В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 52
Текст из файла (страница 52)
По. скольку случайные времена т+ и т" независимы и одинаково экспоненциально распределены, то плотность вероятности их суммы будет определяться выражением вида (50) при и = 2: р (т) = )Рте ", ч)0. (2.7.52) Эта плотность вероятности отличается от (44) и, как нетрудно проверить, яовпадает о плотностью вероятности случайной величины ((„+,— ()=т + гп-м Смысл плотностей вероятностей (44) и (52) различен.
Плотность вероятности (44) есть априорная плотность вероятности интервала между любыми соседними точками пуассоновского потока, а (52) является апостериорной плотностью вероятноети того интервала, на котором оказался рассматриваемый момент времени 1'. Приведем еще одно свойство точечного процесса Пуассона, характеризующего его как чисто случайный процесс. Пусть (М (г), () О) есть пуассоновский точечный процесс с интенсивностью ). Предположим, что во временнбм полуиитервале (О, Т) имеется л точек, т.
е. У (Т) = й. Тогда л случайных моментов времени г, < г,( ... ( Гк, при которых осуществляются события, имеют такую же совместную плотность вероятности, что и порядковая статистика л независимых случайных величин и„и„..., ию распределенных равномерно в полу- интервале (О,Т). Говорят, что последовательность ом о„ ..., ок есть порядковая статистика, соответствукхцая случайным величинам им и„..., ид, если о, — наименьшее значение среди и» и„..., и„, о — вто- 256 рое наименьшее значение среди и„им ..., иь и т.
д., так что ов наи- большее значение среди и„и„..., иь. Лля доказательства [75, 76) разобьем полуинтервал (О, Т) на М примыкающих подынтервалов точками тз, 1!, ..., тм (рис. 2.51), не свя- занными с временами событий 1;. Пусть 1з = О, 1м — — Т, Ь = 1' — 1„' !, т = 1, 2,..., М. Очевидно, что Т=,Р Л„. (2.7.53) т=! Обозначим число событий, оказавшихся в подынтервале й = (1' 1' ), т= 1, 2, ..., М, через й . Ясно, что при принятом предположении м й=- ~ й„,. (2,7.54) т=! Запишем выражение для условной совместной вероятности наличия й событий в подынтервале й длительностью Л, т = 1, 2, ..., М, при условии, что во всем полуинтервале (О, Т1 имеется й событий Р(И (Ь!) = й„й7(!Л,) = й„..., У (Лм) = =йм~Ф(Т) =й) = = Р (1у(й1) = йм Ф(!Л!) = йм-! У(!Лм) = йм. !у(Т) = = й) 7Р(И (Т) = й)- = Р (Ф (!Л!) = йл, У (Л!) = йз,..., У (Ьм) = йм) ! Р(й7 (Т) = й).
(2.7.55) Здесь последнее равенство' написано на том основании, что после. довательность событий (!т'(Л ) = й ) вследствие равенств (53) и (54) включает в себя событие (У (Т) = й). Поскольку рассматриваемый процесс имеет стационарные и неза- висимые приращения, то ((), () ..... () ) П (() т ! В каждом из подынтервалов число аобытий распределено по закону Пуассона, т. е.
Р(У(7л )=й„)=Рь (Л„) = е-ла, Р(1у(Т) =й) =Р„(Т) = — е-лт. (лт)!' И 9 зев. 956 Поэтому ° (м(л!) =й„й((й!) =й„ м П (ла»О ! е ла [(лт)" лм+м+ "+!ги л' (т'!ей -" !У (Лм) = йм ~ !У (Т) = й) е — лт Г-' — л к!,+а.+=.+а ь! х -лт й м — П (2.7.56) ьы! ть йи! м 1 Допустим далее, что подынтервалы Л взяты настолько малыми, что каждый из них практически может содержать лишь одну точку про- цесса.
Тогда будет й подынтервалов, имеющих одну точку процесса, и М вЂ” й подынтервалов, не содержащих точек. Для первых подынтер- валов (Л ) = Л и гс ! =1, а для остальных М вЂ” и подынтерва- лов (Л )" = Л = 1 и й 1 = О! = 1. Следовательно, фигурирующее в (54) произведение будет содержать только й сомножителей, соответ- ствующих тем подынтервалам, которые имеют по одной точке процес- са. Пронумеруем заново эти подынтервалы так, чтобы подынтервал !тг содержал т-ю порядковую точку процесса !г. При этом условная сов- местная вероятность (55) становится условной совместной вероят- ностью событий ((г е Ьг), 1 = 1, й. Таким образом, Р((»Е(тт тасс ггт ", гас !тд! гтг(Т) = и) = „П Лг (2 7.57) г = где предполагается 0 < гт < 1, « ...
