В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. если существуют такие коэффициенты йь, что [пп И[1 $(1) — ',~ й„~р (1) =О. 1! ь-1 Пусть интересующий нас случайный процесс $ (1) имеет нулевое ма- тематическое ожидание и непрерывную корреляционную функцию ь[ (г„г,) и является интегрируемым в квадрате в интервале [О, Т1. Считая систему ортонормированных функций «рь (г) полной, можем на- писать В(Р) 2; й,р„(1), О<'1 - Т. (2.8.20) Это равенство понимается в среднеквадратическом смысле (19). Чтобы определить коэффициенты йю умножим обе части равенства (20) на <р~ (1) и результат проинтегрируем по интервалу [О, Т[ г т ~$(1) р1(1) й(=Хй ~ В,(1) Ф(1)гй. о ь Так как функции ~рь (г) ортонормированы, то все елагаемые в пра- вой части равны нулю, за исключением одного, соответствующего 1= = й, значение которого определено выражением (18).
Поэтому 280 (2.8.21) Случайные коэффициенты дв можно получить о помощью системы линейных фильтров, согласованных о «сигналами» ф» (1) (рис. 2.54) (70). Укажем, что фильтры имеют импульсные характеристики Ьь (1) = = ф» (Т вЂ” г). Если на вход линейного фильтра Ьь(1) воздействует рассматриваемый случайный процесс $ (1), то выходной сигнал фильтра в момент времени т = Т дает значение коэффициента с(в. Рис.
2Д4. Система лпвеавык фильтров ллв получении ковффкпвевтов Кврукевв— Ловле Потребуем теперь, чтобы случайные коэффициенты разложения были некоррелированными. На основании (21) имеем тг М(пьат) = фв(1») В((в) Й(1м 1») д1»сИ» (2 8 22) Допустим, что еправедливо соотноптение т ф~(1»)й((м 1»)сЫ»=Л»фт(1«)1 0~1«(Т (2823) Это есть однородное интегральное уравнение Фредгольма. Функция 1« ((м 1») называется ядром уравнения, чиела Лт и функции ф~ (1) называютоя соответственно собсптаенными значениями и связанными а ними собственными функциями интегрального уравнения.
Подставив (23) в (22), получим г 34(дпдз)=Л~ ) <рв(1)ф1(1) М=~ ' ' (2.8.24) (Ль (=й, 1 О, гчьй. Следовательно, если справедливо уравнение (23), то случайные коэффициенты разложения с(т оказываются некоррелированными, причем дисперсии их равны Лт ) О. В том частном случае, когда рассматриваемый процесс $ (1) гауссовский, случайные коэффициенты Йь как следует из (21), будут независимыми гауссовскими случайными величинами с дисперсиями Ль ) О.
Разложение случайного процеооа с непрерывной корреляционной функцией в ряд (20), в котором функции фь (1) являются собственны. 281 Непосредственным вычислением найдем М (Б (() йй (1)) = М (В* (() йн (()) = М йи (1) Ь (1)) = = Х = ! ~чЛь Я рь" Я. Поэтому М (1 $(1) — $н (1) [ь) = )((1 () — Хл-! Аь ч!ь (() ч!л (1) (2.8.25) Ранее (с. 122) указывалось, что корреляционная функция обладает характеристическим свойством неотрицательной определенности. Согласно известной теореме Мерсера [801 неотрицательно определенная функция )г (1„г,) может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по собственным значениям и собственным функциям: )! (11 (2) ~',! ~'ь Ч'ь ((!) Ч!л (12) л=! (2.8.26) Отсюда видно, что последнее слагаемое в правой чавти равенства (25) при й/ -! оо сходится к Я(!, !) и, следовательно, равенство (19) выполняется.
Можно показать [811, что разложение Карунена — Лоэва (20), в котором некоррелированные коэффициенты определены формулой (21) и функции ч!ь (г) есть ортонормированные решения уравнения Фредгольма, соответствующие собственным значениям (Х„), расположенным в порядке возрастания 0 < Х! < 'А, < Х, < ..., является таким разложением, для которого математическое ожидание интегральной среднеквадратической усеченной (при любом фиксированном Л!) погрешности аппроксимации минимально, т. е.
В заключение укажем, что разложение (20) оказывается полезным на промежуточных этапах теоретического рассмотрения некоторых задач. Однако практическая его ценность сильно ограничена двумя обстоятельствами: процедура отыскания решений интегральных уравнений вида (23) в общем случае неизвестна (за исключением случая рациональной спектральной плотности процесса) и разложение случайного сигнала по системе ортонормированных функций, не являющихся гар- 282 ми функциями интегрального уравнения Фредгольма (23), называетвя разложением Карунена — Лоэва. Иногда его также называют каноническим разложением [2,41 илн обобщенным рядом Фурье [801.
Заметим, что собственные функции !Э„(Г) определены уравнением (23) с точностью до постоянного сомножителя. Этот сомножнтель можно выбрать так, чтобы ортогональные функции были ортонормированными. Покажем, что выполняется равенство (19). Обозначим Ь (О = Хл = ! "ь !Рь (1) моническими, не имеет простой технической интерпретации. Кроме того, представление случайного процесса рядом (20) предполагает, что исходный процесс можно дифференцировать бесконечное число раз. Следовательно, такое представление применимо только к сингулярным процессам (см. с. 555). Представление одномерных плотностей вероятное~ей ортогональными рядами р, (х) = р (х) ~ — —" Н„( ), а=-0 (2.8.27) где р (х) — нормальная плотность вероятности: р(х) = ехр ~— (2.8.28) Н„(х) — одномерные полиномы Эрмита (1.4.37).
