В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 58
Текст из файла (страница 58)
уг = — = — — 3 = — (2 8 33) з оз 3/г ' з з з с„= ( 7.ою (х) рд(х) д(х. Г (и +и+1),1 о Вместо случайной величины $ рассмотрим случайную = $ / б, 11 ) О, с плотностью вероятности Р (у), причем Р, (х) = Р (х(р)Ф. По аналогии в (37) можем написать р(у) = ~ч'„Ь„е-оу»7.„'"~(у), (2.8,41) величину (2.8.42) (2.8.43) о о где Ь„= ( 7-е (У)Р(у)д(У= Г(о+и+1) .1 о о Если подставить выражения полиномов Лагерра (39) в (44), учесть условие нормировки плотности вероятности и определение начальных моментов (1.3.11), то найдем Ьд — — ', Ь,= (а+1)(а+2)— Г(и+2) Г(и+3) 1 — — ' (а+2)+ — '1 р рд) (2.8.45) Поскольку в формулах (43) и (44) а и р суть произвольные постоянные, то их можно выбрать так, чтобы Ь, = Ь, = О.
Для этого приравняем правые части выражений (45) нулю и решим полученную систему уравнений: од', о$1 одд — "'д и= д р % хлд одд оо доо (2.8.46) 287 Первые четыре полинома равны Ц" (х) = 1, Ц ' (х) = 1 + а — х, 2Ц"~ (х) =(и+ 1)(а+2) — 2х(и+2)+х', (2.8.39) бЦ"' (х) = (а + 1) (а + 2) (и + 3) — Зх(а+2)(а+3)+Зхо (а+3) — хо. Полиномы Лагерра ортогональны в промежутке (О, оо) с весом хо ехр ( — х): е — "х" (о1 '(х) 1.,'„'(х) д(х= — Г(п+и+!) б „, (2 8 40) о где Г (х) — гамма-функция.
С учетом ортогональности находим коэффициенты разложения с„: При этом первые четыре коэффициента будут, равны 1 1 Гт~ ль 1 Ь,= Ь,=О, Ь,=О, Ь.= ~ — ' (а+3) — — '1. Г (а+!) Г (а+4) ) /Р 118 Высшие коэффициенты Ь„имеют довольно сложные выражения. Поэтому ряд Лагерра обычно применяют в тех случаях, когда уже первый член Ь, дает достаточно.
хорошее приближение. Если отбросить все члены, кроме первого, то будем иметь р (у) = у" е-~/ Г (а + 1). Переходя здесь от у к х = ру и учитывая (42) ° получим следующую приближенную формулу: (2.8.47) 1)Г(а+1) 1 11 / где а и 1) выражаются через математическое ожидание и дисперсию согласно (46). Сравнивая формулу (47) с (1.6.26), приходим к заключению, что первый член ряда Лагерра совпадает с гамма-распределением. Лля аппроксимации законов распределения дискретных случайных величин используются ортогональные дискретные многочлены, определенные на конечной или счетной системе точек Н 6, 82, 831.
Например, при аппроксимации законов распределения, близких к пуассоновскому (2.7.24), часто применяют многочлены Пуассона — Шарлье. Однако в литературе описано мало дискретных многочленов. Разложение двумерных плотностей вероятностей Если можно представить одномерные плотности вероятности в виде рядов, то, очевидно, можно ожидать, что аналогичные представления существуют и для многомерных плотностей вероятностей.
Базируясь на работе 1871, рассмотрим здесь представление двумерных плотностей вероятностей в виде рядов по ортогональным полиномам. Пусть р (х„х,) — двумерная плотность вероятности, которой соответствуют одномерные плотности Р4(х1)= ) Р(хь х4)аахм Рз(хД= ~ Р(хь хДдхм (2.8А8) Используя одномерные плотности вероятности в качестве весовых функций, можно построить две совокупности ортонормированных полино- МОВ (0,„(Х~)) И (Оз„(Х4)): РГ (Х1) 0Г (ХГ) 04а (Х1) С1ХГ ба|1 (2.8.49) ~ р,(х,) 0,„(х,) 0,„(х,) 1(х,=б„„. 288 Предположим, что двумерную плотность вероятности можно разложить в двойной ряд «Фурье» по этим ортонормированным полиномам: р(х1, х»)=р,(х,) р (х ) ~', 'Я а „01 (х,) О»„(х,).
