение, может быть, составляют приближенные методы вычиеления моментов, кумулянтов, квазимоментов и т.
п. (511), Поэтому задача нахождения даже стационарного решения прямого уравнения Колмогорова — среллера, как правило, оказывается очень сложной. Пример 2.6.3. Сивчиообрввный случвйный пропеоо. Рвсомотрим скалярный скачкообразный случайный пропесо, который описывается стохвооическим днф. ференпиольным урввненнем видо дх(С)=) 9 (др,дб, в(Со) = л„ где пуоссоновсквя мерв хврвктернвуется фунннней и (р ! С, х) 1» (С, х)6 (р — 1) + а (С, х]6 (р + 11. (2.6.166) Ив (1241 и (166) оледует, что в данном случив Р (С, я) =* й (С, л) + гс (!» л), а (р 1 1» л) и (р 1 С» в)СР (С» я). (2.6.167) Э зоо.
ово 226 о теми же начальным и граничным условиями л (Х» 1)Хо» 1о) О» Х ~ Г (2.6.159) Здесь .Ус",„( ° ) и сос,' ( . ) — операторы (146) и (151), в которых интегралы берутся только по области Й. Вероятность того, что траектория процесса Х (с), начинающаяая из точки Х„ни разу не достигнет границ области (о в течение интервала [1„1), равна Равенства (167) означают, что в течение малого интервала времени [(, г+ б!) значение случайного процесса (!65) с вероятностью 1 — р (д х)бг+ +о (й)) остается постоянным или с вероятностями Л (6 х)бг+ о (бг), а (6 х)бг+ о (бг) оно скачкообразно изменяется соответственно на +1 илп — 1.
Прямое уравнение Колмогорова — Феллера (!53) для безусловной плотности вероятности р (х, !) процесса х (!) в соответствии с (146) имеет вид д дг Р (х, 0 ))Р (5, г) [6 (х — $ — у) — 5 (х — $)[ [Х (г, х)6 (у — 1)— — а (д х)6 (у + !))б5ду, После интегрирования по у н а отсюда следует д д! Р(х О "'(1*»+ 1)Р (»+ ! гг+н(! х !)Р(» 1 Π— [Х (6 х) + н (6 х)[Р (х, г).
(2.6. 168) Если начальное значение процесса (165) х« = Д, где й — целое число, то в следующие моменты времени г) !«процесс х (!), очевидно, может принимать только целочисленные значения, Такой пропесс йазывается процессом рожде- ния и гибели (см, пример 2.6.2), При атом плотность вероятности р (х, г) вы- ражается через безусловные вероятности р! (() = Р (х (г) = )) соотношением р (х, С) =~~~', р; (г) 5 (х' — !) .
(2.6.169) ! Подставив (169) в (168), для безусловных вероятностей состояний дискрет- ного процесса х (() получим уравнение д Рт (!) )«((~! !) Р! ! (!)+н (г !+!) Рг~р! (Π— [ (г. !)+и (г. ))[ Р! (() (2.6.170) которое с точностью да обозначений совпадает с (76). Если функция д (6 !) и и (6 !) таковы, что Х (г, 1) Х, сг (й 2) р и )«(6 !) р (6 !) = О для остальных /, то (165) при х« = 1 или хз 2 опнсы. вает частный случай процесса рождения и гибели — дискретный марковский процесс с двумя состояниями хг = 1 и х 2, При втоц вероятность перехода х! хз за малое время бг равна Дб!+ о (б!), а вероятность перехода хз х, равна рбг+ о (Лг), Так как любой дискретный марковский процесс х (!) с двумя состояниями х! и х с помощью линейного преобразования х (!) = (х„+ х )/2+ (хг = х )О (Г)/2 можно выразить через случайный процесс О (г) с состояниями 6! 1, О = — 1 и теми же вероятностными законамн смены состояний, то из (170) для безуслов- ных вероятностей состоявий процесса О (Г) получим д — р, (г) - — лрт (!) +р р, (г), (2.6.17!) — р (г) = дрг (г) -р рз (ф.
дг Здесь р! (О = р (О (О !), Рз (г) = р (О (О = — !). Описанный случай. ный процесс 6 (г) называется злу«одным дзои«нам сигналом [44[, Лример 2.6.4. Нелинейное преобразование случайного телеграфного сиг- нала. Получим стационарную плотность вероятности скалярного случайного процесса х (г), поведение которого описывается нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка — х (() =Ф (х, О (г)), нг (2,6.!72) где О (!) — случайный двоичный сигнал с состояниями Оы Э .
226 где Ф» (х) = Ф (х, О!), 1 = 1, 2. Сумма и разность уравнений (175) дает д 1 д — р (х, Г) = = — ([Фт (х) +Ф, (х)] р (х, Г)+ +[Фа (х) — Ф, (х)] и (, 1)1, д 1 д — в (х, 1) — — — ([Фт (х) +Ф, (х)] а (х, 1) +[Фа (х)- дг ' 2 да — Ф, (х)] р (х, 1)1 — л [р (х, г)+и (х, (П+1» [р (х, г) — и (х, 1)]» (2.6.177) (2.6.176) Так как 0 (т) — марковский процесс, который может быть описан стохас- тическим дифференциальным уравнением (165), то векторный процеса [х ПЛ 0 (()П также является марковским. Поэтому для совместной плотности вероятности р (х, О, Г) может быть записано прямое уравнение Колмогорова— Феллера (!53) и из решения етого уравнения в данном случае может быть найде- на стационарная плотность вероятности р»~ (х), Можно поступить иначе, воспользовашнсь определением сметанного мар- ковского процесса [53], у которого одна компонента х (Г) непрерывна, а другая 0 (Г) дискретиа.
