В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Затем получают плотность вероятности т первых случайных величин ть, ..., и на основании свойства согласованности плотностей вероятностей (1.2.30), т. е. путем интегрирования плотности вероятности (49) по вспомогательным переменным. Укажем, что различные моменты преобразованных случайных величин пм ~)м..., т( можно вычислить без предварительного определения их совместной плотности вероятности, а на основании формулы, являющейся обобщением формулы (1.3.1): й4 (т()ч и',м .. ты" ! = ~ " ~ я"," (х„..., х„)... д„" (х„..., х ) х Х Р1 (хм хм".~ хп) Нх1 дхм.. дхп.
(3.2.5!) Расссматривая непосредственно одно преобразование (52) и повторив о небольшими изменениями рассуждения, приведшие к формуле (45), получим р„(у) =Ц рз... (х„х,) с(х, Их„ (3.2.53) Ьз где элементарная область 'интегрирования зззз на плоскости х,х, определяется неравенствами у ~ д (х„хз) < у + ду. Введем вспомогательную случайную переменную Чз = $з (или т1з = $з).
(3.2.54„' Рассматривая совместно преобразования (52) и (54) как частный случай общего преобразования (41), сначала по формуле (45) находим совместную плотность вероятности рчч, (у, у,) для случайных величин Ч и Ч„а затем интегрированием по у, получаем плотность вероятности для т1: Рч (У) = ~ Рчч, (У Уз) Фз. Если обратная функция х = й (у, х,) = й (у, у,) однозначна, то д Рчч* (У~ Уз) = РФ 4 (й (Ую Уз) Уз) ~ й (Уз Уз) ~ ду рч(у)= ~ рьз,(й(у,у),у)~ — й(у,уз)1Иуз. (32.55) д ду Последняя формула позволяет найти плотности вероятности суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин: Рч(У)'= ~ РЬ,6,(у ч--хз хз)г(хз, з)=йз~йз (3.2.55) Рч(у)= ~ Рь„,З,~ — ' ° хз — ' з)=йзйз, (3.2.57) *~х у 1хз~ Рч(у) = ~ рм з, (ухз, хз) ~ х, ~ з1хз, т1=$з(~.
(3.2,53) Для независимых случайных величин $, и $з о плотностями вероятности рь (хз) и рм (хз) в предыдущих формулах нужно положить рз, з, (хз, хз) = рз, (хз) зь, (х,). При этом формула (55) примет вид р„(у) = ~ рз, (й (у, уз)) рь (у,) ~ — й (у, у,) ~ Иуз. (3.2.59) д ду П ° 323 Р»ВУ) =- ~ Ргп ( — ~1РЫ(хз) — ' ° Ч=$~$м (3.2.61) Рч(У) ~ Р~, (Ухл) /ч, (хз) ( хл( йхл, Ч = $1/$з. (3.2.62) В связи о этими формулами сделаем два отступления: 1. Формулы (60) — (62), а также некоторые дополнительные результаты можно получить методом рандомизапии Поясним это двумя примерами. При выводе формулы (62) можно применить следующие раосуждения.
Считая величину 3, фиксированной и равной х„ для случайной величины ч $т/х, записываем плотность вероятности рм (ух,) 1 х, 1. Рассматривая теперь параметр х, как случайную величину с плотностью вероятнооти р м (хз), приходим к плотности вероятности (62) для Ч $ /5з Методом рандомизации можно воспользоваться для формирования плотностей вероятностей с различными аналитическими выражениями. Пусть р (х; Х) — плотность вероятнооти, зависящая от параметра Х, и р (Х) — некоторая, вообще говоря, произвольная плотность вероятности. Тогда функция р(х)= ) р(х;Х)р(Х)Ю (3.2.63) будет также плотностью вероятности.
Воли параметр Х принимает дискретные значения Хм Х„„. с веронтноотями р„= Р(Х = Хь), я = 1, 2, то вмеото (63) для плотности вероятности получим выражение р(х) ~р(х;Хь)р„, (3.2.64) е которое иногда называют смесью (непрерывного и дискретного распределенийй) (12). 2. Отыскивание плотности вероятности (закона распределения) суммы независимых случайных величин по изветным плотностям вероятности (законам распределения) олагаемых называетоя композиЧией плотностей вероятностей (законов распределения). Формула (60) показывает, что композиция двух плотностей вероятностей представляет собой интеграл свертки вида (2.3.61). При определении плотности вероятности суммы не двух, а большего числа независимых случайных величин фактическое вычисление последовательных интегралов свертки может оказаться кропотливым н трудоемким делом. В подобных случаях проще оперировать с характеристическими функциями.