(2.8.50) т Оп 0 Коэффициенты а „могут быть определены обычным путем — умножением обеих частейвыражения (50) на 01» (х,) О», (х,) и последующим интегрированием с учетом свойства ортогональности (49). В результате получим а „= ) ) р(х1, х,) 01 (х,) О, (х,) «(х, «(хм (2.8.51) Таким образом, из выражения (50) видно, что двумерная плотность вероятности полностью определяется двумя одномерными плотностями вероятности и матрицей коэффициентов (а „!. Ограничимся далее рассмотрением частного класса (назовем его классом А) двумерных плотностей вероятностей р (х„, х,), для которых матрица [а „1 диагональна.
Лобавим букву А к номерам всех формул, которые верны только для распределений из класса А. Тогда для всех двумерных плотностей вероятностей класса А разложение (50) будет диагональным: Р(х1. х») =Р1(х1)Р»(х«) ~ а„01„(х«) О, (х»), (2.8.52А) ч=в где коэффициенты а„даются теперь выражением а„= ДР (х„х,) О,„(х )О,„(х,) «(х1 1(х„(2.8.53А) причем а„' ( 1 при всех значениях и.
Можно показать !88, 891, что двумерная плотность вероятности р (х„х,) будет принадлежать к классу А, если и только если условные моменты М (з», ! х») = ( р ( " «1 х,' г(х1, Р»(х ) (2.8.54) М(ь«,!х1)= ~ " ' х»г(х» р1(х,1 являются полиномами соответствующей переменной степени не выше й для любого положительного целого значения й. Определим теперь вид ортонормированных полиномов нулевого и первого порядков. Поскольку р, (х1) и р, (х,) есть плотности вероятности, то для них должны выполняться равенства р, (х1) 1 1дх, = 1, ) (х,— т«) р, (х1) 1(х, = О, 289 10 за«. 9»6 р, (х,) (х,— тД (х, — т»)»/х» = о, » = 1, 2, где и, и о) — математическое ожидание и дисперсия случайной величины $».
Отсюда следует, что Одс (хд) 1 Ода (хд) 1 (2.8.55) О„ (х,) = (х, — тД / о„ О,д (хд) = (х, — т,)/и,. Укажем, что если О„(х,) = О„(х,) = 1, то диагональное разложение по ортонормированным полиномам (52) является единственным !88!. Из (55) и (53) следует, что а = 1, а, = М ((с — т,) ($ — т ))/о,а, = г. (2.8.56) Следовательно, коэффициент а, есть не что иное, как нормированный корреляционный момент (1.3.73) или нормированная корреляционная функция (2.2.11).
В качестве случайных величин можно рассматривать временные отсчеты одного или двух случайных процессов в моменты времени Г, и Г,. В последнем случае хд — х, (/д), хд = х, (/д). Если рассматриваемые процессы нестационарны, то одномерные плотности вероятности р, (х,), рд (х,) и двумерная плотность вероятности р (х„ х,) будут зависеть от Гд и 1,.
Поэтому полиномы О,„(хд) и 0,„(х,), а также коэффициенты а„, определенные формулой (53), будут также функциями /д и /,: а„вдд = а„(/д, /,). Однако если процесс с (/) стационарен в узком смысле или два процесса сд(Г) и $,(1) стационарно связаны в узком смысле, то полиномы 0,„(х,) и 0»„(хз) не будут зависеть от времени, а коэффициенты а„будут функциями только разности временных аргументов: а„а„(1, — Гд).
