В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Оба радиосигнала можно представить в виде я (/) = ), (/) я, (/) + [1 — Х„ (/)! я, (/) + Х, (/) я, (/) + + 11 1"о (/)! яо (/)~ (2.9.38) где я, (/) = — я, (/) = соя ! гоо/ + ф (/)1, яо (/) = — яо (/) = я[п [оооо + ор (о)!. (2.9.39) Корреляционная функция /г (т) как сигнала ДФТ, так и сигнала ДФТ со сдвигом определяется формулой /с (т) = 2 К, (т), (2.9.40) где й,(т) — корреляционная функция одной квадратурной составляющей сигнала; согласно (37) она совпадает с обычным ФТ сигналом, но с длительностью тактового интервала 2Т. Выражение для корреляционной функции /с (т) и спектральной плотности Б (ы) берем из табл. 2.2: зоб э — — 1~! )с (т) = А' (р — д)~ ' ! ~1 — 2д ( — — ) 1))1 е соз воя, (2.9.41) где 1 — целая часть дроби т(2Т, 4Ао роТ (М в (м — оч) тУ(о1 — о)) Т)' З(Р р)ооо2 (<о ~>а) Г +(р Ф Заметим, что корреляционная функция и епектральная плотность не зависят от соотношения между Л, (г) и Х, (г).
Следствием этого является, в частности, то, что характеристики сигналов 1(ФТ и ДФТ со сдвигом одинаковы. ГЛЛБЛ о ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ ЗЛ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Любое радиотехническое устройство обычно состоит из комбинаций линейных и нелинейных звеньев (каскадов). К линейным звеньям можно отнести усилители, фильтры, длинные линии и др. К числу нелинейных относятся все автоколебательные системы (автогенераторы, мультивибратор, блокинг-генератор), детекторы различных видов, дискриминаторы, смесители, умножители, модуляторы, ограничители, триггеры и др.
К чисто линейным системам мы приходим, как правило, в результате упрощений, допустимых лишь при определенных условиях. Так, выше усилители были отнесены к числу линейных систем. Однако вольт-амаерные характеристики ламп и гюлупроводннковых приборов являются, вообще говоря, нелинейными и их приближенно можно считать линейными лишь в определенной области.
Точное указание области, где допустима линеаризация характеристики, для случайных сигналов является более сложной задачей, чем для детерминированных сигналов. При выяснении возможности линеаризации необходимо учитывать, что хорошая аппроксимация характеристики должна быть на том участке, где имеет место достаточно большая вероятность пребывания случайного сигнала. Применительно к гауссовским случайным процессам часто стремятся подобрать хорошую аппроксимацию в интервале ~ 1,5 а около математического ожидания (вероятность пребывания 0,87), где а — среднее квадратическое значение процесса.
Часто применяются следующие три вида аппроксимации: полиномом, ломаной линией (кусочно-разрывная аппроксимация) н трансцендентными функциями. Каждый из этих видов имеет свои преимущества и недостатки. При этом нужно иметь в виду, что требования точности аппроксимации и простоты аналитического выражения в известном смысле противоречивы и, как правило, плохо согласуются между сооой. 307 Запишем в общем виде преобразование случайного процесса $ (1) «1 (1) = Т (Е (()). (3.1.1) Такая запись означает, что каждой реализации $; (() процесса $ (1) по определенному правилу, определяемому оператором Т, ставится в соответствие некоторая реализация тй (1) процесса Ч (().
В дальнейшем будем применять следующую трактовку (рис. 3.1): $ (() есть случайный процесс на входе системы, «1 (1) — процесс на выходе системы и конкретный вид оператора (преобразования) Т определяется рассматриваемой системой. Оператор (преобразовацие) Т может быть детерминированным и случайным. Преобразование Т называется детерминированным, если каждой конкретной реализации Е,(() входного процесса $ (() соответствует вполне определенная реализация ти(й) выходного процесса «1 (г).
В данном случае оператор Т является детерминированной функцией, рис. 3.1. Преобразование выражаюшей «1 (() чеРез $ (1), и вси «слУ- еровесса системой чайность» выходного процесса «1 (1) обусловлена только случайным характером входного процесса е (г). Преобразование Т называется случайнылц если одной и той жв реализации $, (() могут соответствовать разные ргализиции тп(1) и П,(1), причем ти (() ~ сц ((). Если поведение системы определяется ее внутренними элементами или соответствующим дифференциальным уравнением, то система является детерминированной (случайной), когда элементы или коэффициенты дифференциального уравнения являются детерминированными (случайными), В дальнейшем пойдет речь в основном о детерминированных преобразованиях Т.
Среди преобразований общего вида (1) следует различать линейные и нелинейные преобразования. Преобразование Е называется линейным, если для него справедлив принцип супгрпозиции, т. е. выполняется равенство «1 (1) = й (аД, (т) + аезе (1))=а,ЕТ, (()) + а,й К» (1)1 (3.1.2) при любых ам а„й, (1) и $е (1). Здесь коэффициенты а, и а, могут быть постоянными или случайными величинами, не зависящими от й Различные линейные преобразования случайных процессов изучаются в гл.
5. Среди нелинеиных преобразований можно выделить два класса: безынерционные (функциональные) и инерционные. Наиболее общими и сложными являются нелинейные инерционные преобразования. В частности, при таких преобразованиях интересующий нас выходной процесс или сигнал может быть связан с входным процессом или сигналом при помощи нелинейногодифференциального уравнения. Примеры таких преобразований будут рассмотрены позже. Простейшие безынерционные преобразования (линейные и нелинейные) можно определить так.
