В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Из выражения (80) следует, что для задания профильтрованного пуассоновского процесса необходимо указать: 1) интенсивность или параметр Л порождающего пуассоновского потока Аг(1), 2) общее для всех случайных величин (~~) вероятностное распределение и 3) конкретный вид функции Й (1, т, ь). Этот вид процесса весьма часто встречается в радиотехнических задачах и поэтому будет рассмотрен ниже. Другие виды процессов. Хотя имеется много других обобщений пуассоновского точечного процесса!77), укажем здебь лишь два: дважды стохастический пуассоновский процесс и процесс восстановления.
Дважды стохистический пуассоновский процесс получается из обычного пуассоновского процесса путем модуляции (рандомизации) его интенсивности «внешним» случайным процессом (Х (1), 1) 0), который в радиотехнических задачах часто представляет собой информационное сообщение. Точнее, (У (1), 1 ) 0)' есть дважды стохастическнй пуассонавский процесс с интенсивностью — процессам (Л (Х (г)), г ~ О), если Л' (1) почти для каждой реализации информационного процесса (Х (Г), Г ~ О) является процессом Пуассона с функцией интенсивности Л (Х (Г)).
В пуассонавском процессе интервалы между последовательными событиями были независимы и одинаково экспоненциально распределены. Очевидное и важное обобщение получается в предположении, что интервалы между последовательными событиями взаимонезависимы и одинаково распределены с некоторой общей плотностью вероятности р (т). Получающуюся последовательность точек на оси времени принято называть процессом восспшновления [17, 41, 71). Профильтрованный пуассановский процесс Дробовой шум электронных и полупроводниковых приборов, а также импульсные помехи различного происхождения часто описыва'- ют профильтрованным пуассоновским процессом (78, 79). На частном примере дробового шума поясним физический характер рассматриваемых процессов, а затем получим основные соотношения, определяющие вероятностные характеристики таких процессов. Дробовым шумом обычно навывают флюктуапии тона в вакуумных и полупроводниковых приборах, обусловленные случайным характером »миссии и движения электронов в них.
Рассмотрим в качестве конкретного и простейшего примера плоскопараллельный алектровакуумный диод, работающий в режиме насыщения. Анодный ток диода представляет собой суперпоаипию элементарных вндупированных вмпульсов, возникающих иа-аа пролета между катодом и ано. дом отдельвых электронов. Поскольку в режиме насыщения нет взаимного влияния элементарных импульсов друг на друга', то анодный ток есть просто линей2бб ная сумма элементарных змпульсоз.
Форма отдельного алементарного импульса определяется динамическими уравнениями движения электрона. Если ие учи. тывать различие и случайное значение начальных скоростей емиттируемых ка. годом электронов (сн. ниже), то Форма всех элементарных импульсов будет одинаковой и они будут различаться только временами появления Гь Если б— момент времени вылета влектрона из катода, то в рассматриваемом частном примере элементарный импульс тока, иидуцированный на аноде пролетом электро. на, имеет вид прямоугольного треугольняка, изображенного на рис. 2.53, где е — заряд электрона, те — время пролета электрона между катодом и анодом. Предположим, что наблюдение за аиодным током какого-либо одного диода начинается в момент времени Г 0 и этот ток 1(0 измеряется в момент времени д )хопустим, что (много больше длительности злементарного импульса та 2д гк Рис. 2.53.
Элементарный импульс индуцированного тока Р Ф Й+та (чтобы можно было не учитывать влияние на ток 1((1 элементарных импульсов, появившихся до начального момента времени 1 = О), Если в полуинтервале (О, () было змиттнровано ровно д алектрояов, то ток рассматриваемого диода а равен 1(1) = хи (г — УО здесь ь (г — (г) — детермвнированная Форма эле- 1 ! ментарного импульса, обусловленного электроном, амиттируемым в момент времени (ь причем времена Г) не ранжированы, Предположим, что описавная операция наблюдения осуществляется над большим числом идентичнык диодов, работающих в одинаковых условиях. Тогда естественно допустить, что число вмиттвруемых электронов в разных диодах за время (О, 1) будет различным, С учетом этого обстоятельства ансамбль диодов можно характернзовать случайным процессом (Ха(Г), О( Г( ое), где и ы) lа(г)~" ~д'.~ й(г (з). (2.7.81) Здесь у (Г) — целочисленная случайная величина, определяющая число электронов, змиткируемык в полуинтервале (О, ();.
г, — случайные неранжнрованные времена эмиссии электронов. Если принять, что случайный процесс эмиссии алектронов из катода удовлетворяет трем сформулированным условиям (13) †(15), ео случайная величина )У (г) будет иметь пуассоновакое распределение. Случайному процессу (81) можно дать другую трактовку.
Предположим, что на вход линейной системы а импульсной характеристикой Ь (() воздейэтвует последовательность (сумма) пуассоновеквх дельта. импульсов: В гб з(()=,», 8(г-г,), 1 где Гз — случайные времена появления дельта-импульсов, описываемые пуаэ. соноаским потоком, Тогда случайный процесс на выкоде еистемы будет иметь вид (81): Л1 О) к(О ~ ь (( — к) з (ч)па= 'У', 8((-11). з ! 266 Если линейная система нмеет переменные параметры и, следовательно, импульсную характеристику вида д (С, т), то на выходе такой системы получим случайный процесс л/;с) $ (с) = ч.") а р. сс) ° (2.7.82) ! Этот пример в какой-то мере поясняет название рассматриваемых процессов.