з2~ Соответственно упроотятся формулы (бб) — (68): РчЫ= $ РЬ(У~ха)ры(хз)йхм Ч~йз~Взв (3.2.60) Следовательно, р1 (р) = — " 'эа Ф",(1д)М. 2п,) (3.2.69) Таким образом, характеристическая функция линейной ауммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций отдельных слагаемых, При вычислении плотности вероятности суммы нескольких независимых случайных величин целесообразно сначала по формулам (66) — (68) найти характеристическую функцию суммы, а затем из обратного преобразования Фурье (69) получить плотность вероятности.
Рассмотрим сумму случайного числа случайных величин ~»=~5 ° (3.2.70) а ! Здесь $„$м..., $„,... — случайные величины и и — случайная величи-' на, принимающая неотрицательные целочисленные значения 1, 2,..., независящая от 5ь при й ~ )п и такая, что М (и) ( со. Тогда для суммы (70) справедливы следующие формульп 1) если все случайные величины $ь имеют одинаковое математическое ожидание М Дь) = тм то математическое ожидание суммы М (~„) = та М (п); (3.2.71) 2) если в дополнение случайные величины $ь не коррелированы н имеют одинаковую дисперсию М (Дь — т~)') = 0 м то М Я) т~ М(па) +0а М (и); (3.2.72) 3) если, кроме этого, случайные величины $д с плотностями вероятности ра (х) взаимонезависимы, то плотность вероятности суммы равна р1„(х) = ~ Р(п=Цроа(х), р'м(х)=р.„,(х)э...*р:, (х).
(3.2,73) 4-1 325 ~ . ' Рассмотрим линейную сумму и независимых случайных величин ь„= аДт +аДа + ... + а„5, (3.2.65) где ам а„..., а — постоянные коэффициенты. Характеристическая функция этой суммы по определению равна Фс (16) М(ехр(1дь„))= Ф1,()а,д)" Фь ()а„д). (32.66) В частности, при а, = а,= ... = а„= 1 отсюда получим Ф1ь (16) = Фа, (16) ° ° Фт„() б), (3.2.67) а при выполнении дополнительного равенства Ф м ()д) Ф ь ()д) = =" =Фа-(16) =Ф(16)) ()6) — Фп (16) (3.2.68) Здесь р<л! (х) — интеграл свертки плотностей вероятностей первых й случайных величин, являющийся обобщением интеграла вида (2.3.61). При доказательстве формул (7!) — (73) воспользуемся методом рандомизации. Считая пока величину и фиксированной, очевидно, можно написать л л л М(~„(п) =М~ ~ч', $ь!п~ = ~~), М($„~п) = ~ч~ М($„) =ит;.
!л ! л ! л=! Здесь предпоследнееравеиствонаписано на том основании, что случай. ные величины $ь при й ) и не зависят от и. Осреднение этого равенства по случайной величине и приводит к формуле (71). Эту формулу, являющуюся частным результатом общего тождества Вальда, часто также называют тождеством или равенством Вальда 1711. Аналогично можем написать 1й= Х Х $ь$т и М(1л2|п)= Х Х Мдл$ж). л-!т=! л=! ~л=! Двойная сумма содержит всего ит о,агаемых из них и слагаемых с й = = т и иа — п слагаемых прк й ть т.
Поскольку М ($1) = О ! + + т( и М ($Дщ) —. ть при й* т, то М(Ц1п) =(04+ть)п+!(и' — п)т! =В!п+т(п'. Взяв математическое ожидание от обеих частей этого равенства по случайной величине и, приходим к формуле (72). При выводе формулы (73) следует воспользоватьоя выражением (б4), которое для нашего случая примет вид р! (х)=рг„(х~и=1)Р(п=Ц+„,+р! (х~и=й) Р(п=й)-1-...