Разложение (52) позволяет легко найти условную плотность вероятности случайной величины х, при заданном значении случайной величины х,: Р(хд ! хд) = »' ' =Рд(хд) эд а„О„,(х,) О,п(х,). (2.8.57А) рд (хд) Аналогично М (Ого (хд) ! хд) = ~ Ови (хд) ръ (хд) ~~ адд Оддд (хд) х л=О х Оз„(хД»/х» = а„О,„(х,). (2.8.58А) Отсюда при т = 1 на основании (55) и (5б) получим М( "' ' )х»1=г (/„1») ' ' ° (2.8.59А) сд сд Применительно к одному стационарному в широком смысле процеапу н нормированной корреляционной функцией г (т) выражение (59) принимает вид М(хз — т, ~ хз) = г(т) (х, — т,). (2.8.60А) Можно показать (86), что применительно к симметричной двумерной плотности вероятности Р(х„хз) =Р(х„хз) =Р(хз) Р(х,) ч ', оп 0„(х,) О,(х,) (2.8.61А) а=з определение коэффициентов ав н ортонормированных полиномов О„(х) сводится к отысканию собственных значений и собственных функций линейного однородного интегрального уравнения.
Приведем несколько конкретныя примеров разложений двумерных плот. ностей вероятностей в диагональные ряды но ортонормальным полиномам. Рассмотрим симметричную двумерную нормальную плотность вероятности ! 1 х",' — 2гхз ха+хе р (хз, хй =,— ехр —, ~, (2.8,62) 2поз 1/1 — гз ~ 2оз (! — гз) причем 1 р(хз) = „,— ехр ( — х'/2оз), 1=1„2. о "р'2л В данном случае выражение для условных моментов (54) принимает вид 1 /з Г (хт — гхз) 1 М(:,! )= ) ехр !( — ~ х, бхз = о 1/2д (! .з) ) ) 2оз (1 -гз) ~ 1 (' г уз а 1/2п (1 — гз) ) (гх, +у) ехр —,, 1 Ыу. 2оз (1 гз) Из этого выражения видно, что правая часть является полиномом переменной хз не выше /з-й степени.
В силу симметрия плотности вероятности этот результат будет справедлив и для условных моментов М (ьа ( хз). Поэтому двумерная нормальная плотность вероятности может быть разложена в диагональный ряд по ортогональным полнномам. Этот ряд имеет внд (1А.36). В качестве второго примера рассмотрим симметричную двумерную плотность вероятности АгА, Г Аз+Аз з1 / Р АзАз1 Р(Аг~ Аз) ехр [— о'(1 — р) 1 2о (! — р) ! '1,! Аз, Аз )О„ (2.8.63) где /з (х) — функпия Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента: Соответственно одномерная плотность вероятности имеет вид р (А) = (А/и') ехр ( — Аз/2пз), А ) О.
(2.8.64) Можно показать 187), что двумерная плотность вероятности для безразмерных величин х/=Аз/о, а. =А/о (2,8.65) 10" 291 может быть представлена рядом по ортогональным полииомам Лагерра р(хг, хз) хт х, екр ( — ) ~~ (л ( — )܄٠—, (2.8.66) =о где 1,„(х) — полиномы Лагерра, определяемые выражением и е ") ~~У ( — 1)" С„"'[л (и — 1)... (9+1)] хи. (2.8.67) !и 1,„(х) =е» (х" г(х и=с (лА)з([1 — (хг/А)е[ [1 — (х,/А)е])!/е р (х, х,) = =1+2 ~и~~~ Тп(хт/А) Т„(хз/А) сот лю„т, х, х, < А. (2.8.69) и ! Здесь Тп (х) — полипом Чебышева 1-го рода [90]! Т„(х) = соз (л агссоз х).
(2.8.70) Рассмотрим симметричную двумерную плотность вероятности [91] Р(хю хз)=(Л/л)(1 — г) /~ ~ [(1 — гз)-[-2гхг»,(хг-)-х[)]л Л>0, [к[<1, (28.71) в эллиптической области х! + х, '— 2г»гх < 1 — гз. Путем интегрирования нетрудно проверить, что одномерные плотности вероятности р, (х,) и рз !х ) одииаковы и имеют вид и (,) = (1 , ) — / , Л > 0, 1х ! Г (Л+П Л вЂ” 1 2 [/л Г (Л-[- — ) (2.8.72) При [»] > 1 плотности вероятности равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