Обозначив и, (х, Г)ах = Р (х (6 ~ (х, х + бх), 0 (Г) 6!), рз (х, Г)бх =г[ (1) ~ (, +Пх), 0(1)-ба), (2.6.173) для безусловной плотности вероятности процесса х (Г) можно написать р (х,'г) = дт (х, 1) + р (х, !). (2.6 174) Для функций (173) на основании общей методики (см., например, [17]) получим систему уравнений д д — л, (х, 1) = — — [Ф (х) Пт (х, 1Ц вЂ” Л ра (х„!) +рр, (х, ф, бт ' дх д д 31 ' дх — Рт (х, Г) = — — [Ф, (х) р, (х, т)]+Лра (х, 1) — ррз (х, 1), (2.6.175) где введена вспомогательная функция и (х, 1) рт (я, Г) — р (х, 0. (2.6.!78) В стационарном соатоянии, приравняв производные по времени в (176), (17У) нулю, из (176) имеем Фт (х)+Ф, (х) а (х) = 1!ш в (х, 1) = р,! (х). ! Ф, (х)-Ф, (х) Подставив (179) в (177), получим уравнение д (2Фт(х) Ф,(х) ] Г Фт(х)+Ф, (х) 7 — р»1 (х) [+ ] [ь-Л вЂ” (Л +р) дм (х) =0.
дх [Ф» (х) — Фа (х) Ф» х) Фь (х) 1 Отсюда следует, что для стационарной плотностг~ вероятности процесса х (!) справедливо соотношение Ф» (х) — Фт (х) Г [' рФ (х)+ЛФ» (х) ~!) Фа (х) Ф» (х) [,] Фя (х) Ф (х) где С вЂ” постоянная, определяемая из условия нормировки. Предполагается, что знак функции перед зкспонентой выбран так, чтобы выполнялось условие неотрицательной определенности (180) (возможность такого выбора определяет существование стационарного распределения). 8» 227 Иа (174), (178) н (179) можно также найти стапнонарные аначення плотно- стей вероятности (178) !П, (х) ' Ф, (х) рт(х)= р,! (х), р, (х)= р, (х).
Если пуассоновская составляющая процесса с независимыми при- ращениями в стохастических дифференциальных уравнениях (127), (132) отсутствует, то непрерывный марковский процесс Х (г) называ- ется ди(8(дузионным. В этом случае уравнения (142), (148), (153) назы- ваются уравнениями Фоккера — Планка — Колмогорова. Для диффузионного марковского процесса можно ввести понятие вектора потока плотности вероятности П (Х, !), составляющие кото- рого в некоторой точке Х равны П, (Х, !) =А, (Х, !) р (Х, !)— л — — (Вм (Х, !) р (Х, !)), ! =1, дх„.
!=! Прямое уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова часто запи- сывают в виде д — р (Х, () = Яс, х (р (Х, !)) = — ~~ — П! (Х, !) = — с(!ч П (Х, () ев д (2.6.182) и говорят, что оно описывает закон сохранения плотности вероятности. Решение уравнения (182) для неограниченного пространства в начальным условием (143) и граничным условием (155) называется срундаментальным решением задачи Коши. Граничные условия для уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова (142), (148) и (182) могут быть весьма разнообразны. Они определяются зуществом рассматриваемой физической задачи. Рассмотрим некоторую замкнутую область Й многомерного пространства Ю, которая имеет границу Г.
В зависимости от характера поведения траектории диффузионного марковского процесса в точке Х Е Г всю границу Г можно разбить на три части П7, 49!. К первой части Г, отнесем ту часть границы Г, на которой матрица диффузии В (Х, !) не вырождена по направлению внешней нормали к границе, т. е. выполняется условие 1'(Х) В(Х, !)! (Х)= ~ч Вм(Х, !) !! (Х) !1(Х)~0, Х Е= Г!. (2.6.183) 1, у=! Здесь 1, (Х), ! = 1, п, — направляющие косинусы внешней нор. мали ! (Х) к границе области !).
Можно показать, что при выполнении условия (183) фазовые тра ектории процесса Х (!) не дифференцируемы по направлению внешней нормали к границе Г„, так как движение по этому направлению будет 228 . с,сх, ~ — '~ — 'в„сх.сс~ 2 дхС с,сх. о — г — в„сх. сс~ 1 д 2 дхс 1=1 Хс[ х[ ) О, Х Е Г+, (2.6.185) ( О, Х Е Г, . (2.6.186) Условие (184) означает, что в направлении, нормальном к границе Г„воздействия типа белого шума отсутствуют. Поэтому на границе Г, движение по дифференцируемой траектории в этом направлении определяется однозначно, причем иа границе Г4' оно направлено из области Я, а на Гс внутрь этой области.
Таким образом, траектория диффузионного марковского процесса Х (с) в принципе может выйти из области 11 только через часть гра- ницы Г=Г,+Г+„ а попасть внутрь области (с она может только через чазть границы Г"=Г 1-Г; . (2.6.188) Отметим, что для непрерывнозначного марковского процеааа при наличии скачкообразной составляющей аналогичное разбиение границы Г еущественно усложняется, так как в этом алучае необходимо учитывать, что процеса в принципе может выйти скачком за границы области 11 из любой точки Х ~ Р и попасть внутрь этой области из любой точки Ы' — Я в зависимости от вида функций С (Х, У, 1) и и (71с, Х). В самом простом случае, сели для любых 9 и У выполняется условие (2.6,1 87) ~ 1, (Х) С, (х, У, 1) = О, Х ~ Г„ (2.6.189) с-с то это означает, что скачкообразная составлясощая в направлении нормали к границе Гх отсутствует и граница Г, может быть разбита на части в соответствии с (183) — (188).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
