В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 53
Текст из файла (страница 53)
е. РЯ (Ло) ) 1) = 0(йп), Р()у (Ло) = 1) = Мо + о (йо). Можно показать, что при этих условиях справедлив закон Пуассона Р (о) е — Ае (хо)" м (2.7.62) Неоднородный пуассоиовский процесс. Пуаааоновский процесс называется неоднородным, если его интенеивность зависит от времени Х (1). Наоборот, если Х (1) = Х = сопз1 для всех 1, то пуассоновский процесс называется однородным, Функция интенсивности Х (1) может быть детерминированной или случайной. 260 3. Расстояние от произвольно взятого момента времени 1' до следующей случайной точки 1~ является елучайной величиной; не зависящей от того, что происходит вне интервала (г', Гг), и имеющей экспоненциальную плотность вероятноети вида (46).
4. Полное число событий 1; в полуинтервале (О, Т) равно п, каждое нз них равномерно распределено в этом интервале. Тогда число точек А в интервале т имеет пуассоновское распределение е параметром пт1Т. Неоднородный пуассоновский процесс определяется следующими условиями. Целочисленный случайный процесс (М (1), 0 ~ 1( оо) имеет независимые, но нестационарные приращения, причем для него условия (14) и (16) остаются прежними, а условия (13) и (15) принимают вид Р(М (1 + А() — М (1) = 1) = Х (1)И + о (И), (2.7.63) Р (М(Ю + И) — М (8) = 0) = 1 — Х (8) И + о (Я.
(2.7.64) Лля получения закона распределения можно применить предыдущую методику. Разобьем, например, полуинтервал времени (О, 1+ + Ь() на два примыкающих подынтервала (О, 1) и (1, 8+ А() и учтем, что приращения процесса на этих подынтервалах есть независимые случайные величины.
Тогда можно написать Р (М(8 + М) = 0) = Р(М (1) = 0) Р (М (1+ Я вЂ” М(Г) = 0). Воспользовавшись условием (64) и сохраняя прежнее обозначение (1?), отсюда получаем дифференциальное уравнение — Ро(с) = — )о(Г) Ро(с) сс ж решение которого при начальном условии ро (0) = 1 имеет вид ро (с) = ехр — Х (т) с)т . (2,7.65) Естественно, что при Х (1) = со = аопз1 эта формула переходит в (22). Аналогично получаем дифференциальные уравнения для вероятностей рд (1) = Р (М (с) = й), й ) 1, рассматривая различные частные случаи получения Р(М (1+ А() = со): Р(М(1-~-И) =й)= ~~~~ Р(М(1) =1)Р(М(4+А1) — М(1) =й — с). о ,С учетом условий (14), (63) и (64) отсюда получаем аиатему рекуррентных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющую последовательно находить вероятности рд (1): — "Ра(1)+Л(1)Р,(1)=Л®Р,,(1), й~1.
(2.7.66) й Общее решение этой сиотемы даетая выражением с о с.ссс= — ' (сс.сс. с -(сс.сс.), с)с. сс.сссс Ы о о Эта формула называется неоднородным законом Пуассона; при с = = сопз1 она переходит в обычный закон Пуассона (24). Укажем, что ее можно было получить иначе, в частности, с помощью производящей функции вероятностей или преобразования шкалы времени.
Если, например, ввести новую переменную з (1) как строго возрастающую функ- 261 цию времени 1, причем з (0) = О, то вероятность наличия события в полуинтервале (з, з + Лл) приближенно равна Х (г) Лз Ж7гЬ. Вели наложить ограничение Х (1) г(1!~Ь = 1, т. е. з(Г) ~ Х(т) г(т, то в новой шкале времени мы будем иметь однородный пуассоновский процесс с постоянной функцией интенсивности, равной единице. Возвратившись затем к первоначальной переменной 1, придем к формуле (67). Отметим, что для неоднородного процесса Пуассона выполняется соотношение, аналогичное (32): математическое ожидание и дисперсия равны друг другу и даются формулой М ()у (г)) = П («! (1)) = ~ Х (т) ~(т. (2.7.68) О В практических задачах в качестве функции интенсивности часто берут убывающую функцию вида Х (1) = и ехр ( — рг), где а и ()в положительные величины, определяемые экспериментально, Пуассоновский процесс а кратными событиями.
Допустим, что остаются справедливыми условия (13) — (16), т. е. случайные точки на оси времени распределены по закону Пуассона (24), но произвольная л-я точка может содержать ть какнх-то событий, где ть — взаимонезавнсимые и одинаково распределенные случайные величины а известными вероятностями "Р = р) =4.. р=1,2,3, ... (2.7.69) Введем производящую функцию этих вероятностей [17) и (г) = Хд„г « Пусть в полуинтервале (0,11 имеется У (1) случайных точек и М (!)— общее число событий.
Предположим, что М (1) = п. Тогда вероятность числа событий М (1) представляет собой п-кратную свертку вероятностей (69), а производящая функция для М(!) равна д" (г). Так как число точек в полуинтервале (О, г) случайно и распределено по закону Пуассона (24), то производящая функция вероятностей для М (!) будет ранна 6 (г, Г) = ~~' а" (г) — е-м = ехр (М Ы (г) — )11 (2.7.70) ш а=О Зная производящую функцию вероятностей, можно вычислить различные характеристики елучайной величины М (1).