(3.2.74) Распишем один из членов, определяющих условную вероятносты р! (х ~ и = й) !(х = Р(х ( Цт + ...+ $ь ( х + 0х). Так как слагаемыми являются независимые случайные величины $! ..., ..., $ь! то ' Р (х($,+...+$ь(к+с(х) *р4 (х)*ры(х)*...*рз„(х) !(х=р!л! (х) дх. Подстановка этих выражений в (74) убеждает в справедливости формулы (73). Рассмотрим несколько примеров. Линейное преобразование двух случайных величин. Пусть Ч = а$ + йй, 4)з = еЬ + с$м (3.2.?5) где а, 6, о, !1 — постоянные коэффициенты. Если определитель системы, составленный из этих коэффициентов, отличен от нуля, то система из двух линейных алгебраических уравнений у, =- ах, + бх, у! = сх, + 0х, 326 имеет однозначное решение х, а,у, + Ь,у„х, = о, у, + г(г у„ где коэффициенты ам Ьм о» г(, выражаются через а, Ь, с, А В данном случае якобиан преобразования переменных равен Х,(хмхэ)= ' =1,' =аа — Ьо.
д(уо у») 1а,Ь д(хг, х») 1о 'ц( Поэтому формула (45) примет вид Р»ь»ь (Ум У,) = ~ аа — Ьо ~ ~ Рь Ы (а» Уг+ Ьг Ум ог Уз+ 4 У,). (3.2.76) Случай двузначным обратных функций. Предположим, что Ч1 + И1 + $э» Ч2 = $1ЛЗ» (3.2.77) При у, » О еиатема из двух нелинейных алгебраичеоких уравнений (' х1+х2=уг» хг(х~ уя имеет два решения: х,"' =узу.(1+4)-'", х1»» = у,(1+У$)-'~', х,'" = — х,", х1м= х(». Якобиан преобразования переменных равен 1хг(х1+хх) ыз х (х1+х1) ыз! 7,(х„х,) '1 1= -(1+уз)7У. 1/х — хг7х1 На основании формулы (45) получим +)~,г.(~:"" .;"' 1~, у,>О. (3.2.73) У ~ -1 о1 * ')/! +~, *! ' При уг ( О система не имеет вещественных решений и поэтому рчш, (уо у~) = О.
Плотность вероятности наименьшей из двух случайных величин. Результаты этого и следующего примеров будут использованы при расчете надежности систем. Вычиалим функцию распределения и плот. ность вероятноати случайной величины й ш(п ($м $ ). (3.2.79) Иеходя из смысла задачи, для функции раепределения можем напивать р.(у)=РИ(у)=р(я. =у!й"==Бд+р(я (у!В <яг)= — ~ Лх, ) ры ы(хмхз)~(хз+ ~ с(хз ) рм ы(х1,хдАчг » к» 1» (1 — 1 )»»»,»~ »»* у / ~ г(х, ~ ) — ) ~ р;:, ы (х„х,) Лх, 327 (3.2.80) = Ре, (д)+Рю, (д) — Ры ы (у* у). так как Р;, Ы(у,у)= [ [ рмм(х„х,)Р(х,дх, Р К1 Р к, ') нх, ') ры ы(х„хз) дх,+ ) нх, [' рР, ы(х„х,) Р(х, р„(у) = ( р;, Ы (у, х,) дхз+ [ рР,;, (х„у) Их,.
(3.2.81) если случайные величины $Р и $, независимы, т. е. рыР, (х„х,) = = рт,(х,) р Ы (х,), то формулы (80) и (81) примут следующий вид: Р„(у) = Рз1 (у)+ Ры (у) — Ры (у) Ры (д), (3.2.82) р„(у) = р;, (у) [1 — РР (у)1+ ры (у) [1 — Рь (у)1. (3.2.83) Получим функцию распределения и плотность вероятности наибольшей из двух случайных величин: и = тах (Ц, $,). (3.2.84) Аналогично предыдущему примеру записываем выражение для функции распределения Рч(у) =Р(п Сд) =Р6,~у[х, ~~,)+Р 8,~д[х, >И1) = Р Р1 Р Х [ Р(х, [ р4ы(х„х,)дх,+ ( дх, [ рыы(хмх,)дх = Р Р [ рыы(х„хз)йх,г(хм Следовательно, Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