Пусть выходной процесс системы В (г) связан с входным процессом я (() соотношением зоз ч (1) = а(9 (1)), (зл.з) где детерминированная функция т (х) не зависит явно от (и является функцией только х (например, а (х) = х'). Зто означает, что при заданном ( = гт выходной процесс ч (8т) зависит только ог 9 (1») и не зависит от прошлых и будущих значений $ (1). Повгасму преобразовании (3) называется безынерционным или срункциональным.
Поскольку функция а (х) не зависит явно от времени, то будет выполняться равенство ч(1+ ) =а(9((+ )). (3.1 .4) Рис. 32. Комбинированная система Системой удовлетворяюи(ие атому условию, называются стационарными (инвариантными во времени). При анализе преобразований случайных процессов линейными и нелинейными системами задача ставится так: предполагая известными параметры системы (т.
е. конкретный вид преобразования) и вероятностные характеристики входного процесса $ (»), требуется найти необходимые вероятностные характеристики выходного процесса Ч (1). Те характеристики выходного процесса Ч (т), которые нужно находить, определяются физическим содержанием конкретной задачи и, в частности, тем устройством, на которое воздействует случайный процесс ч (г). Обычно интересуются плотностями вероятности (чаще всего одномерной и двумерной) выходного процесса или же моментами (чаще всего математическим ожиданием и корреляционной функцией). В данной главе будут приведены общие правила решения этих задач применительно к различным видам функциональных преобразований вида (3) и будет рассмотрено большое число конкретных примеров.
Отметим, что в.з 5.2 приведены общие правила «пересчета» вероятностных характеристик случайных процессов через линейные системы. Зная аналогичные правила и для нелинейных функциональных преобразований (3), можно производить расчеты различных систем, представляющих собой последовательное соединение линейных и нелинейных звеньев. Пусть, например, интересуюшая нас система (рис. 3.2) есть последовательное соединение линейного звена 5м нелинейного безы'нерционного элемента и второй линейной системы Е„причем линейные системы не оказывают реакции на нелинейный элемент. В данном случае результирующее преобразование можно записать в виде Ч (() = ~-а (а (1.Л (1)))), (3.1.5) где Е, и Е.а — линейные операторы. При известном правиле (5.2.3) преобразования моментных функций линейными системами изучение 309 преобразования (5) сводится к анализу н линейно~о преобразования вида (3).
Ззп ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕИ ВЕРОЯТНОСТЕИ И МОМЕНТОВ Рассмотрим функциональные преобразования последовательно, сначала одномерных плотностей вероятностей и одномерных моментов, затем двумерных плотностей вероятностей и двумерных моментов и, наконец, получим аналогичные результаты для многомерного случая, Теоретические результаты будут иллюстрироваться большим числом конкретных примеров. Преобразование одномерных плотностей вероятностей и моментов Пусдь известка плотность вероятности рд (х) случайной величины Е и нужно найти плотность вероятности р„(у) случайной величины д(= = дд (х), где у (х) — однозначная дифференцируемая функция. Тогда существует однозначная обратная функция Е = А (д1).
Так как случайкые величины связаны однозначной детерминированной зависимостью, то из того факта, что голученнае значение случайной величины Е заключено в интервале 1х, х+ йх1, достоверно следует, что величина н будет находиться в интервале ! у, у + д(у!, где у = д (х), д(у = д'(х) ах (рис. 3.3). Отсюда следует, что вероятности этих двух событий равны, т. е.
выполняется свойство инвариантности дифференциала вероятности: Р. (У) У = » 1( ) ( (3.2.!) или (3.2.3) 310 рч (у) = рд (х) ~ — ~ =. р! (Л (у))16'(у) !. (3.2,2) чу Заметим, что при д(х) Одифференциал д(у) О, когда функция д(х) возраста1ощая, и д(у ( О, когда функция у (х) убывающая. Поскольку вероятность и плотность верояткости не могут быть отрицательными, то в формулы (1) и (2) нужно подставлять модули. Более сложным является случай, когда обратная функция $=Ь (д!) неоднозначна, т.
е. одному значению у соответствует несколько значений х. Пусть имеется две ветви обратной функции й, (х) и й, (у) (рис. 3.4). В данном случае выполнение неравенства у ( я ( у + д(у обеспечивается двумя несовместными возможностями хд ~ ($ ( хд + ддх~ или хд + ддхд ~($ ( кд. (3.2.4) Поэтому вероятность выполнения неравенства (3) должна равняться сумме вероятностей выполнения каждого из неравенств (4): рч (у) д(у =- р д (хд) д(кд + Р д (х,) 1 гдх,, Выразив в правой части х через у, окончательно получим Рч (у) = Рз (йд (у)) ! гдд (у) (+ рз (гдд (у)) 1гдд (у) 1 (3.25) Если имеется большее число ветвей обратной функции, то в правой части формулы (5) следует брать сумму по всем ветвям.
С учетом этого формула (5) будет давать правило преобразования одномерных плотностей вероятностей при функциональных преобразованиях непрерывных и дискретных случайных величин. Отметим, что при неоднозначном или вырожденном преобразовании у = д (х) нарушается однозначное соответствие между плотностями вероятности случайных величин $ и т1: по известной плотности вероятности р„(у) нельзя однозначно определить плотность вероятности р а (х), Рис. 3.3. Взаимно одно- значное преобразование Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