(д < Т. л тчек Тп Рнс. 2.52.'Случайное расположение точен в полуннтервале (О, Т) Рнс. 2.б!. Разбиение полуннтервала (О, Т! па подынтервалы Покажем теперь, что формулой (57) описывается и последовательность случайных величин о„о„...„пд. По условию каждая из случайных величин иг распределена равномерно в интервале (О, Т). Поэтому условная плотность вероятности имеет вид рт(и, (!У(Т)=ге)=УТ, 0<иг<Т, г'=1,2, ..., Ф. (2.7.58) Так как по предположению все случайные величины иг независимы, то их условная совместная плотность вероятности равна произведению отдельных плотностей вероятностей: рд (и, и„..., ид ! Ф (Т) = гт) = 1/Т», 0 < иг < Т, 1=1,2,...л. При организации порядковой статистики ап п„ ..., пд для случайных величин и„ и„ ..., ид учтем, что имеется А возможностей выбора величины о, среди и„ и„ ..., ид; гс — 1 возможностей выбора и, из оставшихся величин и„ цт, ..., ид и т.
д. Следовательно, существует (с! равновероятных и несовместных способов образования величин о„ и„..., од из и„ и„ ..., ид. Поэтому условная совместная плотность вероятности для случайных величин п„о„..., о„дается выражением Рд (пы пт,..., од ! Лг (Т) = А) = й!ТТ», О ог < Т, г' = 1, 2,..., й. (2.7.59) Теперь случайные величины в! можно рассматривать как времена появления точечных событий, и, повторив предыдущие рассуждения, придем к следующему выражению для условной совместной вероятности! Р (г! 6 ль г! 6 "я - гь 6 йд 1 и (т) = й) = — сУ~ Жз !(Шь= — Д А!.
(2 7.66) О т' т' ь, 1=! Из совпадения формул (57) и (60) следует идентичность вероятностных характеристик пуассоновского точечного процесса и порядковой статистики независимых случайных величин, равномерно распределенных в полуинтервале (О, Т1. К полученному результату можно прийти другим, более простым и коротким, но менее строгим путем, базирующимся на том, что при определенных условиях биномиальное распределение переходит в пуассоновское 15). Лопустим, что случайным и независимым образом во временнбм полуинтервале (О, Т) размещено и точек, причем вероятность какой- либо точке оказаться на отрезке т = 1' — (а (рис.
2.52) равна р = т(Т. Нас интересует вероятность рь (т) того, что на отрезке т окажется ровно й ( и точек. Выражение для р„(т) можно получить, применяя рассуждения, используемые в классической задаче о повторении испытаний. Пусть С„ есть эксперимент размещения одной единственной точки в полуинтервале (О, Т) и А, — событие, что точка попадет в интервал т; вероятность такого события равна р = т/Т. Считается, что эксперимент С! повторяется п раз.
Известно, что при этих условиях вероятность рь(т) того, что на отрезке т будет находиться й точек, определяется биномиальным законом; Предположим, что и ъ 1 и т(Т « 1. При этих условиях для значений А порядка пт7Т биномиальный закон хорошо аппроксимируется законом Пуассона р„(т) ехр( — т1Т) — — е х', Л = —. (2.7.61) (ат! Т) (Лт) Ф у! ы ы т Если л-«со, Т-«со, и!Т вЂ” «Х, то формула (61) становится не приближенной, а точной. Этим завершается доказательство.
В качестве итога перечислим физические условия, при которых точечный процесс будет пуассоновским. 1. Точечный процесс (У (1), О (1с- оо ) будет пуассоновским при выполнении трех условий (13) — (15). 2. Если т„есть расстояние между а-й и (й — 1)-й точками процесса, то случайные величины тд должны быть независимы с общей плотностью вероятности (44). 9* 259 Обобщения пуассоновского процесса Возможно много различных обобщений пуассоновского процесса, связанных с модификацией свойств ординарности, стационарности и от- сутствия последействия или с отказом от этих свойств 1771.
Укажем здесь несколько таких обобщений, а именно: 1) пуассоновский процесс в нескольких измерениях, 2) неоднородный пуассоновский процесс, 3) пуассоновский процесс с кратными событиями, 4) црофнльтрованный пуассоновский процесс, 5) другие виды. Пуассоновский процесс в нескольких измерениях. Иногда прихо- дится иметь дело с пуассоновским процессом в нескольких измерениях, например в трех. Пусть в жидкости взвешены мельчайшие частицы ка- кого-либо вещества. Вследствие ударов окружающих молекул эти ча- стицы будут находиться в непрерывном хаотическом движении (броу- новском движении). В результате распределение частиц в простран- стве будет случайным. Допустим, что разбросанные в пространстве точки (частицы) удов- летворяют прежним трем требованиям: 1) стациоиарности — вероят- ность р„(о) оказаться й точкам в области и зависит только от объема и этой области, но не, зависит ни от ее формы, ни от положения ее в про- странстве; 2) отсутствия последействия — числа точек, попавших в неперекрывающиеся области, являются независимыми случайными величинами; 3) ординарности — вероятность наличия в малом объеме Ло более одной точки имеет более высокий порядок малости, чем Ьо, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