Так как полиномы Эрмита ортогональные с весом ехр ( — хН2), то Н„(х) Н„(х) е-"г' г(х = а! )/ 2п 5 „= ш чй л Поэтому коэффициенты б„, называемые кеазимоментаии [84[, определяются формулой, 283 При приближенном аналитическом представлении плотностей вероятностей и при анализе разных преобразований случайных величин и процессов оказывается полезной аппроксимация законов распределения и плотностей вероятностей рядами по ортогональным полиномам, коэффициенты этих рядов часто определяются моментами распределения.
При удачном выборе полиномов иногда можно ограничиться учетом лишь нескольких первых членов ряда. Ниже будут приведены два примера, иллюстрирующие это обстоятельство. Заметим, что во многих практических задачах приходится иметь дело с плотностями вероятности р, (х), не очень сильно отличающимися по виду от нормальной плотности вероятности (1.4.1). Характер' ные особенности таких функций р, (х) состоят в следующем (рис. 2.55): 1) они являются унимодальными (т. е. имеют единственный максимум); 2) по обе стороны от вершины они имеют ветви, достаточно быстро приближающиеся к нулю при возрастании абсолютного значения аргумента.
Одномерные плотности вероятности такого типа удобно аппроксимировать а помощью полиномов Эрмита или полиномов Лагерра [82, 83). Ряд Эджворта !81. Указанные выше плотности вероятности можно представить в виде следующего ряда: 1'п = оп ~ ря (х) Нп ( — ) дх = о"й4 ~Нп~ — )) ° (2 8 29) Плотноати вероятности (27) соответатвует характеристическая функция Фя(16) =ехР ~1тб+ — (аб)О1 ~~)'„— ° — "( — )б)в. (2.8.30) 2 з Ы Ов п О Разлагая экспоненту в ряд Тейлора, производя умножение и сравнивая результат с рядом (1.3,45), составленным из моментов, можно убедиться, что моменты линейно выражаются через квазнмоменты и наоборот.
Это обстоятельство и дает основание называть коэффициенты Ь„, представляющие линейную комбинацию моментов, квазимоментами. Разложение функции ря (х) в ряд по ортогональным полиномам Эрмита базируется на следующей теореме. Произвольная функция р,(х) с интегрируемым квадратом может быть сколь угодно точно в среднеквадратическом смысле аппроксимирована рядом вида (27), т.е. ая я 1пп ( р, (х) — р (х) п~~ — ° †" Нп (х) я(х = О. Ф йп В! Ов в=О Практически функцию ря (х) нужно знать с некоторой конечной точностью. Поэтому вместо р, (х) можно взять конечную сумму членов ряда, причем число слагаемых Ж будет зависеть от требуемой точности и от выбора величин яп и пи. В большинстве практически интересных случаев наилучшее приближение при заданном М будет тогда, когда яп и оз выбраны равными математическому ожиданию т и дисперсии оз случайной величины $ и разложение ведется по полиномам Н„("=).
Будем считать, что и и о' выбраны указанным образом. Тогдз нетрудно убедиться, что Ь, = 1, Ья = О, Ь, = О. Действительно, на основании определения полиномов Эрмита (1.4.37) имеем НО(х)=1, Ня(х) =х, НО(х) =х' — 1, Н,(х)=х' — 3х, Н,(х) =ха — бх'+3. ) (2.8.31) Воспользовавшись теперь формулой (29) при и = О, 1, 2, убеждаемся в выполнении записанных трех равенств. Если в формуле (27) ограничиться конечным числом членов ряда, то получим ряд Эдлгворпю: яз з =яяз [яз- ~ — ' — '" и„( — *")]. разя> и 3 284 тат лг2 Рнс.
2.56. Две асимметричные плотности вероятности Рис. 2.55. Плотность ве. роятности Здесь хг, хв, ха — кумулянты (1.3.81), а рз и )за — центральные моменты третьего и четвертого порядка, определенные формулой (1.3.12): р,= ) (х — т)'рг(х) с(х, 1зз= ) (х — т)'р,(х) бх. (2.8з34) Как указывает само название, коэффициент асимметрии является количественной характеристикой асимметрии плотности вероятности относительно математического ожидания.
В любом симметричном распределении, и в частности нормальном, все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. На риа. 2.бб приведены две кривые плотности вероятности. Одна из них имеет более пологий спад справа от математического ожидания, и в выражении рз кубы положительных отклонений превысят кубы отрицательных, так что коэффициент уг будет по ложителен. В таких случаях говорят, что плотность вероятности обла дает положительной асимметрией.
Если коэффициент у, отрицателен, то гово- /гт/а/: У2 рят об отрицательной асимметрии. В Ж= этом случае длинная чаать кривой рааположена алена от математического ) <о ожидания. 2 Коэффициент эксцесса характеризует аглаженноств кривой около математического ожидания. Для нормаль- г7 пг ной плотности вероятиоати коэффициент эксцесса у, равен нулю. Положительное значение у, указывает Рис. 2.57. Плотности вероятности с различными значениями эксцесса 285 Здесь первый член соответствует нормальной плотности вероятности.
Следовательно, для нормальной плотности вероятности все квазимоменты при и ) 3 равны нулю (Ь„= 0). Первые два коэффициента ряда тз = Ь,/и' и уг = Ь,/о', характеризующие наиболее сущеатвенное отклонения рассматриваемой плотности вероятности р, (х) от нормальной р(х), в литературе получили специальное название коэффициенлив асимметрии и эксцесса соответственно: у = — = — з = †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