Нетрудно убедиться (77], что характеристическая функция пуассоновского процесса о кратными событиями имеет вид Фм«> (10) = ехр (Лг (ср (10) — 1)), (2.7.71) где ~р (16) — в свою очередь, характеристическая функция неотрицательных целочисленных случайных величин т, имеющих вероятности д„ 262 рЮ) = ~ п.ею'". и=~ (2.7.72) у (и 5(г) = ~~~~ ~„, л=з где (У(г),г~~ 0) — простой процесс Пуаесона и (ь„, п = О, 1, 2, ...) — независимые и одинаково раяпределенные влучайные величины. Процесс (У (1), г ~ 0) и последовательность случайных величин (ь„) предполагаются независимыми.
Следовательно, правая часть равенства (74) представляет собой сумму случайного числа слагаемых, каждое из которых есть случайная величина, независящая от других, и все слагаемые одинаково распределены. Покажем, что сложный пронеси Пуассона ($ (Г), 1~ О) имеет стационарные и независимые приращения. Его характеристическая функция равна Фм~> (10) = ехр (лг (~р )д) — 1)), 1 ~ О, где Ч~~ (10) — общая характеристическая функция независимых идентично распределенных случайных величин (Ь„) и Х вЂ” средняя частота наступления событий. Если среднее значение квадрата случайных величин (ь„) ограничено М (ь') ( со, то процесс 5 (1) имеет конечные первые моменты, определяемые формулами М (л (г)) = Л~М(Д, (2.7.76) О Д (г)) = 2ЛМ(Дз), (2ППт) Я (з,1) = М((я (з) — М($ (з))1($ (1) — М(Й (1))1) = ХМД') щ1п(з, г).
(2.7.78) Перейдем к доказательству перечисленных свойств. Тзк как пуассоновский процесс (Ф (1), г ) О) имеет независимые приращения и (Ь„) есть последовательность независимых и одинаково распределен- 263 (2.7.75) Маркированный и сложный процессы Пуассона. Точечный процесс называется маркированным точечным процессом, если с каждой п-й точкой связана вспомогательная случайная величина ь„, принимающая счетное или непрерывное множество значений из некоторой области.
Если (У (Г)„г ) О) есть целочисленный случайный процесс, определяющий полное число точек в полуинтервале (О, Й независимо от значений ь„, то маркированный точечный процесс можно характеризовать «накопленным» значением и< > дг)= ~ ~„, ~,=о (2.7.73) н з Частным видом маркированного точечного процесса является сложный пуассоновскин пропесс. Случайный процева ($ (1), 1) О) называется сложным процессом Пуассона, если для г)0 его можно представить в ниде ных случайных величин„то физически ясно, что процесс ($(1), г ) О) имеет независимые приращения. Чтобы доказать, что процесс ($ (г), 1) О) имеет стационарные приращения и что справедлива формула (75), достаточно показать, что для любых Г) в э О характеристическая функция приращения процесса Л$ (в, 1) = $ (г) — $ (в) имеет вид Фаз (10) = ехр (Х (г — в) (сре(16) — 1)).
(2.7.79) Действительно, при п = О, 1, 2, ... для условной характеристической функции справедливо соотношение М (ехр 10 (я (1) — $ (в)] ~ У (1) — У (в) = п) = зарх (10) )", так как при фиксированном числе событий в полуинтервале (в, Л, равном п, величина $ (1) — $ (в) предетавляет собой сумму п независимых и одинаково распределенных случайных величин ь. Поэтому для безусловной характеристической функции приращения процесса можем написать Фь1()б) = ~~)' М(ехр)д Я(г) — я(в))1У(г) — У(з) =и) х а 0 1х (~ 1)а ~р(У(1) У (в) — н) — ~ч~~~ (р (10))л 1 ( ~В е х и е в! и о =е-ь о-о ехр (Х (Ф вЂ” в) <рг()б)).
но) БИ) = ~ч, "Й И. то й). (2.7.80) Здесь (У(1), 1» О) — пуассоновский поток с интенсивностью 3,, Д,) — последовательность взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин, не зависящая от (У(1), 1) 0), й (1, т, Ь) — детерминированная функция трех действительных переменных. 2И Таким образом, формулы (75) и (79) доказаны. Для получения формул (76) — (78) можно воспользоваться известным правилом нахождения моментов при помощи дифференцирования характеристической функции (95) или же применить тождество Вальда (см. о.
326). Из формулы (75) следует, что если ь есть целочисленная случайная величина, то сложный процесс Пуассона ($ (1), 1) 0) совпадает о пуассоновским процессом о кратными событиями. Наоборот, любой пуассоновский процесо о кратными событиями может быть представлен как сложный процесс Пуассона. Однако оба процесса не являются тождественными.
Профильтрованный пуассоновскнй процесс. Следуя (75, 771, примем за исходное следующее определение профильтрованного пуассоновского процесса, Случайный процесс (в (1), 1) 0) называетоя нрофилынрованным луассоновсним процессом, если для () 0 его можно представить в виде Во многих практических задачах отдельные величины в записи (80) допускают следующую интерпретацию: т; — время появления случайного события, ~~ — «амплитуда» элементарного случайного события, А (1, ты ~Д вЂ” обусловленное этим событием значение элементарного сигнала в момент времени г и $ (1) — значение при Б оуммы элементарных сигналов, обусловленных событиями, осуществившимися ва временнбм палуинтервале (О, й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