Профильтрованные пузссоновские процессы па существу есть случайные процессы, получающиеся в результате своеобрааных линейных преобразований пуассоновского потока, Во многих практических ситуациях приходится иметь дело со случайными пропессамн более сложного вила, чем (81) н (82). Так, если учитывать случайный (максвелловский) характер начальных скоростей амиттируемых злектронов, то форма элементарных импульсов будет зависеть ие только от времени вылета электрона сп но и от его начальной скорости эп При атом вместо процесса (81) получим более сложный процесс з/ (с) уа (с) = ~~~) а М вЂ” с/ ос). ! Если в приведенном выше примере считать различными и случайными высоты входных дельта-импульсов, т.
е. полагать з/ (с) с (С) = ~ АС б (С вЂ” СС), (2.7.82') /= ! то на выходе линейной системы с переменными параметрами получим процесс вида з) (с> 8(С)= '", А;а(С, Сс). /=! Разумеется, что со случайными моментами времени Сс можно связывать различные величины. Например, в теории надежности — стоимость или трудозатраты восстановлений и т. д. Поэтому в дальнейшем будем иметь в виду процесс вида (80).
Основные вероятностные характеристики профильтрованного пуассоновского процесса определяются следующей теоремой. Пусть й (1) — профильтрованный пуассоновскнй процесс (80). Тогда для любых положительных с и действительных значений д одномерная характеристическая функция определяется формулой Фце)- *р(а((и( р!еа(/,, !)) — /)с~, (2)ез) э а двумерная характеристическая функция для любых 1,~ сс ) 0 и действительных значений О, и дз дается выражением с, э,ееы )ес-.*р((а ~(и(.*р !(е,а(/„.. !)~-е.а(/„., !)))— с, — /! с, + а ( (и (.
р )е, а (/„ „ с) — ц с 1. (с ) 64) Если М (У (г, т, Ь)) ( со для всех т, то процесс $ (1) имеет конечные первый и вторые моменты, равные с ть(()=М($(Х))=Л~М(Ь((, т, ~))с(т, (2.7.85) о Рь (1) = М (( $(1) — тц (~))з) = Л$ М (РР(1, т, ~)) Нт, (2.7.86) о зп!и пь и! ЯЬ(Гь Ф,)=М($„((т)Цо(УД= Л ~ М(Ь((ь т, ~)Ь((м т, ~))Уг. (2.7.87) Здесь В, (г) = $ (г) — тт (~), а через ь формально обозначена случайная величина, имеющая тот общий вероятностный закон распределения, который описывает каждую из взаимно независимых случайных величин Д~).
Начнем доказательство этой теоремы с вычисления математического ожидания процесса тт (1). Случайный процесс $ (1) согласно (80) есть сумма случайного числа детерминированных функций от случайных аргументов. Имея это в виду, вычислим математическое ожидание 5 (1), предполагая сначала, что целочисленная случайная величина )У (г) имеет какое-либо фиксированное значение (допустим, А). Это условное математическое ожидание находится осреднением по й неранжированным временам т, и случайной величине ь. Затем полученный результат середним по всем возможным значениям случайной величины й7 (1).
Итак, можем написать ть(г)=М($(г))= ~ч; М($(г)!У(г)=й),, сР(М(1)=Ц, (2.7,88) ь о где У (г) имеет пуассоновский закон распределения (24), а условное математическое ожидание можно записать в виде М($(()~У(()=АЬ, С= ~ М(й(Г, т, ~))т г, (2.7.89) 1-1 Отметим, что в (89) должно выполняться двойное осреднение: по неранжированным временам появления событий тм т„..„ ть и по случайной величине ь; порядок выполнения операций осреднения в принципе не имеет значения.
Рассмотрим, как это записано выше, сначала осреднение по случайным величинам т,. Поскольку процесс У (1) является пуассоновским, то все времена появления событий т, — взаимно независимые случайные величины, каждая из которых равномерно распределена в полуинтервале (О, Л: р,, (т 1 У (1) = й) = р (т ~ Л' (() = й) = — п р н 0 ( т ( Ф, ( = 1, 2, „й. (2.7.90) Следовательно, М (й (1, т„~))о, = — ~ Ь (1, т, ~) <(т, Учитывая, что операции интегрирования и взятия математического ожидания можно менять местами, имеем М (й(1, т<, Д)о, о= — ~ М (й (1, т, ~)) <(т. (2.7.91) а Здесь М(й(1, т, ~))= ~ Ь(1, т, <,,)р(~)<(<„ где-р (<,) — общая плотность вероятности каждой из случайных величин (ь<).
Подставив выражение (91) в (89) и полученный результат в (88), придем к формуле (85): < то(1) = — ~М(й(1, т; <,)) <(т ~~~~ йро(г) = Х ~М(й(г', т, ~))<(т. о о-о о Получим теперь формулу (83) для одномерной характеристической функции о«<> о<<о<-и<*о<|а<«<<<-и( о[<о Хо<,„,<<)). « Поступим так же, как при вычислении математического ожидания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
